Dimostrazione per induzione
Buongiorno a tutti,
Da qualche giorno ho iniziato ad approcciarmi alle dimostrazioni per induzione. Sebbene li trovi davvero interessanti, spesso ho qualche difficoltà nel riuscire a trovare la chiave. Mi sono imbattuto in un esercizio in cui si utilizzava la disuguaglianza $5^(n+1) > 2^(n+2) +1$ per ogni $n > 0 $ appartenente ai numeri naturali. Si affermava che la disequazione si può dimostrare per induzione, dunque ci ho provato. Tuttavia non ho nemmeno idea sul come iniziare; qualcuno potrebbe darmi qualche dritta o spiegarmi come si dimostra?
Da qualche giorno ho iniziato ad approcciarmi alle dimostrazioni per induzione. Sebbene li trovi davvero interessanti, spesso ho qualche difficoltà nel riuscire a trovare la chiave. Mi sono imbattuto in un esercizio in cui si utilizzava la disuguaglianza $5^(n+1) > 2^(n+2) +1$ per ogni $n > 0 $ appartenente ai numeri naturali. Si affermava che la disequazione si può dimostrare per induzione, dunque ci ho provato. Tuttavia non ho nemmeno idea sul come iniziare; qualcuno potrebbe darmi qualche dritta o spiegarmi come si dimostra?
Risposte
$n=1$: $5^2>2^3+1 => 25>9$ ok
$P(n-1)=>P(n)$
Suppongo vera $P(n-1)$, quindi $5^n>2^(n+1)+1$
moltiplico per 5: $5^(n+1)>5*2^(n+1)+5>2*2^(n+1)+5>2*2^(n+1)+1=2^(n+2)+1$
Gli ultimi due passaggi sono giustificati da $5>2$, $5>1$
$P(n-1)=>P(n)$
Suppongo vera $P(n-1)$, quindi $5^n>2^(n+1)+1$
moltiplico per 5: $5^(n+1)>5*2^(n+1)+5>2*2^(n+1)+5>2*2^(n+1)+1=2^(n+2)+1$
Gli ultimi due passaggi sono giustificati da $5>2$, $5>1$
Chiaro, grazie
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