Scervelliamoci un po'
Spazio dedicato a problemi assegnati a gare matematiche o olimpiadi della matematica, o ancora a prove di ammissione a scuole di eccellenza.
Domande e risposte
Ordina per
In evidenza
Si provi che se \( n,m \in N \) allora il numero
\( 3^n + 3^m+1 \)
non è mai un quadrato perfetto.
La prima cosa che salta alla mente (o almeno nel mio caso) è tentare una dimostrazione sul principio di induzione…
1) \( P(0)=3 \)
2) dimostro che \( P(n+1,m+1) \) è vero presupponendo che \( P(n,m) \) sia vera...
\( 3^n\cdot 3+3^m\cdot 3+1 \)
qui non vedo una via d'uscita e per quanto possa "manipolare" l'espressione non vedo come proseguire.
Immagino che oltre questa strada ne esistano ...
Uno studente si sveglia di soprassalto al suono della campanella, giusto in tempo per sentire l'insegnante dire:" ... e vi voglio aiutare: tutte le radici sono reali e positive."
Velocemente volge lo sguardo alla lavagna dove scopre un'equazione di ventesimo grado da risolvere come compito a casa; disperatamente cerca di copiarla in fretta e furia ma riesce solo ad annotare i primi due termini: $x^20-20x^19$, prima che il professore cancelli tutto completamente; comunque si ricorda che il ...
Ciao! Mi sono imbattuto nel seguente enigma matematico durante un test.
Ci sono 2 laghi ghiacciati di forma quadrata esattamente identici.
Si vuole conoscere con esattezza quanti kilogrammi sono necessari per rompere le lastre di ghiaccio.
A questo scopo, si hanno a disposizione blocchi da 1 kg ciascuno che si possono porre al centro dei 2 laghi.
Si sa in partenza che la massa minima che provochera' la rottura delle lastre di ghiaccio e' compresa tra 1kg e 144kg estremi compresi ed e' un ...
Determinare quante soluzioni in interi positivi ha l'equazione $x+y+z=n$ con la condizione che siano soddisfatte le seguenti disequazioni $x<=y+z,\ \ \ \ y<=x+z,\ \ \ \ z<=x+y\ \ \ \ \ $ ($x, y, z in NN$)
Si considerano diverse le soluzioni che differiscono solo per l'ordine dei termini.
Cordialmente, Alex
In una successione di numeri, sappiamo che $a_1!=0$, che $a_n=0$ per ogni $n$ pari e che per ogni $n$ vale la formula
$a_(2n+1)=ka_n$
con $k!=0$. Dire per quali valori di $n$ si ha $a_n!=0$.
Si considerino tutte le piramidi con base ABCD quadrata (di lati AB = BC = CD = DA), di vetice V e che hanno tre spigoli laterali con le seguenti lunghezze (in una comune arbitraria unità di misura:
AV = 131; BV = 179; CV = 151.
Sia infine H il piede dell'altezza nel piano della base (ossia la proiezione ortogonale del vertice V nel piano della base ABCD).
• Determinare il lato del quadrato-base e l'altezza della piramide (tra tutte quelle con le dette proprietà) che ha il volume massimo.
• ...
Richiamo
In un ennagono [=poligono con nove lati] regolare ci sono diagonali di tre diverse lunghezze
• Una diagonale "corta" forma un triangolo isoscele con due lati consecutivi dell'ennagono.
• Una diagonale "lunga" forma un pentagono irregolare con 4 lati consecutivi dell'ennagono.
[Una diagonale di lunghezza intermedia forma un trapezio isoscele con tre lati consecutivi dell'ennagono].
Problema:[size=130]
Dimostrare che in un ennagono regolare la differenza tra le lunghezze di una ...
Siano dati gli angoli $ABC$ e $CBD$, entrambi di $60°$ di ampiezza.
Da un qualsiasi punto $P$ interno all'angolo $ABC$ si traccino le perpendicolari $\bar(PX), \bar(PY), \bar(PZ)$ rispettivamente su $BA, BC, BD$.
Dimostrare che $PX+PY=PZ$.
Cordialmente, Alex
Sia dato un dodecagono regolare inscritto in un cerchio di raggio unitario.
Quanto vale la sua area?
Cordialmente, Alex
Seconda puntata (qui la prima)
a)
In quanti modi diversi è possibile scrivere un numero $n$ come somma di tre interi non negativi?
[le somme che differiscono solo per l'ordine degli addendi sono da considerarsi uguali; per esempio $6=1+2+3$ si considera uguale a $6=3+2+1$]
b)
E quanti invece se i tre numeri sono positivi ?
Cordialmente, Alex
Se appoggiamo un foglio quadrato sul tavolo, e lo guardiamo stando di lato e un po' sopra, quel che vediamo è un trapezio isoscele (se stiamo sull'asse di una mediana). La figura ha UN asse di simmetria.
Se nel quadrato disegniamo le diagonali e il centro, le diagonali le vediamo come diagonali del trapezio, e il centro come punto di incontro delle diagonali. Quindi, anche se il centro non fosse segnato, sapremmo dove è.
Il rapporto fra le due basi del trapezio dipende da dove ci siamo messi: ...
Jacqueline coltiva le sue verdure in modo biologico. Per concimarle ha preparato un bidone grande di decotto di ortica e uno di decotto di equiseto. Per trattare i suoi pomodori ottiene una miscela costituita da 5 litri di decotto di ortica e 1 litro di decotto di equiseto; avrà così 6 litri di miscela sufficiente per i pomodori.
Jacqueline ha solo due recipienti vuoti, uno da 3 litri e uno da 10 litri.
Come dovrà agire per ottenere esattamente 6 litri di miscela?
Salve a tutti, ho un problema che la mia prof di matematica ha dato da risolvere alla classe(il problema è facoltativo, e ha detto che probabilmente non lo riusciremo a risolvere, peró ci aiuta a pensare fuori dagli schemi). Il problema è il seguente:
Hai due numeri naturali a e b, sai che:
$ (ab+1):(a^2+ b^2) = d $
Con $ din N $
Dimostrare che:
$ (a^2+ b^2):(ab+1)= c^2 $
Con $ cin N $
Qualcuno ha qualche idea?
A me l'unica cosa che mi è venuta in mente è che se
$ a =0 $ o ...
Il primo termine è $c_1=2$ mentre il secondo è $c_2=3$
Poi si prosegue così:
Moltiplico il primo termine per il secondo $c_1*c_2=2*3=6$ quindi il terzo termine è $c_3=6$
Moltiplico il secondo termine per il terzo $c_2*c_3=3*6=18$ quindi il quarto termine è $c_4=1$ e il quinto termine è $c_5=8$
Moltiplico il terzo termine per il quarto $c_3*c_4=6*1=6$ quindi il sesto termine è $c_6=6$
Moltiplico il quarto termine per il quinto ...
Problema:
Supponiamo di minare l’intero piano cartesiano in maniera regolare, diciamo nei punti a coordinate intere, a parte l’origine $O$.
Esiste una traiettoria rettilinea che, partendo dal punto “sicuro” $O$, consenta di attraversare tutto il campo senza saltare in aria?
Avrei bisogno di un chiarimento su questo tipo di esercizi che mi danno un po di problemi.
Siano $ gamma1 $ e $ gamma2 $ le circonferenze di raggio 3 centrate rispettivamente in (1;1) e in (-4;1),
orientate in senso opposto.
Sia $ F: R^2 \\ (0,0) $ un campo vettoriale di classe C1 e conservativo.
Le circuitazioni di F lungo $ gamma1 $ e $ gamma2 $ quanto valgono?
La scrittura in questo modo del campo non significa che nell'origine non è nemmeno definito?
E quindi ...
Questo l'ho inventato mentre studiavo un altro problema; confesso che per ore non ho visto la facilissima soluzione.
Sono dati un angolo acuto ed un punto M al suo interno. Trovare sui lati dell'angolo due punti tali che M sia il loro punto medio.
ragazzi voglio sottoporvi un problema ...
conoscendo soltanto i dati relativi alla circonferenza (una qualsiasi ipotetica circonferenza) è possibile calcolare il seguente quadrato? ovvero avente un lato sul diametro con il punto medio al centro della circonferenza e spigoli superiori tangenti ad essa?
Questo me l’hanno proposto ad un corso che sto seguendo.
Mi è parso carino e lo ripropongo qui (anche se credo sia classico).
***
Problema:
Dividiamo il piano cartesiano in quadretti dal lato unitario con lati paralleli agli assi coordinati, in modo che la griglia contenga gli assi.
Diciamo che un dato segmento attraversa un quadratino se e solo se esso passa per un punto interno al quadratino.
Ad esempio, se fissiamo il punto $A=(5,4)$ e consideriamo il segmento $overline(OA)$: ...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo