Scervelliamoci un po'
Spazio dedicato a problemi assegnati a gare matematiche o olimpiadi della matematica, o ancora a prove di ammissione a scuole di eccellenza.
Domande e risposte
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Il 17 marzo si sono tenute le semifinali dei giochi matematici organizzate dalla Bocconi.
Mi chiedevo se qualcuno di voi sapeva illustrarmi il procedimento per risolvere alcuni degli esercizi proposti (riporto sotto i testi e le relative soluzioni):
13. Un calcolo impossibile
Non si sa perché, ma in ogni modo Amerigo si è lanciato in un calcolo incredibile:
$ (2xx 4) - (6xx 8) + (10xx 12) - ... + (2018xx 2020) $
nel quale figurano tutti i numeri pari da 2 a 2020 e in cui i vari prodotti consecutivi sono alternativamente ...
Dato un quadrato di lato unitario, il diametro del cerchio più grande che è possibile disegnare all'interno del quadrato senza che il cerchio "sbordi" fuori dal quadrato è pari a uno ($d=1$).
Se invece, all'interno del quadrato di lato unitario, disegniamo due cerchi identici senza che questi "sbordino" fuori dal quadrato né si sovrappongano tra loro, quale sarà il loro diametro massimo?
E se i cerchi fossero tre? O quattro? E così via fino a dieci cerchi?
Cordialmente, Alex
Domani parteciperò alle semifinali dei giochi della Bocconi e stavo provando ad allenarmi con i testi degli anni scorsi, quando mi sono imbattuto in questo:
Ad una stessa lettera corrisponde sempre la stessa cifra e a lettere diverse corrispondono cifre diverse. Inoltre, nessun numero comincia con la cifra 0.
Quanto vale VERLAN sapendo che è R=1 e che vale la seguente uguaglianza:
VERLAN x 3 = LANVER x 4?
L'anno scorso non era nella mia categoria, quest'anno invece potrei ritrovarmi problemi ...
Salve,in questo topic,vorrei proporvi questo esercizio:
"Siano $d_1,....,d_n$ numeri reali positivi,con $n>=2$.Si trovi una condizione necessaria e sufficiente,perché esiste una successione $p_0,....,p_n$ di punti del piano euclideo tali che:
1)per ogni $i=1,...,n$,la distanza tra $p_i$ e $p_(i-1)$ è $d_i$ e
2)$p_n=p_0$"
Io penso di aver trovato una soluzione anche se non sono poi così sicuro.
Semplicemente,definisco con \( ...
Salve! sto svolgendo della logica per fare il test d'ammissione all'università in programma quest'estate ma non riesco a risolvere un quesito spero possiate aiutarmi!
in foto la tabella! La soluzione è 8 ma non capisco come ci si arrivi! Aiuto! Grazie!
Questa è la traduzione di un quesito del sito spikedmath.com
Dato il triangolo che in una opportuna unità di misura ha i lat lunghi [a, b, c ] = [345, 460, 575], determinare un punto interno P le cui distanze dai vertici e dai lati siano tutte intere.
P.S.
Domanda alla quale non so ancora rispondere:
«Quanti [e quali] sono i punti interni di questo triangolo con distanze tutte intere sia dai vertici che dai lati?»
_______
Questo è
il testo di un quesito della simulazione di ieri 28 febbraio, della gara on line Kangourou della Matematica Scuola media:
Determinare il numero N che si scrive in notazione decimale a b c d, in modo cge la somma in figura sia verificata:
a b c +
d a b +
c d a +
b c d =
------------
a b c d
Il mio ragionamento mi ha portato ad assegnare ad a il valore 2, verificando che non possa ssumere i valori 1 o 3.
La condizione affinche c sia diverso da d e b da c è che d = 9, ...
Buon giorno appassionati,
Vi propongo il seguente problema di geometria:
Data l'equazione in forma polare di un particolare trifoglio:
$r(t)=a-\abs((\abs((-1)^(q)-1))/(2)-r_{1})^(4)k$
dove:
$a=1,k=1,n=3$
$q=\floor{\frac{n*t/π}{a}}$
$r_{1}=\frac{n*t}{π} \mod a$
Trovare area e perimetro del trifoglio, la cui rappresentazione nel piano è:
Immagine ottenuta con geogebra.
Buon, divertimento. Non ho ancora tentato la risoluzione.
Esercizio facile. Sia \( f :[0,+\infty) \to \mathbb{R}\) continua. Definiamo \[ A = \{ a \in \mathbb{R} \, : \, \exists \, (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \subseteq [0,+\infty) \text{ con } \lim_n x_n = \infty \text{ t.c. } a= \lim_n f(x_n) \}. \]Mostrare che se \(a,b \in A\) e \(a< b\), allora \([a,b] \subset A\).
Stavo guardando il problema dell'ammissione SNS 2017/18 con alcuni liceali del quarto anno, ma confesso di essere un po' in difficoltà nel ricondurre la risoluzione agli argomenti di programma.
1) Consegue dal comportamento di $\sin x $ e $\cos x $, e credo sia sufficiente un'illustrazione grafica.
2) La risoluzione standard passerebbe per la teoria delle differenze finite, ma visto che viene fornita la soluzione, per verificarla sono sufficienti le formule di Werner, ricordando che ...
Siano $n_i$, con $i=1, \cdots, k$, interi positivi dimostrare che
$$\frac{(n_1+\cdots+n_k)!}{n_1!n_2!\cdots n_k!}$$
è intero
Buon giorno, apprendisti della matematica, sicuramente siete a conoscenza della curva nota col nome di versiera di Agnesi.
Essa è ricavata, partendo da un cerchio. Tempo fa, invece, mi venne in mente di trovare l'equazione della versiera generalizzata,
a cui attribuisco il termine generalizzata, poiché anziché essere tangente al cerchio è tangente ad un'ellisse, che nel caso in cui abbia i semi assi uguali, diviene un cerchio, facendo degenerare la versiera generalizzata nella versiera di ...
l'enunciato del problema é : Dimostra che $ root(2) (a) + root(3) (b) $ é razionale se e solo se $ a $ e $ b $, sono rispettivamente un quadrato perfetto e un cubo perfetto.
allora la tesi é che $ root(2) (a) + root(3) (b) $ $ in $ $ Q $. L' ipotesi é $ root(2) (a) = m $ e
$ root(3) (b) = n $.
Il punto é che non riesco piú ad andare avanti. Ovviamente l'affermazione é vera e si vede subito ma io non so formalizzare (nemmeno il minimo) i miei ragionamenti. Voi che come ...
un triangolo, le cui lunghezze dei lati sono date
da numeri interi di metri, e da un cerchio inscritto. Se si
aumentasse di due metri la lunghezza del lato più lungo, si
otterrebbe la somma delle lunghezze degli altri due lati. Il raggio
del cerchio inscritto è un numero intero di metri. La superficie
del triangolo è di 2016 m2
.
Qual è, in metri, il perimetro del triangolo?
Salve, vorrei capire come si fa a calcolare una corona di quanto oro e quanto argento è composto sapendo solo 2 informazioni: peso 209 grani e sapendo che in acqua perde 17 grani.
Quesito che ho incontrato in un libro di filosofia che era la domanda che fu posta ad Archimede di siracusa. Cita il fatto che in acqua l' oro perde un 1/19 del suo peso e l'argento 1/11.
Spero mi possiate aiutare nel ragionamento
Grazie
Luigi Caliendo
Un esercizietto: per \(p \in (0,1)\) e \(\theta \in [0,\pi/2]\) mostrare che vale \[ \cos(\theta)^p \le \cos(p \theta).\]
Non riesco a raccapezzarmi con l'esercizio n.2 del test di ammissione 2017 alla normale.
Qualcuno ha voglia di darmi una mano?
Siano $ \alpha, \beta, \gamma $ e $ \delta $ $ \in \mathbb {R} $. Denotiamo con $ S $ l'insieme dei punti $ (x, y, z) $ dello spazio euclideo tali che $ z \leq min(\alpha x + \beta y, \gamma x + \delta y) $.
Supponiamo poi che per certi numeri reali $ r, s $ accada che per ogni $ (x, y, z) \in S $ si abbia $ z \leq rx + sy $.
Dimostrare che in tal caso c'è un numero ...
Per \(a_i > 0 \) e \(n \in \mathbb{N} \) mostrare che \[ \sum_{i=1}^n a_i \le 1 \quad \Longrightarrow \quad \sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i} \ge n^2.\]
Ci sono almeno tre modi diversi di dimostrarla. Io ne ho trovato uno, parlando con amici ne son saltati fuori altri due.
Esercitandomi con qualche "problemino" degli esami di ammissione alla SNS sono incappato a codesto esercizio che recita:
"Si supponga che l'eq. $ x^3+px^2+qx+r $
abbia tre radici reali. Sia $ d $ la differenza fra la radice maggiore e la rad. minore. Dimostra
$ p^2-3q<=d<=2(p^2-3q)/sqrt(3) $
Questo quesito mi ha messo cosí in difficoltà che ho intenzione di ristudiarmi tutta l'algebra del bienno (mi sa anche gli altri argomenti...) che credevo di aver assimilato...
Grazie in anticipo ...
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