Problema sulla suddivisione del piano da parte di n rette
Salve, mi chiedevo quale fosse la soluzione di questo problema che ho trovato di combinatoria:
"In quante regioni viene diviso un piano da 2010 rette, tali che non ne esistono 2 parallele e non ne esistono 3 che passano per uno stesso punto?"
Non avendo capito come impostare il problema formalmente, ho intuitivamente disegnato il piano, le rette ecc... e ho notato che, sotto le condizioni richieste, senza alcuna retta il piano è suddiviso in una parte, una retta divide il piano in 2 parti, due rette in 4 parti, tre rette in 7 parti, quattro rette in 11 parti, cinque rette in 16 parti e così via, cioè per arrivare da un numero all'altro di suddivisioni del piano si deve sommare ad una suddivisione il numero di rette disegnate +1,+2,+3,+4,+5,+6...Avendo ad esempio 4 rette tracciate, vedo quante suddivisioni ci sono per 3 rette (3=4-1, cioè il precedente numero di rette) e sommo 5 al risultato (5=4+1); in tutto viene 6+5=11. In generale, allora, prese n rette, il numero di suddivisioni S del piano da parte di queste n rette è Sn=n+1+m, dove m è il numero di suddivisioni per n-1 rette. Allora prese 2010 rette, si deve avere A=2011+m, dove m è il numero di suddivisioni per 2009 rette, che vale 2010+m1, dove m1 è il numero di suddivisioni per 2008 rette. Iterando questo procedimento, mi sembra di ricondurmi ad una somma di termini consecutivi S=2011+2010+2009+...+4+3+2+1=2023066
Il problema è che questo potrebbe essere un puro caso e non credo di aver impostato il problema come si deve, tra l'altro è persino di combinatoria e non credo di aver centrato la risoluzione più rapida e corretta. Qualcuno che mi illumini?
"In quante regioni viene diviso un piano da 2010 rette, tali che non ne esistono 2 parallele e non ne esistono 3 che passano per uno stesso punto?"
Non avendo capito come impostare il problema formalmente, ho intuitivamente disegnato il piano, le rette ecc... e ho notato che, sotto le condizioni richieste, senza alcuna retta il piano è suddiviso in una parte, una retta divide il piano in 2 parti, due rette in 4 parti, tre rette in 7 parti, quattro rette in 11 parti, cinque rette in 16 parti e così via, cioè per arrivare da un numero all'altro di suddivisioni del piano si deve sommare ad una suddivisione il numero di rette disegnate +1,+2,+3,+4,+5,+6...Avendo ad esempio 4 rette tracciate, vedo quante suddivisioni ci sono per 3 rette (3=4-1, cioè il precedente numero di rette) e sommo 5 al risultato (5=4+1); in tutto viene 6+5=11. In generale, allora, prese n rette, il numero di suddivisioni S del piano da parte di queste n rette è Sn=n+1+m, dove m è il numero di suddivisioni per n-1 rette. Allora prese 2010 rette, si deve avere A=2011+m, dove m è il numero di suddivisioni per 2009 rette, che vale 2010+m1, dove m1 è il numero di suddivisioni per 2008 rette. Iterando questo procedimento, mi sembra di ricondurmi ad una somma di termini consecutivi S=2011+2010+2009+...+4+3+2+1=2023066
Il problema è che questo potrebbe essere un puro caso e non credo di aver impostato il problema come si deve, tra l'altro è persino di combinatoria e non credo di aver centrato la risoluzione più rapida e corretta. Qualcuno che mi illumini?
Risposte
Ogni volta che tracci una nuova retta, questa incontra tutte le altre già tracciate (sono di lunghezza infinita) e le incontra una sola volta (rette incidenti hanno un solo punto in comune).
Quindi ogni volta che la nuova retta ne incontra un'altra, divide la superficie tra la retta incontrata e la successiva in due parti, aggiungendone perciò una a quelle che già c'erano, inoltre divide in due la superficie "iniziale" ovvero quella che percorre prima del primo incontro.
Tradotto in simboli, avremo che, posto $S_n$ il numero di parti dato da $n$ rette, sarà $S_n=S_(n-1)+n$ e "lavorandoci" sopra un pochino e tenendo conto che $S_0=1$, la "formula" dovrebbe essere $S_n=(n(n+1))/2+1$
Cordialmente, Alex
Quindi ogni volta che la nuova retta ne incontra un'altra, divide la superficie tra la retta incontrata e la successiva in due parti, aggiungendone perciò una a quelle che già c'erano, inoltre divide in due la superficie "iniziale" ovvero quella che percorre prima del primo incontro.
Tradotto in simboli, avremo che, posto $S_n$ il numero di parti dato da $n$ rette, sarà $S_n=S_(n-1)+n$ e "lavorandoci" sopra un pochino e tenendo conto che $S_0=1$, la "formula" dovrebbe essere $S_n=(n(n+1))/2+1$
Cordialmente, Alex
È proprio vero: nel mio modo barbaro di trovare la formula ho fatto persino un errore, scrivendo che per 3 rette ci sono 6 parti di piano quando poco prima avevo detto 7 
Quindi la formula generale (anche se l'avevo trovata molto, troppo intuitivamente) era S=n+m e con lo stesso ragionamento viene S(2010)=2010+2009+...+4+3+2+1+1=... E viene proprio questo. Grazie mille per la risposta!
Quindi la formula generale (anche se l'avevo trovata molto, troppo intuitivamente) era S=n+m e con lo stesso ragionamento viene S(2010)=2010+2009+...+4+3+2+1+1=... E viene proprio questo. Grazie mille per la risposta!
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