Cerchi e punti a coordinate intere

[gugo82]

Problema:

Come al solito, denotiamo col simbolo $ZZ^2$ l’insieme delle coppie ordinate che hanno entrambe le coordinate intere, ossia:
\[
\mathbb{Z}^2 := \{ (m,n),\ \text{con } m,n \in \mathbb{Z}\}\; .
\]
Nel piano cartesiano, i punti $P$ con coordinate in $ZZ^2$ sono i vertici di una “quadrettatura” con quadretti di lato unitario.

1. Provare che per ogni vertice $P=(m,n) in ZZ^2$ della quadrettatura passa un’unica circonferenza di centro $C=(sqrt(2), sqrt(3))$.

2. Provare che nessuna circonferenza di centro $C$ passa per due o più vertici della quadrettatura.

3. Provare che per ogni numero $N in NN$ esiste un cerchio del piano al cui interno cadono esattamente $N$ vertici della quadrettatura.

[axpgn]

Vediamo se ho capito bene ...

Per il primo punto penso ci sia poco da dimostrare, nel senso che la distanza $CP_(mn)$ è unica quindi esisterà un solo cerchio di centro $C$ e di raggio $CP_(mn)$ che passi per $P_(mn)$.

Per il secondo, dati due punti $P=(m,n)$ e $P'=(m+k,n+h)$ dove $m,n,h,k$ sono interi e $h,k$ non entrambi nulli, affinché entrambi si trovino sulla stessa circonferenza deve essere

$(m-sqrt(2))^2+(n-sqrt(3))^2=r^2$ e $(m+k-sqrt(2))^2+(n+h-sqrt(3))^2=r^2$

da cui

$(m-sqrt(2))^2+(n-sqrt(3))^2=(m+k-sqrt(2))^2+(n+h-sqrt(3))^2=r^2$ e sviluppando

$m^2+2-2sqrt(2)m+n^2+3-2sqrt(3)n=m^2+k^2+2+2mk-2sqrt(2)m-2sqrt(2)k+n^2+h2+3+2nh-2sqrt(3)n-2sqrt(3)h$

e poi semplificando

$0=+k^2+2mk-2sqrt(2)k+h2+2nh-2sqrt(3)h$

e si può notare che la parte intera potrebbe anche annullarsi ma i due elementi irrazionali no, dato che $sqrt(2)$ e $sqrt(3)$ non hanno multipli comuni (con moltiplicatore intero).

Per il terzo punto, dato che le distanze $CP$ sono tutte diverse basta ordinarle in ordine crescente e il cerchio che ha come raggio la prima distanza contiene un solo punto, il cerchio che ha come raggio la seconda distanza contiene due punti, ecc.

Isn't it?

Cordialmente, Alex