Scervelliamoci un po'
Spazio dedicato a problemi assegnati a gare matematiche o olimpiadi della matematica, o ancora a prove di ammissione a scuole di eccellenza.
Domande e risposte
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Sia $f_k(x)=e^x+x+k$ con $k\in\mathbb{R}$.
1. Dimostrare che $f_{k}(x)$ è invertibile per ogni $k\in\mathbb{R}$;
2. detta $f_k^{-1}(x)$ l'inversa della funzione $f_k(x)$, determinare l'insieme delle soluzioni associato all'equazione parametrica $f_{k}(x)-f_{k}^{-1}(x)=0$ al variare del parametro $k$.
L'esercizio di per sé non è difficilissimo, però lo trovo molto istruttivo soprattutto per i ragazzi di V liceo o I anno di università. In ogni caso, il problema è ...
Data un'ellisse, ne costruiamo una seconda incrementando la lunghezza di ciascun semiasse di $ d$. Qual è la distanza fra le due ellissi?
Ciao
Salve a tutti. Esercitandomi per il test CISIA mi è capitata la seguente domanda.
"Una scatola contiene 10 cubi. Ogni faccia di ciascun cubo è colorata di verde oppure di bianco oppure di rosso. In totale, 6 cubi hanno almeno una faccia verde, 7 hanno almeno una faccia bianca e 9 hanno almeno una faccia rossa; inoltre, nessuno dei 10 cubi ha tutte le facce dello stesso colore. Quanti cubi nella scatola hanno facce di tutti e tre i colori?"
Le possibili risposte sono: 8, 1, 9, 2, nessuno
Da ...
Sia $f(x)$ tale che $x=f(x)e^(f(x))$. Calcolare
$\int_{0}^{e} f(x)dx$
I 5 punti $A$, $B$, $C$, $D$ ed $E$ distano tutti $r$ dal punto $O$ e
AB = BC = CD = 2 u;
DE = EA = 3 u.
Quanti u vale $r$?
:
______
Buona sera, vi ripropongo in questa sezione, i seguenti due quesiti/giochi(che avevo proposto nella sezione giochi, ma dato l'argomento, e le risposte ricevute, probabilmente essa non era adatta), del primo gradirei una vostra risposta dimostrativa e matematica(che io non conosco), ma anche una soluzione vostra numerica, può bastare(da confrontare); del secondo invece richiedo una risposta informatica; vostro pseudo-codice oppure un algoritmo.(da confrontare)
DIMOSTRAZIONE MATEMATICA:
1) ...
Mi è stato proposto di dimostrare o confutare la seguente cosa
sia $P(x)=x^n-x^2+(a-b)x+ab$ un polinomio al variare di $a,b>0$ e tali che $a+1<b$ e $n>2$
Dimostrare o confutare che
se $existsx_0 inRR:P(x_0)=0$ allora $x_0 inRRsetminusQQ$
Non so se sia una specie di easter egg, ci ho provato per un po’ ma con scarsissimi risultati e mi è pure salito il mal di testa se avete idee, sono ben accette.
Salve volevo proporre due problemi tratti dalla Disfida Matematica "Urbi et Orbi" che non sono riuscito a risolvere:
a) Trovare il più grande intero $n$ tale che la disuguaglianza $ (x^7)^x ≤x^n+1-x$ sia vera per ogni $0<x<1$
b)Un polinomio di settimo grado è tale che $p(x)-32$ è divisbile per $(x+1)^4$ e $p(x)+32$ è divisibile per $(x-1)^4$.Quanto vale $p(2)$?
Io ho iniziato a svolgerlo così:deg ...
Un poligono convesso di dodici lati è inscritto in un cerchio.
Ha sei lati lunghi $sqrt(2)$ e sei lati lunghi $sqrt(24)$, disposti in ordine qualsiasi.
Quant'è il raggio?
Cordialmente, Alex
Ho un esercizio davvero carino, che può essere approcciato in più modi (come c'era d'aspettarsi).
Risolvere l'equazione trigonometrica
$\sin^3(x)+\cos^3(x)=1$
La palla a voi.
Dire con quale procedimento si può calcolare il volume di un tetraedro irregolare, conoscendo i suoi 6 spigoli.
Siamo nella parte del sito dedicato alla superiori, quindi sono esclusi gli argomenti universitari, fra cui analitica e trigonometria tridimensionali. Ribadisco che non sono richiesti i calcoli, ma solo il procedimento, esposto in modo un po' dettagliato.
Ho preso spunto da questo problema; consiglio di far riferimento alla sua figura.
Siano $(F_n)_(n \in NN)$ i numeri di Fibonacci, con $F_1=F_2=1$.
1) Dimostrare che per ogni $m$ intero positivo esiste un'unica successione $1<n_1<n_2<...<n_k$ di interi positivi a due a due non consecutivi tali che $m=\sum_{i=1}^k F_(n_i)$.
2) Sia $p_m$ la probabilità che $1$ compaia nella decomposizione di un intero positivo non superiore a $m$: si calcoli $lim_(m -> +oo) p_m$.
Sia $p$ un numero primo. Dimostrare che
$((2p-1),(p-1)) \equiv 1 \mod p$
Dimostrare che per ogni $n$ intero positivo
$\int_{0}^{1} x^n(1-x^2)^n dx \geq \frac{1}{n+1}(\frac{2}{3\sqrt{3}})^n$
Trovare tutte le soluzioni intere $(m,n)$ di
$m^2=n!$
Ciao. Non sono in grado di comprendere un esercizio proposto dal mio libro di testo.
E' questo:
$sen(5x)=16sen^5(x)$
il testo dice che è " facile verificare che":
$sen(5x)=16sen^5(x)−20sen^3(x)+5sen(x)$
Mi potreste dare un suggerimento su quali formule (addizione, bisezione, etc) rivolgere la mia attenzione per poter capire come si è arrivati a questa trasformazione?
Mi è stata suggerita dal sito una soluzione che prevede l'utilizzo di numeri complessi ma il mio testo (e io pure) è di livello inferiore e quindi ...
la successione era definita nel modo seguente: a di uno = uno, a di n+1= 1+ n/(a di n)
si chiedeva quindi di calcolare il limite per n che tende a più infinito di ((a di n) su radice di n)
di dimostrare che per qualunque n (a di n+1 è maggiore o uguale ad a di n)
di calcolare il limite per n che tende a più infinito di ((a di n) meno radice di n)
se qualcuno ha un idea
grazie
Nel triangolo ABC, con l'angolo CAB acuto, sia R la proiezione di B su AC e sia S la traccia della bisettrice dell'angolo BAC sul lato BC. Sapendo che l'angolo ASB vale 45°, calcolare la misura dell'angolo CRS espressa in gradi.
Trovare tutte le funzioni \(\displaystyle f : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \) tali che
\[ f \left(x - f(y) \right) = f\left( f(x) \right) - f (y) -1 \qquad \forall x, y \in \mathbb{Z} \]
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