Un polinomio e la sua unica radice

[Sk_Anonymous]

Propongo questo interessante esercizio che il mio professore di analisi ha inserito nei fogli settimanali. Possiedo una mia soluzione.

Per \(\displaystyle n \in \mathbb{N} \) sia \(\displaystyle a_{n} \in \mathbb{R} \) l'unica radice positiva del polinomio \(\displaystyle p_{n}(x)=x^{n} + x^{n-1} + ... + x -1 \) nella variabile \(\displaystyle x \in \mathbb{R} \). Provare che la successione \(\displaystyle (a_{n})_{n \in \mathbb{N}} \) converge e calcolarne il limite.

A voi.

[Gi81]

$AA n in NN$ si ha $a_n in (0, 1]$. Infatti $p_n(0)= -1$, $p_n (1)=n-1 >=0$
Detto ciò, si dimostra che $a_n >a_(n+1)$:
$p_(n+1)(a_n)= a_(n)^(n+1)+ 0 =a_n ^(n+1) >0$


Come conseguenza abbiamo che $0< a_(n+1)
Quindi la successione è monotona decrescente.
Il limite è $1/2$

[Rigel1]

@gi8:

Il tuo ragionamento mostra che la successione è convergente, ma non che il limite vale $1/2$.
Un modo elementare per dimostrare che il limite vale $1/2$ (non so se è il più rapido) è il seguente.
Intanto, osserviamo che per $x\in (0,1)$ si ha \( P_n(x) = \frac{1-x^{n+1}}{1-x}-2\).
Di conseguenza $P(1/2) = - 2^{-n} < 0$, per cui $a_n \in (1/2, 1)$ per ogni $n$.
Inoltre, se $\epsilon_n \in (0, 1)$ abbiamo che
\[ P_n\left(\frac{1+\epsilon_n}{2}\right) = \frac{2^{n+1}\epsilon_n - (1+\epsilon_n)^{n+1}}{2^n (1-\epsilon_n)}.\]
Scegliendo ad esempio $\epsilon_n = 1/(n+1)$ si verifica immediatamente che il numeratore della frazione diverge a $+\infty$, mentre il numeratore è positivo; di conseguenza \( P_n\left(\frac{1+\epsilon_n}{2}\right) > 0\) definitivamente, per cui \( \frac{1}{2} < a_n < \frac{1}{2} + \frac{1}{2(n+1)} \) definitivamente.

In alternativa, dopo aver osservato come hai fatto tu che la successione è convergente a un qualche limite $a\in [0, a_2]$, con $a_2 < 1$, e tenendo conto del fatto che $(P_n)$ converge uniformemente a $f(x) = \frac{2x-1}{1-x}$ in $[0,a_2]$, avremo che \( 0 = \lim_n P_n(a_n) = f(a)\), da cui concludiamo che $a=1/2$.

[Gi81]

@RIgel:

So di non averlo dimostrato, ma mi sembrava abbastanza semplice.

$lim_(n->+oo) a_n=q in (0,1)$
$q$ deve essere tale che $sum_(i=1)^(+oo) q^i=1$,
ovvero $sum_(i=0)^(+oo) q^i =2 <=>$ (dato che $|q|<1$) $1/(1-q)=2 <=> q=1/2$

[Rigel1]

@gi8:

Quello che dici coincide con la dimostrazione "alternativa" che ho scritto prima; infatti, per giustificare quanto dici occorre mostrare che i polinomi $P_n$ convergono uniformemente in $[0, b]$ per $b\in (1/2, 1)$.

[Sk_Anonymous]

Ovviamente