Aperti in un aperto

[Sk_Anonymous]

Questo dovrebbe essere un iper-classico, ma lo propongo ugualmente. Dopo alcuni tentativi sono riuscito a risolverlo.

Provare che un insieme aperto \(\displaystyle \mbox{A} \subset \mathbb{R} \) è l'unione al più numerabile di intervalli aperti disgiunti.

[Seneca1]

Passo 1). Prendiamo $x_0 = "inf" A$; $x_0$ non appartiene ad $A$ perché $A$ è aperto per ipotesi.

Considero poi $R_0 = { r in RR : x_0 + epsilon in A , AA epsilon > 0 : epsilon <= r}$ e definisco $bar r_0 = "sup" R$.

$I_0 = ( x_0 , x_0 + bar r_0 ) subseteq A$.

Passo 2). A questo punto consideriamo $A - I_0$ e ripetiamo il ragionamento andando a considerare prima l'inferiore $x_1$ dell'insieme $A - I_0$ e poi $R_1 = { r in RR : x_1 + epsilon in A , AA epsilon > 0 : epsilon <= r}$ ...

Iterando il ragionamento e ricordando che un insieme di intervalli a due a due disgiunti ha al più la potenza del numerabile, si ha la tesi.

Che ne dici?
Ora sono piuttosto stanco. Magari domani rivedo il tutto, forse qualche passaggio va chiarito meglio.

[Sk_Anonymous]

Mmm, me la devo guardare per bene, ma naso potrebbe starci.
Appena ho un attimo di tempo la controllo meglio, e quindi mostro la mia.

[dissonance]

Secondo me la costruzione di Seneca funziona ma ci sono da sistemare alcuni fatti:
[list=1][*:zcmc3uj3]Che si fa se \(A\) non è limitato inferiormente? [/*:m:zcmc3uj3]
[*:zcmc3uj3]Perché quella costruzione dovrebbe esaurire l'intero aperto? Non potrebbe succedere che, dopo una infinità numerabile di passi, resta ancora fuori qualche pezzetto?[/*:m:zcmc3uj3][/list:o:zcmc3uj3]

[Seneca1]

Grazie delle osservazioni, Dissonance.
Dunque, la prima questione si potrebbe aggiustare senza troppa difficoltà come segue:

1. Possiamo supporre che $A$ sia non vuoto e sia diverso da $RR$ (i chiusaperti della retta reale). Sia $xi in RR$ tale che $xi notin A$. Allora possiamo applicare la costruzione che ho proposto separatamente all'insieme $A_1 = ( xi , +oo) nn A$ e all'insieme $A_2 = ( - oo , xi ) nn A$ (con le dovute modifiche, cioè, per quanto riguarda $A_2$, si dovrà partire dal superiore anziché dall'inferiore).

[dissonance]

Si, buona idea. Possiamo quindi supporre che \(A\) sia limitato inferiormente. Resta però da capire il secondo punto che mi pare un po' più ostico.

[Sk_Anonymous]

Io ho risolto in questa maniera:

Sia \(\displaystyle A \subset \mathbb{R} \) un aperto non vuoto. Mi appoggio alla numerabilità dei razionali e considero un'enumerazione dei punti razionali appartenenti ad \(\displaystyle A \); chiamo \(\displaystyle r_{n} \) ognuno di questi punti. Sia ora \(\displaystyle A_{n} \) il più grande intervallo aperto in \(\displaystyle A \) che contiene \(\displaystyle r_{n} \). Sicuramente \(\displaystyle \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_{n} \subseteq A \). Devo ora provare l'altra inclusione, per potermi servire dell'antisimmetria della relazione \(\displaystyle \subseteq \).
Siccome \(\displaystyle A \) è aperto, \(\displaystyle \forall x \in A \ \exists q>0\) tale che \(\displaystyle B_{q}(x)\subseteq A \), e del resto esiste sicuramente \(\displaystyle r_{n} \) t.c. \(\displaystyle r_{n} \in B_{q}(x) \subseteq A_{n} \ \Rightarrow \ x \in A_{n} \); ne segue che \(\displaystyle A \subseteq \bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_{n} \), da cui \(\displaystyle A=\bigcup_{n \in \mathbb{N}} A_{n} \).

[Seneca1]

@dissonance: Senti un po': io ad ogni passo sono nelle condizioni di determinare l'estremo inferiore della parte rimanente del mio insieme $A$. Se ho ben compreso la natura della tua obiezione, non v'è che da provare che questi inferiori che vado a considerare volta per volta siano un'infinità al più numerabile. Questo è vero - intuitivamente - perché la distanza tra due inferiori successivi è sempre $> 0$, cioè questi non si addensano sulla retta reale.

Se mi dici che sono sulla giusta strada, provo a formalizzare...

[dissonance]

@Seneca: No, non era quello il problema. La tua costruzione produce una successione di intervalli \(I_n\) contenuti in \(A\). Ma non mi sembra evidente che \(\cup I_n = A\), ovvero che tale successione ricopre l'intero aperto \(A\). Se vuoi sapere la verità sto avendo qualche dubbio sul tuo approccio. Se funzionasse as is, esso sarebbe vero a prescindere dalla separabilità di \(\mathbb{R}\) e questo mi puzza parecchio.

@Delirium: Per \(A_n\) intendi il più grande intervallo contenente \(r_n\), vero? Sicuramente sì. Allora la tua costruzione mi convince ma devi raffinarla un po' perché allo stato attuale gli \(A_n\) non hanno obbligo di essere disgiunti.

[Sk_Anonymous]

Sì dissonance, è stata una svista.

Mmm... Dovrei provare che gli intervalli in questione sono massimali (in modo tale che la loro famiglia sia un insieme parzialmente ordinato dalla relazione di inclusione), in modo tale che se per assurdo \(\displaystyle A_{n} \cap A_{n+1} \ne \varnothing \) allora \(\displaystyle A_{n} \cup A_{n+1} \subset A_{n} \) e \(\displaystyle A_{n} \cup A_{n+1} \subset A_{n+1} \ \Rightarrow \ A_{n}=A_{n+1} \)... Ha senso? E se sì, come costruire questi massimali?

[ViciousGoblin]

"Delirium":Sì dissonance, è stata una svista.

Mmm... Dovrei provare che gli intervalli in questione sono massimali (in modo tale che la loro famiglia sia un insieme parzialmente ordinato dalla relazione di inclusione), in modo tale che se per assurdo \(\displaystyle A_{n} \cap A_{n+1} \ne \varnothing \) allora \(\displaystyle A_{n} \cup A_{n+1} \subset A_{n} \) e \(\displaystyle A_{n} \cup A_{n+1} \subset A_{n+1} \ \Rightarrow \ A_{n}=A_{n+1} \)... Ha senso? E se sì, come costruire questi massimali?

Mi pare che la stai facendo troppo complicata, mentre l'idea di partenza mi pare ottima.

Ricapitolando, per ogni razionale $r$ contenuto in $A$ hai definito $A_r$ come l'intervallo massimale contenente $r$ e contenuto in $A$: volendo essere espliciti
$A_r=(a_r,b_r)$ dove $a_r$:=inf${s: [s,r]\subset A}$ e $b_r$:=sup${t:[r,t]\subset A}$.
Numerando gli $r$ trovi che gli $A_{r_n}$ costituiscono una famiglia numerabile di intervalli aperti tali che $\bigcup_{n\in NN} A_{r_n}=A$.

Uno direbbe che è finita - purtroppo arriva dissonance a dirti che gli $A_{r}$ non sono tutti disgiunti .
Però puoi notare che, dati $s 1) $[s,r]\subset A$, e allora $A_s=A_r$
2) $[s,r]\cap(RR\setminus A)\ne\emptyset$, e allora $A_s\cap A_s=\emptyset$.

Ma allora devi solo "buttare via" gli $r_n$ superflui", e trattandosi di una successione si può escogitare un procedimento ....

EDIT Ho letto meglio il tuo ultimo messaggio (quello citato sopra). In effetti mi pare che ti mancasse la massimalità del
singolo $A_n$ cosa che non avevo capito bene alla prima lettura. Peraltro nel primo
messaggio - quello originario - mi sembra tu parlassi del "più grande sottointervallo contenenente $r_n$" ( o qualcosa del genere) e quindi mi sembrava che tu avessi GIA' l'intervallo massimale.

Spero di non avere confuso le acque.

EDIT 2 Perchè lo spoiler rovina le formule ?

EDIT 3 Sembra che gli apici, tipo $f'$ non funzionino bene dentro gli spoiler ???
Ho rieditato tutto il messaggio.

[maurer]

Sia [tex]A[/tex] un aperto fissato. Sia [tex]\sim[/tex] la relazione su [tex]A[/tex] definita da [tex]x \sim y \iff \text{esiste un intervallo aperto contenuto in A contenente x e y}[/tex]. Chiaramente è un'equivalenza (per la transitività, si osservi che l'unione di due intervalli aperti ad intersezione non vuota è ancora un intervallo aperto). Le classi di equivalenza sono le componenti connesse di [tex]A[/tex], quindi sono aperte in [tex]A[/tex], quindi sono aperte e connesse in [tex]\mathbb R[/tex]; inoltre sono connesse e in [tex]\mathbb R[/tex] i connessi sono tutti e soli gli intervalli, quindi le nostre componenti sono intervalli aperti. Infine, ogni componente connessa conterrà un razionale per la densità di [tex]\mathbb Q[/tex]. Fine.

[Sk_Anonymous]

Ecco qui un riferimento bibliografico. Ma tira in ballo il Lemma di Zorn...

@ViciousGoblin: potresti spiegarmi un po' meglio la tua idea? Perché in effetti potrei effettivamente aver esagerato la questione... Pensavo di selezionare solo alcuni razionali, non tutti (e comunque un insieme al più numerabile), in modo tale da poter costruire degli aperti tutti disgiunti.
Quanto alla terminologia da me adoperata nei post precedenti sì, in effetti ho utilizzato un paio di termini un po' a cuor leggero...