Area rettangolo ed estensione n dimensionale

[squall901]

Salve a tutti, forse vi sembrerà una domanda un pò banale ma l'area del rettangolo base*altezza è data per definizione o si dimostra? E in caso fosse una definizione posso dire che l'ipervolume di un "iperettangolo" (chiamiamolo così) definito come prodotto cartesiano di n intervalli reali chiusi, è uguale alla produttoria delle lunghezze di tali intervalli?

[gugo82]

Di solito, in teoria della misura, si assume per definizione che la misura di un parallelepipedo del tipo \(R:=\times_{n=1}^N (a_n,b_n) =(a_1,b_1)\times (a_2,b_2) \cdots \times (a_N,b_N)\) (la parentesi tonda la uso per indicare il fatto che non importa se gli intervalli d'estremi \(a_n\) e \(b_n\) siano chiusi, aperti o semiaperti) sia \(|R|:=\prod_{n=1}^N (b_n-a_n)\).

[dissonance]

Ma in effetti è una scelta arbitraria. Volendo si potrebbe definire una nozione di "area" e di "volume" che preveda per rettangoli e parallelepipedi formule diverse. Facendo una cosa del genere cambierebbero di conseguenza tutte le formule per la misura delle aree e dei volumi; per esempio l'area del cerchio non sarebbe più \(\pi r^2\).

[gugo82]

"dissonance":Ma in effetti è una scelta arbitraria. Volendo si potrebbe definire una nozione di "area" e di "volume" che preveda per rettangoli e parallelepipedi formule diverse. Facendo una cosa del genere cambierebbero di conseguenza tutte le formule per la misura delle aree e dei volumi; per esempio l'area del cerchio non sarebbe più \(\pi r^2\).

Il che mi ricorda questa discussione... Che dovrò riprendere prima o poi (devo ritrovare il maledettissimo foglio coi contazzi).