Un'equazione differenziale "al pomodoro"
Ciao a tutti,
vorrei sottoporre al forum un problema, penso relativamente semplice, ma nello stesso tempo esemplificativo di un problema matematico "pratico" che ho affrontato dove lavoro. Si tratta di un meccanismo che deve spargere della salsa di pomodoro sopra alla base di una pizza secondo una spirale di Archimede, partendo dall'esterno (vicino alla crosta) ed andando verso il centro, allo scopo di imitare il piu' possibile quello che fa il pizzaiolo con il cucchiaio per cercare di omogeneizzare la quantità di salsa sopra alla pasta. Il pomodoro viene spruzzato da un ugello alimentato da una pompetta che ha una portata costante (nel tempo). Per avere il pomodoro uniforme sulla pasta bisogna ruotare l'ugello velocemente quando esso si trova vicino alla crosta e poi rallentarlo man mano che ci si avvicina al centro della base di pasta. In altre parole bisogna cercare di muovere l'ugello lungo l'ascissa curvilinea della spirale di Archimede ad una velocità tangenziale costante.
Lavorando qualche passaggio per impostare il problema si giunge ad una equazione differenziale, in cui l'incognita è una funzione alfa(t) che, una volta trovata (esiste?), dovrebbe poter dire con che legge fare ruotare l'ugello in modo che la velocità tangenziale di percorrenza della spirale sia quella desiderata V = costante.
Purtroppo avevo preparato un allegato PDF con l'impostazione del problema ma non riesco ad allegarlo (e non riesco neanche ad inserire i simboli TeX)
L'equazione differenziale è la seguente (spero possa essere interpretata correttamente)
[tex]\alpha'(t) = \frac{V}{K \cdot \sqrt{1 + \alpha^2(t)}}[/tex]
[xdom="Martino"]Sistemato il codice.[/xdom]
dove:
der_alfa = derivata prima della funzione incognita
V = costante, è la velocità tangenziale desiderata
K = costante, dice quanto è il passo della spirale di Archimede
alfa^2 = è la funzione incognita al quadrato...
Ciao a tutti e grazie
Stefano
vorrei sottoporre al forum un problema, penso relativamente semplice, ma nello stesso tempo esemplificativo di un problema matematico "pratico" che ho affrontato dove lavoro. Si tratta di un meccanismo che deve spargere della salsa di pomodoro sopra alla base di una pizza secondo una spirale di Archimede, partendo dall'esterno (vicino alla crosta) ed andando verso il centro, allo scopo di imitare il piu' possibile quello che fa il pizzaiolo con il cucchiaio per cercare di omogeneizzare la quantità di salsa sopra alla pasta. Il pomodoro viene spruzzato da un ugello alimentato da una pompetta che ha una portata costante (nel tempo). Per avere il pomodoro uniforme sulla pasta bisogna ruotare l'ugello velocemente quando esso si trova vicino alla crosta e poi rallentarlo man mano che ci si avvicina al centro della base di pasta. In altre parole bisogna cercare di muovere l'ugello lungo l'ascissa curvilinea della spirale di Archimede ad una velocità tangenziale costante.
Lavorando qualche passaggio per impostare il problema si giunge ad una equazione differenziale, in cui l'incognita è una funzione alfa(t) che, una volta trovata (esiste?), dovrebbe poter dire con che legge fare ruotare l'ugello in modo che la velocità tangenziale di percorrenza della spirale sia quella desiderata V = costante.
Purtroppo avevo preparato un allegato PDF con l'impostazione del problema ma non riesco ad allegarlo (e non riesco neanche ad inserire i simboli TeX)
L'equazione differenziale è la seguente (spero possa essere interpretata correttamente)
[tex]\alpha'(t) = \frac{V}{K \cdot \sqrt{1 + \alpha^2(t)}}[/tex]
[xdom="Martino"]Sistemato il codice.[/xdom]
dove:
der_alfa = derivata prima della funzione incognita
V = costante, è la velocità tangenziale desiderata
K = costante, dice quanto è il passo della spirale di Archimede
alfa^2 = è la funzione incognita al quadrato...
Ciao a tutti e grazie
Stefano
Risposte
Ciao!
In sintesi, correggimi se sbaglio, vuoi sapere se esiste un'espressione chiusa per la soluzione dell'equazione differenziale che hai scritto.
In sintesi, correggimi se sbaglio, vuoi sapere se esiste un'espressione chiusa per la soluzione dell'equazione differenziale che hai scritto.
Beh, la funzione \(\alpha (t)\) si può certamente determinare in forma implicita perché la funzione \(\sqrt{1+\alpha^2}\) è elementarmente integrabile... Ma andiamo con ordine.
Il secondo membro dell'equazione è indipendente da \(t\) ed è una funzione sublineare ed uniformemente lipschitziana rispetto ad \(\alpha\) in tutto \(\mathbb{R}\); ne consegue che, comunque fissi un valore \(\alpha_0\) per la posizione dell'ugello all'istante \(t=0\), esiste un'unica soluzione del problema di Cauchy:
\[
\begin{cases}
\alpha^\prime =\frac{V}{K\sqrt{1+\alpha^2}}\\
\alpha (0)=\alpha_0
\end{cases}
\]
definita per ogni tempo \(t>0\).
La soluzione \(\alpha (t)\) è funzione strettamente monotona, ed è crescente [risp. decrescente] se \(V/K>0\) [risp. \(V/K<0\)].
Inoltre, dato che \(\alpha\) è continua, anche \(\alpha^\prime\) è continua (perché il secondo membro della EDO è una funzione continua) sicché \(\alpha\) è \(C^1\); ma, se \(\alpha\) è \(C^1\), allora anche \(\alpha^\prime\) è \(C^1\) (perché il secondo membro della EDO è una funzione con derivata continua) e quindi \(\alpha\) è \(C^2\)... Ragionando in maniera iterativa si riconosce che \(\alpha\) è in realtà una funzione di classe \(C^\infty\).
[Credo, comunque, che si potrebbe addirittura dimostrare che \(\alpha\) è analitica.]
In ogni caso, la stretta monotonia e la regolarità di \(\alpha (t)\) implicano che \(\alpha\) si può utilizzare per fare un cambiamento di variabile in un integrale, cosa che servirà più avanti.
Separando le variabili si trova per ogni \(t>0\):
\[
\sqrt{1+\alpha^2(t)}\ \alpha^\prime (t) =\frac{V}{K}
\]
cosicché, fissato \(t>0\), integrando membro a membro la precedente su \([0,t]\) si ha:
\[
\begin{split}
\frac{V}{K}\ t &= \int_0^t \frac{V}{K}\ \text{d} \tau \\ &= \int_0^t \sqrt{1+\alpha^2(\tau)}\ \alpha^\prime (\tau)\ \text{d} \tau \\ & \stackrel{\theta =\alpha (\tau)}{=} \int_{\alpha_0}^{\alpha (t)} \sqrt{1+\theta^2}\ \text{d} \theta \\ &= \frac{1}{2} \left[ \theta\ \sqrt{1+\theta^2} + \text{sett} \sinh \theta \right]_{\alpha_0}^{\alpha (t)} \\ &= \frac{1}{2} \left( \alpha (t)\ \sqrt{1+\alpha^2 (t)} + \text{sett}\sinh \alpha (t) - \alpha_0\ \sqrt{1+\alpha_0^2} - \text{sett}\sinh \alpha_0 \right)
\end{split}
\]
(qui \(\text{sett}\sinh y:= \ln (y+\sqrt{1+y^2}\ )\)) quindi \(\alpha (t)\) è la funzione con \(\alpha (0)=\alpha_0\) definita implicitamente dall'equazione:
\[
\tag{A} \alpha \ \sqrt{1+\alpha^2 } + \text{sett}\sinh \alpha = \frac{2V}{K}\ t + \alpha_0\ \sqrt{1+\alpha_0^2} + \text{sett}\sinh \alpha_0\; .
\]
Questo è il massimo che puoi fare, perché l'equazione (A) non ha soluzioni esprimibili in forma chiusa, cioè non è possibile determinare esplicitamente un'espressione elementare per la soluzione di (A) (detto brutalmente, non puoi scrivere \(\alpha =\text{qualcosa} (t)\) con \(\text{qualcosa}\) esprimibile in termini di funzioni elementari).
Il secondo membro dell'equazione è indipendente da \(t\) ed è una funzione sublineare ed uniformemente lipschitziana rispetto ad \(\alpha\) in tutto \(\mathbb{R}\); ne consegue che, comunque fissi un valore \(\alpha_0\) per la posizione dell'ugello all'istante \(t=0\), esiste un'unica soluzione del problema di Cauchy:
\[
\begin{cases}
\alpha^\prime =\frac{V}{K\sqrt{1+\alpha^2}}\\
\alpha (0)=\alpha_0
\end{cases}
\]
definita per ogni tempo \(t>0\).
La soluzione \(\alpha (t)\) è funzione strettamente monotona, ed è crescente [risp. decrescente] se \(V/K>0\) [risp. \(V/K<0\)].
Inoltre, dato che \(\alpha\) è continua, anche \(\alpha^\prime\) è continua (perché il secondo membro della EDO è una funzione continua) sicché \(\alpha\) è \(C^1\); ma, se \(\alpha\) è \(C^1\), allora anche \(\alpha^\prime\) è \(C^1\) (perché il secondo membro della EDO è una funzione con derivata continua) e quindi \(\alpha\) è \(C^2\)... Ragionando in maniera iterativa si riconosce che \(\alpha\) è in realtà una funzione di classe \(C^\infty\).
[Credo, comunque, che si potrebbe addirittura dimostrare che \(\alpha\) è analitica.]
In ogni caso, la stretta monotonia e la regolarità di \(\alpha (t)\) implicano che \(\alpha\) si può utilizzare per fare un cambiamento di variabile in un integrale, cosa che servirà più avanti.
Separando le variabili si trova per ogni \(t>0\):
\[
\sqrt{1+\alpha^2(t)}\ \alpha^\prime (t) =\frac{V}{K}
\]
cosicché, fissato \(t>0\), integrando membro a membro la precedente su \([0,t]\) si ha:
\[
\begin{split}
\frac{V}{K}\ t &= \int_0^t \frac{V}{K}\ \text{d} \tau \\ &= \int_0^t \sqrt{1+\alpha^2(\tau)}\ \alpha^\prime (\tau)\ \text{d} \tau \\ & \stackrel{\theta =\alpha (\tau)}{=} \int_{\alpha_0}^{\alpha (t)} \sqrt{1+\theta^2}\ \text{d} \theta \\ &= \frac{1}{2} \left[ \theta\ \sqrt{1+\theta^2} + \text{sett} \sinh \theta \right]_{\alpha_0}^{\alpha (t)} \\ &= \frac{1}{2} \left( \alpha (t)\ \sqrt{1+\alpha^2 (t)} + \text{sett}\sinh \alpha (t) - \alpha_0\ \sqrt{1+\alpha_0^2} - \text{sett}\sinh \alpha_0 \right)
\end{split}
\]
(qui \(\text{sett}\sinh y:= \ln (y+\sqrt{1+y^2}\ )\)) quindi \(\alpha (t)\) è la funzione con \(\alpha (0)=\alpha_0\) definita implicitamente dall'equazione:
\[
\tag{A} \alpha \ \sqrt{1+\alpha^2 } + \text{sett}\sinh \alpha = \frac{2V}{K}\ t + \alpha_0\ \sqrt{1+\alpha_0^2} + \text{sett}\sinh \alpha_0\; .
\]
Questo è il massimo che puoi fare, perché l'equazione (A) non ha soluzioni esprimibili in forma chiusa, cioè non è possibile determinare esplicitamente un'espressione elementare per la soluzione di (A) (detto brutalmente, non puoi scrivere \(\alpha =\text{qualcosa} (t)\) con \(\text{qualcosa}\) esprimibile in termini di funzioni elementari).
Grazie mille.
Avevo trovato un sito, se mi viene in mente lo posto, che forniva la soluzione in forma chiusa soltanto se sotto radice NON c'è il quadrato. Con il quadrato, invece, dava solo il grafico della soluzione (confermo crescente). Pensavo fosse una limitazione del software on-line ma invece con questa utile dimostrazione risulta proprio che la soluzione non è esprimibile in forma chiusa.
Penso allora di andare verso un metodo numerico di integrazione, credo convenenientemente, partendo dall' eq. differenziale (puo' essere?)
SP
Avevo trovato un sito, se mi viene in mente lo posto, che forniva la soluzione in forma chiusa soltanto se sotto radice NON c'è il quadrato. Con il quadrato, invece, dava solo il grafico della soluzione (confermo crescente). Pensavo fosse una limitazione del software on-line ma invece con questa utile dimostrazione risulta proprio che la soluzione non è esprimibile in forma chiusa.
Penso allora di andare verso un metodo numerico di integrazione, credo convenenientemente, partendo dall' eq. differenziale (puo' essere?)
SP
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