Superadditività

[fu^2]

una piccola cosa per iniziare l'anno (che io non sapevo e ho scoperto di recente).

Dal momento che è più importante di quanto uno creda (me ne sto accorgendo ora nell'iniziare a studiare i preamboli della tesi) penso sia quantomeno interessante saperlo (anche se penso sia un argomento noto ai più), anche se non è un risultato difficile.

Consideriamo una successione superadditiva, ovvero t.c. $a_{n+m}\geq a_n+a_m$ per ogni $n,m$ naturali.

Allora la successione $\frac{a_n}{n}$ ammette limite e si ha che $\lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{n}=\text{sup}_{n\in\mathbb{N}}\frac{a_n}{n}$.

[ViciousGoblin]

Carino (non l'avevo mai visto ...)

Sia $l="sup"{a_n/n : n\in NN}$. Considero il caso $l\in RR$ (i casi infiniti si faranno in modo simile, credo). Allora
(1) $a_n/n\le l $ per ogni $n$
mentre fissato $\epsilon>0 $ trovo un $k$ tale che
$a_k/k >l-\epsilon/2 $.
Ora per $n$ intero posso scrivere $n=hk+m$ con $0\le m < k$. Prendiamo $M:=\max{|a_1|,...,|a_{k-1}|}$. Per la superadditività
$a_n/n\geq\frac{a_{hk}+a_m}{n}\geq\frac{h a_k-M}{n}\geq \frac{h k(l-\epsilon/2)-M}{n}=(n-m)/n(l-\epsilon/2)-\frac{M}{n}\geq l-\epsilon/2-\frac{kl+M}{n}$
L'utimo termine tende a zero se $n\to\infty$ (il numeratore non dipende da $n$ ) e quindi
(2) $a_n\geq l-\epsilon $ per $n$ abbastanza grande.
Da (1) e (2) segue la tesi.