Scuola Normale Superiore, 2008/09, problema 1
E' stato dato quest'anno al test d'ammissione.
Per chi vuole cimentarsi, è uno dei più semplici, insieme al numero 2, secondo me.
Considera i numeri interi relativi $p_1, p_2, p_3$ e gli interi positivi $q_1, q_2, q_3$ tali che
$|p_1q_2-p_2q_1|=|p_1q_3-p_3q_1|=|p_2q_3-p_3q_2|=1$
Verificare che si ha
$p_3=p_2+p_1$ e $q_3=q_2+q_1$
eventualmente dopo un riordinamento delle coppie $(p_1,q_1)$, $(p_2,q_2)$ e $(p_3,q_3)$
L'ultima frase è da leggersi così: non per forza deve essere $p_3=p_1+p_2$ ma anche potrebbe essere $p_2=p_1+p_3$
Permutate i pedici, insomma.
Buon lavoro.
Per chi vuole cimentarsi, è uno dei più semplici, insieme al numero 2, secondo me.
Considera i numeri interi relativi $p_1, p_2, p_3$ e gli interi positivi $q_1, q_2, q_3$ tali che
$|p_1q_2-p_2q_1|=|p_1q_3-p_3q_1|=|p_2q_3-p_3q_2|=1$
Verificare che si ha
$p_3=p_2+p_1$ e $q_3=q_2+q_1$
eventualmente dopo un riordinamento delle coppie $(p_1,q_1)$, $(p_2,q_2)$ e $(p_3,q_3)$
L'ultima frase è da leggersi così: non per forza deve essere $p_3=p_1+p_2$ ma anche potrebbe essere $p_2=p_1+p_3$
Permutate i pedici, insomma.
Buon lavoro.
Risposte
Beh, io procederei così... nascondo la mia risposta, così se qualcun altro ci volesse provare...
Ti sembra corretto come ragionamento?
Ti sembra corretto come ragionamento?
Hw
Dì dove trovi difficoltà,altrimenti non possiamo aiutarti!
Ma che simpa che sei!
Peccato che io sono solito specificare se posto un quesito per proporlo, o se posto un quesito per avere una delucidazione.
Il contrario di te, che posti senza dire buongiorno o buonasera.
Sei stato già stato ammonito da un amministratore.
Aver aperto un topic con gli stessi presupposti che io ti contestavo, regolamento alla mano, o questo post di sopra, sono esempi di chiara provocazione.
Dunque se questo tuo comportamento non cessa, ti avviso che chiederò il tuo ban definitivo dal forum, come ho già fatto con altri utenti che perseveravano nei loro errori ignorando i richiami.
Iw
Lw
"Ene@":
Allora,se vuoi fare il bambino fallo pure;ciò che non mi sta bene è che tu mi hai richiamato per una cosa,a tuo modo di dire e,regolamento alla mano,scorretta,ed ora proponi un intero esercizio.Tu mi hai contestao proprio questo;il proporre un esercizio senza fare vedere il minimo sforzo.Mah..mi sembra tanto evidente la cosa..
Non sta mica chiedendo aiuto! Ha proposto l'esercizio a noi... e non ha detto di risolverlo per lui. Sicuramente, per quant'è bravo, l'avrà già fatto....
Enea calmati qui Steven sta proponendo un esercizio agli utenti, non sta chiedendo chiarimenti su come risolverlo, è ovvio che quindi non dica dove ha trovato difficoltà; se lo propone lo fa perchè può essere di interesse per gli utenti, non perchè gli dicano come farlo.
Mw
Per i miei gusti ci sono fin troppi OT. Se a qualcuno non va bene l'operato di qualcun altro si rivolga agli amministratori in privato. Se alcuni utenti hanno suggerimenti nei confronti di altri usino pure i messaggi privati. Ma, per favore, basta OT, l'argomento di questa discussione è un altro.
EDIT: cancellato un successivo intervento di Ene@, perché mi era sembrato di essere stato chiaro, basta OT.
EDIT: cancellato un successivo intervento di Ene@, perché mi era sembrato di essere stato chiaro, basta OT.
Ho letto la soluzione Maurer, direi che va bene.
Altrimenti, io ho fatto così:
$|p_1q_2-p_2q_1|=|p_1q_3-p_3q_1|=|p_2q_3-p_3q_2|=1$
Possiamo supporre che almeno due dei tre argomenti del modulo sono positivi, ovvero di valore +1
Senza perdite di generalità, vista la simmetria del problema, poniamo
$p_1q_2-p_2q_1=1$ (1)
$p_1q_3-p_3q_1=1$ (2)
Quindi, partendo dalla 1, otteniamo
$p_1=\frac{1+p_2q_1}{q_2}$
e sostituendo nella (2) e semplificando (non riporto i calcoletti) abbiamo
$q_3=q_1q_3p_2-p_3q_1q_2=q_2$
cioè
$q_3=q_1(q_3p_2-p_3q_2)+q_2$ ma d'altra parte per ipotesi deve aversi che la parentesi $(q_3p_2-p_3q_2)$ valga $+-1$ quindi giungo a
$q_3=+-q_1+q_2$, dimostrato. Stessa minestra per le $q$
E' facile aggiustare il caso in cui i due argomenti sono negativi: se
$p_1q_2-p_2q_1=-1$ allora pongo $p_1=-u_1$ e $p_2=-u_2$ ottenendo
$u_1q_2-u_2q_1=1$ e agendo come prima, arrivo a
$u_3=+-u_1+q_2$ ovvero $-p_3=-+p_1+p_2$ quindi arrivo sempre a ordinare i numeri come si richiede, in un modo o nell'altro.
Piuttosto, io mi domandavo: non sembra inutile dire che le $q$ devono essere positive?
Secondo me serve solo a legittimare il passaggio in cui moltiplichiamo ambo i membri per $q_2$, che siccome è positivo, non può essere nullo e quindi ce la caviamo.
Che ne dite?
Altrimenti, io ho fatto così:
$|p_1q_2-p_2q_1|=|p_1q_3-p_3q_1|=|p_2q_3-p_3q_2|=1$
Possiamo supporre che almeno due dei tre argomenti del modulo sono positivi, ovvero di valore +1
Senza perdite di generalità, vista la simmetria del problema, poniamo
$p_1q_2-p_2q_1=1$ (1)
$p_1q_3-p_3q_1=1$ (2)
Quindi, partendo dalla 1, otteniamo
$p_1=\frac{1+p_2q_1}{q_2}$
e sostituendo nella (2) e semplificando (non riporto i calcoletti) abbiamo
$q_3=q_1q_3p_2-p_3q_1q_2=q_2$
cioè
$q_3=q_1(q_3p_2-p_3q_2)+q_2$ ma d'altra parte per ipotesi deve aversi che la parentesi $(q_3p_2-p_3q_2)$ valga $+-1$ quindi giungo a
$q_3=+-q_1+q_2$, dimostrato. Stessa minestra per le $q$
E' facile aggiustare il caso in cui i due argomenti sono negativi: se
$p_1q_2-p_2q_1=-1$ allora pongo $p_1=-u_1$ e $p_2=-u_2$ ottenendo
$u_1q_2-u_2q_1=1$ e agendo come prima, arrivo a
$u_3=+-u_1+q_2$ ovvero $-p_3=-+p_1+p_2$ quindi arrivo sempre a ordinare i numeri come si richiede, in un modo o nell'altro.
Piuttosto, io mi domandavo: non sembra inutile dire che le $q$ devono essere positive?
Secondo me serve solo a legittimare il passaggio in cui moltiplichiamo ambo i membri per $q_2$, che siccome è positivo, non può essere nullo e quindi ce la caviamo.
Che ne dite?
Io ho pensato così ma ho serissimi dubbi. Diciamo che sono quasi certo che la mia soluzione sia sbagliata o incompleta.
Consideriamo il terzo numero p2q3-p3q2. Operiamo delle sostituzioni ricordando che q3= q1+q2 e p3= p1+p2.
Otteniamo p2(q1+q2)-q2(p1+p2), da cui, senza scrivere tutti i passaggi, si ottiene il primo numero p2q1-p1q2 (è cambiato di segno, ma con il valore assoluto non importa)
Uguaglianze tra due dei tre numeri si ottengono anche scegliendone un'altro tra di essi, seguendo lo stesso procedimento.
Ciò "dovrebbe" dimostrare che l'ipotesi di partenza si verifica se valgono le relazioni p3=p1+p2 e q3=q1+q2.
Il mio grosso dubbio riguarda quell'uguale ad 1
Consideriamo il terzo numero p2q3-p3q2. Operiamo delle sostituzioni ricordando che q3= q1+q2 e p3= p1+p2.
Otteniamo p2(q1+q2)-q2(p1+p2), da cui, senza scrivere tutti i passaggi, si ottiene il primo numero p2q1-p1q2 (è cambiato di segno, ma con il valore assoluto non importa)
Uguaglianze tra due dei tre numeri si ottengono anche scegliendone un'altro tra di essi, seguendo lo stesso procedimento.
Ciò "dovrebbe" dimostrare che l'ipotesi di partenza si verifica se valgono le relazioni p3=p1+p2 e q3=q1+q2.
Il mio grosso dubbio riguarda quell'uguale ad 1
Infatti, quello che fai tu prova soltanto che i valori assoluti sono uguali.
Non so se si può, ma occorrerebbe che ora tu mostri che quella condizione implica non solo l'uguaglianza tra i valori assoluti, ma anche l'uguaglianza di essi a $1$.
Tuttavia, ho il sospetto che in questo modo tu dimostri che la condizione sia sufficiente, e non che sia necessaria.
Ciao.
Non so se si può, ma occorrerebbe che ora tu mostri che quella condizione implica non solo l'uguaglianza tra i valori assoluti, ma anche l'uguaglianza di essi a $1$.
Tuttavia, ho il sospetto che in questo modo tu dimostri che la condizione sia sufficiente, e non che sia necessaria.
Ciao.
"Steven":
vista la simmetria del problema
Puoi chiarire cosa intendi con la precedente affermazione?
"WiZaRd":
Puoi chiarire cosa intendi con la precedente affermazione?
Considerando
$|p_1q_2-p_2q_1|=|p_1q_3-p_3q_1|=|p_2q_3-p_3q_2|=1$
se cambio ad esempio gli "uno" con i "due", i "due" con i "tre" e i "tre" con gli "uno" ottengo una relazione equivalente
$|p_2q_3-p_3q_2|=|p_2q_1-p_1q_2|=|p_3q_1-p_1q_3|=1$
(calcola infatti che dentro il modulo l'espressione può essere pure cambiate di segno, tanto $|a-b|=|b-a|$
Questo per dirti che il pedice non ha molta importanza, è solo un modo per riconoscere su cosa si sta lavorando.
Forse il termine "simmetria" non è troppo preciso per descrivere il fatto che posso lavorare indistintamente con due argomenti a casaccio, e che lo stesso ragionamento è applicabile senza problemi con un'altra scelta.
Dici che ho detto bene?
Grazie per la precisazione. Era solo curiosità perché non avevo capito a che cosa si riferiva il termine "simmetria".
Domanda, forse stupida 
Dato che la richiesta è di verificare e non dimostrare, basterebbe prendere la tesi data, quindi:
È sbagliato?
Dato che la richiesta è di verificare e non dimostrare, basterebbe prendere la tesi data, quindi:
È sbagliato?
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