[Gruppi] Indici dei massimali nei risolubili
Sappiamo che se un sottogruppo ha indice primo allora è massimale. Ma cosa possiamo dire dell'indice di un sottogruppo massimale?
Nell'ambito dei gruppi risolubili qualcosa riusciamo a dire.
Teorema. L'indice di un sottogruppo massimale di un gruppo risolubile finito è una potenza di un primo.
Nel seguito propongo una serie di risultati intermedi che servono a dimostrare questo teorema.
Introduco la nozione di "sottogruppo normale minimale". Un sottogruppo normale [tex]N[/tex] di un gruppo [tex]G[/tex] si dice "sottogruppo normale minimale" se nessun sottogruppo proprio non banale di [tex]N[/tex] è normale in [tex]G[/tex].
Introduco la nozione di "sottogruppo sub-normale minimale". Un sottogruppo [tex]H[/tex] di un gruppo [tex]G[/tex] si dice "subnormale" se esiste una sequenza finita [tex]H=N_0 \unlhd N_1 \unlhd ... \unlhd N_t = G[/tex]. [tex]H[/tex] si dice "subnormale minimale" se è subnormale e in aggiunta nessun sottogruppo proprio non banale di [tex]H[/tex] è subnormale in [tex]G[/tex].
Lemma A. Sia [tex]G[/tex] un gruppo risolubile, e sia [tex]K[/tex] un sottogruppo sub-normale minimale di [tex]G[/tex]. Allora [tex]K[/tex] è ciclico di ordine primo.
Dim. Osserviamo che [tex]K[/tex] dev'essere semplice...
Lemma B. Un gruppo finito ammette sempre sottogruppi normali minimali e subnormali minimali.
Dim. Basta andare giù abbastanza.
Lemma C. Sia [tex]G[/tex] un gruppo risolubile, e sia [tex]N[/tex] un suo sottogruppo normale minimale. Allora [tex]N \cong C_p^n[/tex] per un [tex]p[/tex] primo e un intero positivo [tex]n[/tex]. In particolare [tex]|N| = p^n[/tex].
Dim. Consideriamo un sottogruppo subnormale minimale [tex]K[/tex] di [tex]G[/tex] contenuto in [tex]N[/tex]. I suoi coniugati sono tutti sottogruppi di [tex]N[/tex]. Consideriamo il sottogruppo che generano...
Siano ora [tex]G[/tex] un gruppo risolubile e [tex]H[/tex] un suo sottogruppo massimale. Detto [tex]H_G[/tex] il cuore normale di [tex]H[/tex] in [tex]G[/tex] (l'intersezione dei coniugati di [tex]H[/tex]), siccome basta mostrare il risultato per [tex]G/H_G[/tex] e [tex]H/H_G[/tex], possiamo supporre che [tex]H_G=\{1\}[/tex]. Sia [tex]N \cong C_p^n[/tex] un sottogruppo normale minimale di [tex]G[/tex]. Siccome [tex]H_G=\{1\}[/tex] si ha [tex]H \cap N=\{1\}[/tex] e dalla massimalità di [tex]H[/tex] segue che [tex]HN=G[/tex]. Quindi [tex]|G:H| = |HN:H| = |N:H \cap N| = |N| = p^n[/tex].
Nell'ambito dei gruppi risolubili qualcosa riusciamo a dire.
Teorema. L'indice di un sottogruppo massimale di un gruppo risolubile finito è una potenza di un primo.
Nel seguito propongo una serie di risultati intermedi che servono a dimostrare questo teorema.
Introduco la nozione di "sottogruppo normale minimale". Un sottogruppo normale [tex]N[/tex] di un gruppo [tex]G[/tex] si dice "sottogruppo normale minimale" se nessun sottogruppo proprio non banale di [tex]N[/tex] è normale in [tex]G[/tex].
Introduco la nozione di "sottogruppo sub-normale minimale". Un sottogruppo [tex]H[/tex] di un gruppo [tex]G[/tex] si dice "subnormale" se esiste una sequenza finita [tex]H=N_0 \unlhd N_1 \unlhd ... \unlhd N_t = G[/tex]. [tex]H[/tex] si dice "subnormale minimale" se è subnormale e in aggiunta nessun sottogruppo proprio non banale di [tex]H[/tex] è subnormale in [tex]G[/tex].
Lemma A. Sia [tex]G[/tex] un gruppo risolubile, e sia [tex]K[/tex] un sottogruppo sub-normale minimale di [tex]G[/tex]. Allora [tex]K[/tex] è ciclico di ordine primo.
Dim. Osserviamo che [tex]K[/tex] dev'essere semplice...
Lemma B. Un gruppo finito ammette sempre sottogruppi normali minimali e subnormali minimali.
Dim. Basta andare giù abbastanza.
Lemma C. Sia [tex]G[/tex] un gruppo risolubile, e sia [tex]N[/tex] un suo sottogruppo normale minimale. Allora [tex]N \cong C_p^n[/tex] per un [tex]p[/tex] primo e un intero positivo [tex]n[/tex]. In particolare [tex]|N| = p^n[/tex].
Dim. Consideriamo un sottogruppo subnormale minimale [tex]K[/tex] di [tex]G[/tex] contenuto in [tex]N[/tex]. I suoi coniugati sono tutti sottogruppi di [tex]N[/tex]. Consideriamo il sottogruppo che generano...
Siano ora [tex]G[/tex] un gruppo risolubile e [tex]H[/tex] un suo sottogruppo massimale. Detto [tex]H_G[/tex] il cuore normale di [tex]H[/tex] in [tex]G[/tex] (l'intersezione dei coniugati di [tex]H[/tex]), siccome basta mostrare il risultato per [tex]G/H_G[/tex] e [tex]H/H_G[/tex], possiamo supporre che [tex]H_G=\{1\}[/tex]. Sia [tex]N \cong C_p^n[/tex] un sottogruppo normale minimale di [tex]G[/tex]. Siccome [tex]H_G=\{1\}[/tex] si ha [tex]H \cap N=\{1\}[/tex] e dalla massimalità di [tex]H[/tex] segue che [tex]HN=G[/tex]. Quindi [tex]|G:H| = |HN:H| = |N:H \cap N| = |N| = p^n[/tex].
Risposte
"Martino":
Lemma C. Sia [tex]G[/tex] un gruppo risolubile, e sia [tex]N[/tex] un suo sottogruppo normale minimale. Allora [tex]N \cong C_p^n[/tex] per un [tex]p[/tex] primo e un intero positivo [tex]n[/tex]. In particolare [tex]|N| = p^n[/tex].
Dim. Consideriamo un sottogruppo subnormale minimale [tex]K[/tex] di [tex]G[/tex] contenuto in [tex]N[/tex]. I suoi coniugati sono tutti sottogruppi di [tex]N[/tex]. Consideriamo il sottogruppo che generano...
Per caso generano la chiusura normale $ K^G $ di K in G ? E quindi siccome $ K^G <= N $ e N è minimale deduci che $ N=K^G $ e concludi notando che $ K $ è ciclico di ordine primo per il lemma A e tali sono anche i suoi coniugati dunque $ N=K^G \cong C_p^n $ ?
"perplesso":Per caso generano la chiusura normale $ K^G $ di K in G ? E quindi siccome $ K^G <= N $ e N è minimale deduci che $ N=K^G $ e concludi notando che $ K $ è ciclico di ordine primo per il lemma A e tali sono anche i suoi coniugati dunque $ N=K^G \cong C_p^n $ ?[/quote]E' quel "dunque" il problema
[quote="Martino"]Lemma C. Sia [tex]G[/tex] un gruppo risolubile, e sia [tex]N[/tex] un suo sottogruppo normale minimale. Allora [tex]N \cong C_p^n[/tex] per un [tex]p[/tex] primo e un intero positivo [tex]n[/tex]. In particolare [tex]|N| = p^n[/tex].
Dim. Consideriamo un sottogruppo subnormale minimale [tex]K[/tex] di [tex]G[/tex] contenuto in [tex]N[/tex]. I suoi coniugati sono tutti sottogruppi di [tex]N[/tex]. Consideriamo il sottogruppo che generano...
Per far funzionare quel "dunque" ti serve mostrare che [tex]K \unlhd N[/tex].
Per la subnormalità \(\displaystyle K \lhd K_1 \lhd K_2 \lhd ... \lhd K^G \lhd G \) ma dalla minimalità di $ K^G $ segue \(\displaystyle K \lhd K^G \) ??
Edit: no no mi sa che non funzione vabbè allora ci penso ancora...
Edit: no no mi sa che non funzione vabbè allora ci penso ancora...
Che sia [tex]K \unlhd N[/tex] non è un fatto così innocente come sembra (almeno così a me pare).
Lo zoccolo di un gruppo [tex]G[/tex] è definito come il sottogruppo di [tex]G[/tex] generato dai suoi sottogruppi normali minimali. Si indica con [tex]\text{soc}(G)[/tex].
Osserva che [tex]\text{soc}(G)[/tex] è caratteristico in [tex]G[/tex].
Per ottenere che [tex]K[/tex] è normale in [tex]N[/tex] basta dimostrare il seguente lemma:
Lemma D. Siano [tex]G[/tex] un gruppo finito e [tex]S[/tex] un sottogruppo sub-normale di [tex]G[/tex]. Allora [tex]\text{soc}(G)[/tex] normalizza [tex]S[/tex].
Dimostrazione. Per induzione su [tex]|G|[/tex]. Sia [tex]N[/tex] un sottogruppo normale minimale di [tex]G[/tex]. Dobbiamo mostrare che [tex]N[/tex] normalizza [tex]S[/tex]. Possiamo supporre [tex]S \neq G[/tex]. [tex]S[/tex] essendo subnormale è subnormale in un qualche [tex]M \lhd G[/tex]. Se [tex]N \cap M = \{1\}[/tex] allora [tex]N[/tex] centralizza [tex]M[/tex] e quindi normalizza [tex]S[/tex]. Possiamo quindi supporre che [tex]N \cap M \neq \{1\}[/tex]. Si deve allora avere [tex]M \supseteq N[/tex] per minimalità di [tex]N[/tex], e in particolare [tex]N \unlhd M[/tex], quindi [tex]N[/tex] contiene un sottogruppo normale minimale di [tex]M[/tex], da cui [tex]N \cap \text{soc}(M) \neq \{1\}[/tex]. Siccome [tex]\text{soc}(M)[/tex] è caratteristico in [tex]M[/tex] e [tex]M[/tex] è normale in [tex]G[/tex] si ha [tex]\text{soc}(M) \lhd G[/tex] e quindi [tex]N \subseteq \text{soc}(M)[/tex]. Ma per ipotesi induttiva [tex]\text{soc}(M)[/tex] normalizza [tex]S[/tex], quindi anche [tex]N[/tex] normalizza [tex]S[/tex].
Quindi otteniamo che [tex]K \unlhd N[/tex]. Per concludere che [tex]N \cong C_p^n[/tex] bisogna dimostrare la seguente cosa non difficile (applicata a [tex]N[/tex]):
Lemma E. Sia [tex]G[/tex] un gruppo finito. Allora [tex]\text{soc}(G)[/tex] è isomorfo a un prodotto diretto di sottogruppi normali minimali.
Comunque il lemma D mi pare un po' troppo potente per dimostrare il lemma C. Penserò a un argomento più breve.
Lo zoccolo di un gruppo [tex]G[/tex] è definito come il sottogruppo di [tex]G[/tex] generato dai suoi sottogruppi normali minimali. Si indica con [tex]\text{soc}(G)[/tex].
Osserva che [tex]\text{soc}(G)[/tex] è caratteristico in [tex]G[/tex].
Per ottenere che [tex]K[/tex] è normale in [tex]N[/tex] basta dimostrare il seguente lemma:
Lemma D. Siano [tex]G[/tex] un gruppo finito e [tex]S[/tex] un sottogruppo sub-normale di [tex]G[/tex]. Allora [tex]\text{soc}(G)[/tex] normalizza [tex]S[/tex].
Dimostrazione. Per induzione su [tex]|G|[/tex]. Sia [tex]N[/tex] un sottogruppo normale minimale di [tex]G[/tex]. Dobbiamo mostrare che [tex]N[/tex] normalizza [tex]S[/tex]. Possiamo supporre [tex]S \neq G[/tex]. [tex]S[/tex] essendo subnormale è subnormale in un qualche [tex]M \lhd G[/tex]. Se [tex]N \cap M = \{1\}[/tex] allora [tex]N[/tex] centralizza [tex]M[/tex] e quindi normalizza [tex]S[/tex]. Possiamo quindi supporre che [tex]N \cap M \neq \{1\}[/tex]. Si deve allora avere [tex]M \supseteq N[/tex] per minimalità di [tex]N[/tex], e in particolare [tex]N \unlhd M[/tex], quindi [tex]N[/tex] contiene un sottogruppo normale minimale di [tex]M[/tex], da cui [tex]N \cap \text{soc}(M) \neq \{1\}[/tex]. Siccome [tex]\text{soc}(M)[/tex] è caratteristico in [tex]M[/tex] e [tex]M[/tex] è normale in [tex]G[/tex] si ha [tex]\text{soc}(M) \lhd G[/tex] e quindi [tex]N \subseteq \text{soc}(M)[/tex]. Ma per ipotesi induttiva [tex]\text{soc}(M)[/tex] normalizza [tex]S[/tex], quindi anche [tex]N[/tex] normalizza [tex]S[/tex].
Quindi otteniamo che [tex]K \unlhd N[/tex]. Per concludere che [tex]N \cong C_p^n[/tex] bisogna dimostrare la seguente cosa non difficile (applicata a [tex]N[/tex]):
Lemma E. Sia [tex]G[/tex] un gruppo finito. Allora [tex]\text{soc}(G)[/tex] è isomorfo a un prodotto diretto di sottogruppi normali minimali.
Comunque il lemma D mi pare un po' troppo potente per dimostrare il lemma C. Penserò a un argomento più breve.
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