Un prodotto infinito notevole

[Covenant]

Risulta: $prod_(n=1)^oo(1+1/n^2) = (e^pi-e^(-pi))/(2pi) = sinhpi/pi $.

Come si trova questo risultato?

EDIT: ho trovato che $sinhx$ possiede la seguente formulazione in termini di prodotto infinito: $sinhx = x *prod_(n=1)^oo (1+x^2/(n^2 pi^2))$. Immagino ci sia il Teorema di fattorizzazione di Weierstrass dietro...

[j18eos]

Vediamo un po se riesco...

Inizierei col notare che:\[\log\left(\prod_{n=1}^{+\infty}\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\right)=...=\lim_n\sum_{k=1}^n\log\left(1+\frac{1}{k^2}\right)<\lim_n\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}\]così quella produttoria infinita è convergente!

Non mi viene altro in mente!

[Covenant]

Ah bè dimostrare che è convergente è facile! il difficile è dimostrarne il risultato esplicito.

[j18eos]

Qualcuno lo doveva pur dimostrare... Aggiungo un altro tassello!

Notando che:
\[\prod_{n=1}^{+\infty}\left(1+\frac{1}{n^2}\right)=\prod_{n=1}^{+\infty}\left(1+\frac{i}{n}\right)\left(1-\frac{i}{n}\right)=\prod_{-\infty}^{+\infty}\textstyle{_{n\neq0}}\left(1+\frac{i}{n}\right)\]
allora interessa studiare la convergenza della produttoria:
\[\varphi(z)=\prod_{-\infty}^{+\infty}\textstyle{_{n\neq0}}\left(1+\frac{z}{n}\right)\]
cosi' da ottenere plausibilmente una funzione in una variabile complessa a valori complessi "buona"!

EDIT: risulta che \(\varphi(0)=1\) e \(\forall m\in\mathbb{Z}\setminus\{0\},\,\varphi(m)=0\).

[j18eos]

Questo tassello mi piace moltissimo, anche per come lo dimostro; a meno di miei eventuali errori !

Definito \(\forall z\in\mathbb{C},\,a_n(z)=\displaystyle{\prod_{1\leq|k|\leq n}\left(1+\frac{z}{k}\right)}\), si ha che:
\[\begin{gather*}
\forall\epsilon>0,\,\exists\nu(\epsilon)=\nu\in\mathbb{N}:\forall z\in\mathbb{C};n>m>\nu,\,|a_n(z)-a_m(z)|=\prod_{1\leq|k|\leq m}\left|1+\frac{z}{k}\right|\cdot\left|\prod_{m<|k|\leq n}\left(1+\frac{z}{k}\right)-1\right|\leq\\
\leq\prod_{1\leq k\leq m}\left|1-\frac{z}{k}\right|\cdot\left|1+\frac{z}{k}\right|\cdot\left|\prod_{1\leq|k|\leq n}\left(1-\frac{z}{k}\right)\cdot\left(1+\frac{z}{k}\right)-1\right|=\\
=\prod_{1\leq k\leq m}\left|1+\frac{z}{-k}\right|\cdot\left|1+\frac{z}{k}\right|\cdot\left|\prod_{1\leq|k|\leq n}\left(1-\frac{z^2}{k^2}\right)-1\right|\leq\prod_{1\leq k\leq m}\left(1+\frac{|z|}{-k}\right)\cdot\left(1+\frac{|z|}{k}\right)\cdot\left|\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)^n-1\right|=\\
=\prod_{1\leq k\leq m}\left(1-\frac{|z|^2}{k^2}\right)\cdot\left|\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)^n-1\right|\leq\left(1-\frac{|z|^2}{m^2}\right)^m\cdot\left|\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)^n-1\right|<\epsilon
\end{gather*}\]
quindi la data successione di funzioni è di Cauchy, ovvero converge uniformemente su \(\mathbb{C}\); in conseguenza \(\varphi\) è una funzione definita e continua su \(\mathbb{C}\).

[dissonance]

Questo tuo ultimo post è sicuramente sbagliato. Ad esempio nell'ultima riga della formula più grossa compare una disuguaglianza

\[\lvert a_n(z)-a_m(z)\rvert \le \ldots \le \prod_{1 \le k \le m} \left( 1-\frac{\lvert z\rvert^2}{k^2}\right)\left\lvert \left( 1-\frac{z^2}{n^2}\right)^n -1 \right\rvert , \]

falsa già per \(z=2, m=1, n=2\), perché si riduce a

\[0 \le \lvert a_n(z)-a_m(z)\rvert \le (1-4)\left\lvert\left( 1-\frac{4}{4}\right)^2-1\right\rvert=-3.\]

Inoltre è palesemente errato l'ultimo passaggio: per quale motivo \(\left(1-\frac{|z|^2}{m^2}\right)^m\cdot\left|\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)^n-1\right|\) dovrebbe essere più piccolo di epsilon?!? Addirittura uniformemente rispetto a \(z\)! Sempre per \(n=1, m=2\) quel termine si riduce a \(\left( 1-\frac{\lvert z \rvert^2}{4}\right)^2\lvert z \rvert^2\), che diverge per \(\lvert z \rvert \to \infty\).

Nel complesso penso che il ragionamento sia completamente da buttare.

[Covenant]

Credo di averlo dimostrato anche se mi rendo conto che alcuni passaggi debbano essere meglio giustificati per risultare rigorosi.

L'approccio iniziale è lo stesso usato da Eulero per la dimostrazione "euristica" del Problema di Basilea (cioè il problema del trovare un risultato chiuso per $sum_(n=1)^oo 1/n^2$).

Possiamo esprimiere, per analiticità, $sinx$ tramite la sua serie di Taylor: $sinx = x-x^3/(3!)+x^5/(5!)-x^7/(7!)+...$ e quindi: $sinx/x = 1-x^2/(3!)+x^4/(5!)-x^6/(7!)+...$. Ora, e qui sta "l'euristica", supponiamo di poter fattorizzare questo polinomio infinito come si fa per i polinomi finiti. Le radici del polinomio saranno ovviamente quelle di $sinx/x$ e cioè $x_n=+- \ npi$. Tramite le formule di Viète, la fattorizzazione di un poliomio $P_k(X)$ di grado $k$ si può sempre scrivere come: $P_k(X) = a_0/(-1)^k * prod_(n=1)^k (X/x_n-1)$ dove $a_0$ è il termine noto e $x_n$ sono le radici di $P_k(X)$. Supponendo di poter applicare questa fattorizzazione a polinomi infiniti, nel nostro caso si ha:
$sinx/x = lim_(k to oo) 1/(-1)^(2k)prod_(n=1)^(2k) (+-x/(npi)-1) = prod_(n=1)^oo (x/(npi)-1)*prod_(n=1)^oo (-x/(npi)-1) = prod_(n=1)^oo (1-x^2/(n^2pi^2))$.



Quindi $sinx = x*prod_(n=1)^oo (1-x^2/(n^2pi^2))$ e sfruttando l'identità $sinhx=-i*sin(ix)$ si trova che:
$sinhx= -i^2x*prod_(n=1)^oo (1-(ix)^2/(n^2pi^2)) = x*prod_(n=1)^oo (1+x^2/(n^2pi^2))$ da cui sostituendo $x=pi$ si trova finalmente: $prod_(n=1)^oo (1+1/n^2) = sinhpi/pi$.

Però resta da giustificare l'applicabilità di quella fattorizzazione....

[gugo82]

Stabilire rigorosamente che vale l'uguaglianza:
\[
\sin \pi z = \pi\ z\ \prod_{n=1}^\infty \left( 1 -\frac{z^2}{n^2}\right)
\]
(che poi è quella che ci serve, dato che \(\sinh w = -\imath \sin \imath w\)) non è proprio semplicissimo...

Una dimostrazione la trovate in questo bellissimo pdf (§ 6.4, pag. 323).

[Covenant]

"gugo82":Stabilire rigorosamente che vale l'uguaglianza:
\[
\sin \pi z = \pi\ z\ \prod_{n=1}^\infty \left( 1 -\frac{z^2}{n^2}\right)
\]
(che poi è quella che ci serve, dato che \(\sinh w = -\imath \sin \imath w\)) non è proprio semplicissimo...

Una dimostrazione la trovate in questo bellissimo pdf (§ 6.4, pag. 323).

Molto interessante