Moduli iniettivi

[maurer]

Ho ritrovato questo post. Questo thread vuole essere una prosecuzione di quella discussione in una direzione più algebrica che topologica. Inoltre, affronterò (o meglio, vi farò affrontare ) argomenti collegati a quest'altro topic.

Nota iniziale. Ogni anello sarà da considerarsi commutativo unitario (e possibilmente non nullo).

Definizione. Sia [tex]A[/tex] un anello. Un [tex]A[/tex]-modulo [tex]M[/tex] si dice [tex]A[/tex]-divisibile se per ogni non-zero-divisore [tex]a \in A[/tex] e ogni [tex]m \in M[/tex] esiste [tex]n \in M[/tex] tale che [tex]an = m[/tex].

Definizione. Sia [tex]A[/tex] un anello. Un [tex]A[/tex]-modulo [tex]N[/tex] si dice [tex]A[/tex]-iniettivo se per ogni inclusione [tex]M' \subset M[/tex] di [tex]A[/tex] moduli e ogni mappa di [tex]A[/tex]-moduli [tex]f \colon M' \to N[/tex] esiste una mappa [tex]\tilde{f} \colon M \to N[/tex] che estenda [tex]f[/tex]. In altre parole, vale il seguente diagramma:
[tex]\xymatrix{ 0 \ar[r] & M^\prime \ar[dr]_f \ar[r] & M \ar@{.>}[d]^-{\exists \tilde{f}} \\ & & N}[/tex]

Teorema (criterio di Baer). Sia [tex]A[/tex] un anello. Un [tex]A[/tex]-modulo [tex]M[/tex] è iniettivo se e solo se per ogni ideale [tex]I \subset A[/tex] ed ogni mappa [tex]f \colon I \to M[/tex] esiste una mappa [tex]\tilde{f} \colon A \to M[/tex] che estende [tex]f[/tex].

Proof. Esercizio (è piuttosto difficile, ma do un hint: si usi il lemma di Zorn!).

Corollario. Sia [tex]A[/tex] un anello. Se [tex]N[/tex] è un modulo iniettivo allora è divisibile. Se [tex]A[/tex] è un PID, vale il viceversa.

Proof. Esercizio!

Esercizio. Mostrare che [tex]\mathbb R / \mathbb Q[/tex] è uno [tex]\mathbb Z[/tex] modulo iniettivo.

Definizione. Sia [tex]A[/tex] un anello fissato. Sia [tex]M[/tex] un [tex]A[/tex]-modulo, sia [tex]E \subset M[/tex] un sottomodulo. Diciamo che [tex]E[/tex] è essenziale se ogni altro sottomodulo [tex]N \ne \{0\}[/tex] è tale che [tex]E \cap N \ne \{0\}[/tex].

Esercizio. Sia [tex]A[/tex] un anello fissato, sia [tex]M[/tex] un [tex]A[/tex]-modulo. Si dimostri che:

1) per ogni sottomodulo [tex]N \subset M[/tex] esiste un unico sottomodulo [tex]E[/tex] massimale rispetto alla proprietà di contenere [tex]N[/tex] e che [tex]N[/tex] sia essenziale in [tex]E[/tex];
2) se [tex]M[/tex] è iniettivo, allora anche [tex]E[/tex] lo è.[/list:u:5h376gy5]

Per ora mi fermo qui. Se qualcuno fosse interessato e risponderà a questi primi esercizi, si può andare avanti in tante direzioni, una fra tutte si possono delineare le proprietà delle risoluzioni iniettive di moduli ed il funtore derivato ext.

[Studente Anonimo]

"maurer":2) se [tex]M[/tex] è iniettivo, allora anche [tex]E[/tex] lo è.

Ecco, avrei bisogno di una precisazione: sei sicuro che intendi [tex]M[/tex] e non [tex]N[/tex]?

[maurer]

Sì, è il più grande ad essere iniettivo. Di qui si arriva poi al concetto di inviluppo iniettivo, che consente di selezionare una risoluzione iniettiva canonica di un qualunque A-modulo: prima si dimostra che la categoria degli A-moduli ha abbastanza iniettivi; si prende quindi un modulo e lo si immerge in un iniettivo, dopodiché si considera il sottomodulo la cui esistenza è provata in quell'esercizio. Il punto 2. assicura che sia iniettivo.