[EX] Sulla misura di alcune palle in $RR^N$

[gugo82]

Chi ha un po' di esperienza sa che è possibile calcolare esattamente la misura delle palle unitarie di alcune topologie su [tex]$\mathbb{R}^N$[/tex].

Ad esempio, la misura della palla unitaria della topologia euclidea è [tex]$\pi^{\frac{N}{2}}/\Gamma (\tfrac{N}{2} +1)$[/tex]*; mentre la misura della palla unitaria della topologia [tex]$\ell^1$[/tex] (ossia quella indotta dalla norma [tex]\lVert x\rVert =\sum_{n=1}^N |x_n|[/tex]) è [tex]$2^N/N!$[/tex], poiché essa si ottiene giustapponendo esattamente [tex]$2^N$[/tex] simplessi standard la cui misura è [tex]$1/N!$[/tex].

Con questo problema cerchiamo di generalizzare i risultati già noti.

***

Problema:

Siano [tex]$N\in \mathbb{N}$[/tex] un numero maggiore di [tex]$1$[/tex], [tex]$p_1,\ldots ,p_N >0$[/tex] e si indichi con [tex]$|E|$[/tex] la misura di un generico insieme misurabile [tex]$E\subseteq \mathbb{R}^N$[/tex].

Posto [tex]B_{p_1,\ldots, p_N}:=\{ x=(x_1,\ldots ,x_N)\in \mathbb{R}^N:\ \sum_{n=1}^N |x_n|^{p_n} \leq 1\}[/tex],

1. dimostrare che se [tex]$p_1,\ldots ,p_N\geq 1$[/tex] allora [tex]$B_{p_1,\ldots ,p_N}$[/tex] è convesso (e perciò è la palla unitaria di [tex]$\mathbb{R}^N$[/tex] rispetto alla topologia indotta da qualche norma);

2. descrivere, fornendo qualche esempio, cosa succede alla geometria di [tex]$B_{p_1,\ldots ,p_N}$[/tex] quando qualche [tex]$p_n$[/tex] è in [tex]$]0,1[$[/tex];

3. calcolare esplicitamente [tex]$|B_{p_1,\ldots, p_N}|$[/tex];

4. fissato [tex]$p_n=p\in ]0,+\infty[$[/tex] per ogni indice [tex]$n$[/tex], cosa succede a [tex]$|B_{\underbrace{p,\ldots ,p}_{N \text{ volte}}}|$[/tex] al crescere di [tex]$N$[/tex]? In particolare, è possibile calcolare [tex]$\lim_N |B_{\underbrace{p,\ldots ,p}_{N \text{ volte}}}|$[/tex]?


__________
* La funzione [tex]$\Gamma (x)$[/tex] è la cosiddetta funzione gamma di Eulero; essa è definita in [tex]$]0,+\infty[$[/tex] per mezzo del seguente integrale:

[tex]$\Gamma (x):= \int_0^{+\infty} t^{x-1} e^{-t}\ \text{d} t$[/tex],

il quale è assolutamente convergente. Tra le tante proprietà di questa funzione ci sono:

- la formula di ricorrenza [tex]$\Gamma (x+1)=x\Gamma (x)$[/tex], dalla quale si ricava [tex]$\Gamma (n+1)=n!$[/tex] per [tex]$n\in \mathbb{N}$[/tex];

- la relazione [tex]\int_0^1 s^{x-1} (1-s)^{y -1}\ \text{d} s =\tfrac{\Gamma (x) \Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}[/tex], il cui primo membro è anche detto funzione beta di Eulero ed è denotato col simbolo [tex]$B(x,y)$[/tex];

- l'approssimazione di Stirling, ossia [tex]$\Gamma (x)\approx \sqrt{2\pi}\ x^{x-\frac{1}{2}} e^{-x}$[/tex] per [tex]$x\to +\infty$[/tex].

Tali proprietà sono state richiamate perchè potrebbero essere utili, in quanto la funzione gamma potrebbe comparire nei calcoli da effetturare per determinare la formula esplicita di [tex]$|B_{p_1,\ldots ,p_N}|$[/tex] (infatti la funzione gamma compare nella misura della palla unitaria euclidea; poiché tale palla coincide con [tex]$B_{\underbrace{2,\ldots ,2}_{N \text{ volte}}}$[/tex], è probabile che la [tex]$\Gamma (x)$[/tex] compaia anche nella formula generale richiesta nel testo del Problema).

[dissonance]

Uuh, che palle!

UAHAHAHAH!!!

...ahem...

Dunque, i primi punti per riscaldarci:

[list=1][*:17gba5wv]Se $p_1 ldots p_N >=1$ le funzioni $t ge0 mapsto t^{p_j}$ sono convesse e quindi, per ogni $x, y \in B_{p_1 ldots p_N}, lambda in [0, 1]$ si ha

$sum_j |(1-lambda)x_j+lambday_j|^{p_j} le (1-lambda)sum_j|x_j|^{p_j}+lambda sum_j |x_j|^{p_j} \le 1-lambda+lambda=1.$

Perciò $B_{p_1 ldots p_N}$ è convesso. Ora che sia la palla unitaria rispetto a qualche norma segue da teoremi generali che non conosco granché (credo sia una conseguenza del fatto che $B_{p_1 ldots p_N}$ è, oltre che convesso, anche equilibrato ed assorbente). Mi piacerebbe, però, sapere se questa norma ha una espressione analitica facile oppure se è un guazzabuglio di inf del sup. Magari ne riparliamo una volta concluso l'esercizio.[/*:m:17gba5wv]
[*:17gba5wv]Se il $j$-esimo esponente $p_j$ è strettamente minore di $1$, sull'intersezione di $B_{p_1 ldots p_N}$ con i piani individuati da

[tex]$(0 \ldots 0), (\underbrace{0 \ldots 1}_{j \text{ posti}}, 0 \ldots), (\underbrace{0 \ldots 1}_{k \ne j \text{ posti}}, 0 \ldots)[/tex]

compaiono figure come la seguente (questa è $B_{1/2, 1}$)

[asvg]xmin=-1; xmax=1; ymin=-1; ymax=1; axes(); plot("1-sqrt(abs(x))"); plot("-1+sqrt(abs(x))"); stroke="lightgray"; line([1, 0], [0, 1]); line([0, 1], [-1, 0]); line([-1, 0], [0, -1]); line([0, -1], [0, 1]);[/asvg]

Intuitivamente, i bordi di queste figure piane sono delle curve più "arretrate" rispetto al quadrato con vertici in $(+-1, 0), (0, +-1)$. Come descrivere con precisione questo concetto intuitivo? Immagino che si possa fare un discorso di curvatura, argomento che mi accingo proprio ora a studiare come si deve.[/*:m:17gba5wv][/list:o:17gba5wv]

[dissonance]

Mi trovo un po' in difficoltà col terzo punto, sai? Non che mi sia impegnato granché, onestamente. Non riesco a capire come riscala la misura di [tex]B_{p_1 \ldots p_N}[/tex]. In altri termini, quanto vale

[tex]$\left\lvert \left\{ \sum_{j=1}^N \lvert x_j \rvert^{p_j}\le r\right\}\right\rvert[/tex]?

Mi rifileresti un suggerimento?

[gugo82]

Il problema è che [tex]$B_{p_1,\ldots ,p_N}(o;r)$[/tex] non "riscala" normalmente, ma con un rapporto diverso per ogni asse.
Con ovvio significato dei simboli:

[tex]$B_{p_1,\ldots ,p_N}(o;r)=\left\{ x\in \mathbb{R}^N: \sum_{n=1}^N \left(r^{-1/p_n}|x_n|\right)^{p_n}<1\right\}$[/tex],

e da ciò segue che la metrica che induce [tex]$B_{p_1,\ldots ,p_N}$[/tex] come palla unitaria -nel caso [tex]$p_n\geq 1$[/tex]- è anisotropa, cioè ci sono direzioni "privilegiate" rispetto ad altre.
Ovviamente la suddetta metrica è isotropa quando è indotta da una norma e ciò accade solo se i [tex]$p_n$[/tex] sono tutti uguali.
Per capire come "riscala" la misura, evidentemente, devi fare un po' di conticini con l'integrale che definisce il volume (facendo esplicitamente un cambiamento di variabili) oppure usare un po' di "occhio".

Per determinare la misura della palla unitaria e risolvere il punto 3 ci sono vari modi.
Quello più facile, a quanto so, è quello di usare un cambiamento di variabili che porti [tex]$B_{p_1,\ldots ,p_N}$[/tex] sulla palla euclidea unitaria standard (i.e [tex]$\mathbb{B}:=\{ x\in \mathbb{R}^N:\ |x|<1\}$[/tex]) ed applicare una formula di riduzione per l'integrale, in modo da ottenere una relazione di ricorrenza... Ora non ho i conti a portata di mano; appena torno a casa potrò essere più preciso.

[gugo82]

Riprendo questa discussione per chiudere un paio di punti rimasti in sospeso.

"gugo82":3. calcolare esplicitamente [tex]$|B_{p_1,\ldots, p_N}|$[/tex]

Risulta:
\[
|B_{p_1,\ldots ,p_N}| = \frac{1}{\Gamma \left( 1+\sum_{n=1}^N 1/p_n \right)}\ \prod_{n=1}^N \frac{2}{p_n}\ \Gamma \left( \frac{1}{p_n}\right)\; .
\]

Innanzitutto notiamo che \(B_{p_1,\ldots ,p_N}\) è compatto, perciò misurabile.

Essendo \(B_{p_1,\ldots ,p_N}\) simmetrico rispetto a tutti gli iperpiani coordinati, risulta:
\[
|B_{p_1,\ldots ,p_N}| = 2^N\ |B_{p_1,\ldots ,p_N}^+|
\]
ove \(B_{p_1,\ldots ,p_N}^+ := B_{p_1,\ldots ,p_N} \cap ]0,\infty[^N\) è la porzione di \(B_{p_1,\ldots ,p_N}\) contenuta nel primo \(2^N\)-ante coordinato; dato che:
\[
\tag{1} |B_{p_1,\ldots ,p_N}^+| := \underbrace{\int\cdots \int_{B_{p_1,\ldots ,p_N}^+} 1\ \text{d}x_1\cdots \text{d}x_N}_{=: \mathcal{I}(p_1,\ldots ,p_N)}
\]
è chiaro che per calcolare eplicitamente la misura di \(B_{p_1,\ldots ,p_N}\) bisogna escogitare qualche stratagemma per calcolare l'integrale a secondo membro di (1).

Evidentemente \(B_{p_1,\ldots ,p_N}^+\) è un dominio normale all'iperpiano d'equazione \(x_N=0\), poiché esso è individuato dalle limitazioni:
\[
(x_1,\ldots x_{N-1})\in B_{p_1,\ldots ,p_{N-1}}^+ \subseteq \mathbb{R}^{N-1}\qquad \text{e}\qquad 0 \]
(con ovvio significato del simbolo \(B_{p_1,\ldots ,p_{N-1}}^+\)), quindi applicando la formula di riduzione per gli integrali multipli troviamo:
\[
\tag{2} \begin{split}
\mathcal{I}(p_1,\ldots ,p_N) &= \int\cdots \int_{B_{p_1,\ldots ,p_{N-1}}^+} \left( \int_0^{\left( 1-\sum_{n=1}^{N-1} x_n^{p_n}\right)^{1/p_N}} 1\ \text{d} x_N\right)\ \text{d}x_1\cdots \text{d}x_{N-1}\\
&= \int\cdots \int_{B_{p_1,\ldots ,p_{N-1}}^+} \left( 1-\sum_{n=1}^{N-1} x_n^{p_n}\right)^{1/p_N}\ \text{d}x_1\cdots \text{d}x_{N-1}\; .
\end{split}
\]
Notiamo che la sommatoria che figura nell'integrando del secondo membro di (2) si può trasformare in una somma di quadrati mediante il cambiamento di variabili:
\[
\tag{X}
\begin{cases}
x_1 = y_1^{2/p_1}\\
x_2 = y_2^{2/p_2}\\
\phantom{=} \vdots\\
x_{N-1} = y_{N-1}^{2/p_{N-1}}
\end{cases}
\]
il cui jacobiano è:
\[
J(y_1,\ldots ,y_{N-1}) = \prod_{n=1}^{N-1} \frac{2}{p_n}\ y_n^{2/p_n -1} = \frac{2^{N-1}}{p_1\cdots p_{N-1}}\ \prod_{n=1}^{N-1} y_n^{2/p_n -1}\; ,
\]
poiché invero, facendolo, troviamo:
\[
\tag{3}
\mathcal{I}(p_1,\ldots ,p_N) = \frac{2^{N-1}}{p_1\cdots p_{N-1}}\ \int\cdots \int_{\mathbb{B}_{N-1}^+} \left( 1-\sum_{n=1}^{N-1} y_n^2\right)^{1/p_N}\ \prod_{n=1}^{N-1} y_n^{2/p_n -1}\ \text{d}y_1\cdots \text{d}y_{N-1}
\]
in cui \(\mathbb{B}_{N-1}^+\) è la parte della palla euclidea unitaria di \(\mathbb{R}^{N-1}\) contenuta in \(]0,\infty[^{N-1}\).

Per andare avanti abbiamo bisogno di fare un ulteriore cambiamento di variabile che renda facilmente calcolabile l'ultimo membro della (3).
Piuttosto che introdurlo brutalmente, facciamo vedere come è stato ottenuto. Notiamo che per \((y_1,\ldots ,y_{N-1})\) interni a \(\mathbb{B}_{N-1}^+\) si ha:
\[
\begin{split}
1-\sum_{n=1}^{N-1} y_n^2 &= 1-\sum_{n=1}^{N-2} y_n^2 -y_{N-1}^2\\
&= \left( 1-\sum_{n=1}^{N-2} y_n^2\right)\ \left( 1- \frac{y_{N-1}^2}{1-\sum_{n=1}^{N-2} y_n^2}\right)\\
&= \left( 1-\sum_{n=1}^{N-3} y_n^2\right)\ \left( 1-\frac{y_{N-2}^2}{1-\sum_{n=1}^{N-3} y_n^2}\right)\ \left( 1- \frac{y_{N-1}^2}{1-\sum_{n=1}^{N-2} y_n^2}\right)\\
&= \cdots \\
&= (1-y_1^2)\ \left( 1-\frac{y_2^2}{1-y_1^2}\right)\ \left( 1-\frac{y_3^2}{1-y_1^2-y_2^2}\right)\cdots \left( 1-\frac{y_{N-2}^2}{1-\sum_{n=1}^{N-3} y_n^2}\right)\ \left( 1- \frac{y_{N-1}^2}{1-\sum_{n=1}^{N-2} y_n^2}\right)
\end{split}
\]
quindi pare del tutto naturale sostituire:
\[
\begin{cases}
s_1 = y_1^2\\
s_2 = \frac{y_2^2}{1-y_1^2}\\
s_3 = \frac{y_3^2}{1-y_1^2-y_2^2}\\
\phantom{=} \vdots \\
s_{N-2} = \frac{y_{N-2}^2}{1-\sum_{n=1}^{N-3} y_n^2}\\
s_{N-1} = \frac{y_{N-1}^2}{1-\sum_{n=1}^{N-2} y_n^2}
\end{cases}
\]
ossia:
\[
\tag{Y}
\begin{cases}
y_1=s_1^{1/2}\\
y_2=(1-s_1)^{1/2}\ s_2^{1/2}\\
y_3 = (1-s_1)^{1/2}\ (1-s_2)^{1/2}\ s_3^{1/2}\\
\phantom{=} \vdots \\
y_{N-2} = (1-s_1)^{1/2}\ (1-s_2)^{1/2}\cdots (1-s_{N-3})^{1/2}\ s_{N-2}^{1/2}\\
y_{N-1} =(1-s_1)^{1/2}\ (1-s_2)^{1/2}\cdots (1-s_{N-3})^{1/2}\ (1-s_{N-2})^{1/2}\ s_{N-1}^{1/2}
\end{cases}
\]
Il cambiamento di variabili (Y) porta l'interno di \(\mathbb{B}_{N-1}^+\) nel cubo \(]0,1[^{N-1}\) ed ha matrice jacobiana triangolare, quindi lo jacobiano del cambiamento di variabili è semplicemente dato dal prodotto degli elementi diagonali della suddetta matrice:
\[
\begin{split}
J(s_1,\ldots ,s_{N-1}) &= \prod_{n=1}^{N-1} \frac{\partial y_n}{\partial s_n} \\
&= \frac{1}{2^{N-1}}\ s_1^{-1/2}\ \prod_{n=2}^{N-1} \left( s_n^{-1/2}\ \prod_{h=1}^{n-1} (1-s_h)^{1/2}\right)\\
&= \frac{1}{2^{N-1}}\ \prod_{n=1}^{N-1} s_n^{-1/2}\ \cdot \ \prod_{n=2}^{N-1} \left( \prod_{h=1}^{n-1} (1-s_h)^{1/2}\right)\\
&= \frac{1}{2^{N-1}}\ \prod_{n=1}^{N-1} s_n^{-1/2}\ \cdot \ \prod_{h=1}^{N-2} \left(\prod_{n=h+1}^{N-1} (1-s_h)^{1/2}\right)\\
&= \frac{1}{2^{N-1}}\ \prod_{n=1}^{N-1} s_n^{-1/2}\ \cdot \ \prod_{h=1}^{N-2} (1-s_h)^{(N-h-1)/2} \; ;
\end{split}
\]
inoltre si ha:
\[
\begin{split}
\left( 1-\sum_{n=1}^{N-1} y_n^2\right)^{1/p_N} &= \prod_{n=1}^{N-1} (1-s_n)^{1/p_N}\\
\prod_{n=1}^{N-1} y_n^{2/p_n -1} &= s_1^{(2/p_1 -1)/2}\ \prod_{n=2}^{N-1} \left( s_n^{1/2}\ \prod_{h=1}^{n-1} (1-s_h)^{1/2}\right)^{2/p_n -1}\\
&= \prod_{n=1}^{N-1} s_n^{1/p_n -1/2}\ \cdot \ \prod_{n=2}^{N-1} \left( \prod_{h=1}^{n-1} (1-s_h)^{1/p_n -1/2}\right)\\
&= \prod_{n=1}^{N-1} s_n^{1/p_n -1/2}\ \cdot \ \prod_{h=1}^{N-2} \left( \prod_{n=h+1}^{N-1} (1-s_h)^{1/p_n -1/2}\right)\\
&= \prod_{n=1}^{N-1} s_n^{1/p_n -1/2}\ \cdot \ \prod_{h=1}^{N-2} (1-s_h)^{\sum_{n=h+1}^{N-1} (1/p_n -1/2)}\\
&= \prod_{n=1}^{N-1} s_n^{1/p_n -1/2}\ \cdot \ \prod_{h=1}^{N-2} (1-s_h)^{(\sum_{n=h+1}^{N-1} 1/p_n )-(N-h-1)/2}
\end{split}
\]
perciò, sostituendo in (3) ed appliando nuovamente la formula di riduzione, abbiamo*:
\[
\tag{4}
\begin{split}
\mathcal{I}(p_1,\ldots ,p_N) &= \frac{\cancel{2^{N-1}}}{p_1\cdots p_{N-1}}\ \intop_0^1\cdots \intop_0^1 \text{d}s_1\cdots \text{d}s_{N-1} \times \\
&\phantom{=\frac{2^{N-1}}{p_1\cdots p_{N-1}}} \times \prod_{n=1}^{N-1} (1-s_n)^{1/p_N}\cdot \prod_{n=1}^{N-1} s_n^{1/p_n -1/2}\ \cdot \ \prod_{h=1}^{N-2} (1-s_h)^{(\sum_{n=h+1}^{N-1} 1/p_n )-\cancel{(N-h-1)/2}}\times\\
&\phantom{=\frac{2^{N-1}}{p_1\cdots p_{N-1}}} \times \frac{1}{\cancel{2^{N-1}}}\ \prod_{n=1}^{N-1} s_n^{-1/2}\ \cdot \ \prod_{h=1}^{N-2} \cancel{(1-s_h)^{(N-h-1)/2}}\\
&= \frac{1}{p_1\cdots p_{N-1}}\ \intop_0^1\cdots \intop_0^1 \prod_{n=1}^{N-1} s_n^{1/p_n -1}\ (1-s_n)^{\sum_{h=n+1}^N 1/p_h}\ \text{d}s_1\cdots \text{d}s_{N-1}\\
&= \frac{1}{p_1\cdots p_{N-1}}\ \prod_{n=1}^{N-1} \intop_0^1 s_n^{1/p_n -1}\ (1-s_n)^{\sum_{h=n+1}^N 1/p_h}\ \text{d}s_n\; .
\end{split}
\]
Gli integrali che figurano all'ultimo membro di (4) sono integrali euleriani del tipo di quelli che individuano la funzione beta, ergo per \(n=1,\ldots ,N-1\) abbiamo:
\[
\begin{split}
\intop_0^1 s_n^{1/p_n -1}\ (1-s_n)^{\sum_{h=n+1}^N 1/p_h}\ \text{d}s_n &= B\left( \frac{1}{p_n}, 1+\sum_{h=n+1}^N \frac{1}{p_h}\right) \\
&= \frac{\Gamma \left( \frac{1}{p_n} \right)\ \Gamma \left( 1+\sum_{h=n+1}^N \frac{1}{p_h}\right)}{\Gamma \left( 1+\sum_{h=n}^N \frac{1}{p_h}\right)}
\end{split}
\]
e quindi la (4) si riscrive:
\[
\tag{5} \mathcal{I}(p_1,\ldots ,p_N) =\frac{1}{p_1\cdots p_{N-1}}\ \prod_{n=1}^{N-1} \frac{\Gamma \left( \frac{1}{p_n} \right)\ \Gamma \left( 1+\sum_{h=n+1}^N \frac{1}{p_h}\right)}{\Gamma \left( 1+\sum_{h=n}^N \frac{1}{p_h}\right)}\; .
\]
Sostituendo (5) in (1) ne viene, infine:
\[
\begin{split}
|B_{p_1,\ldots ,p_N}| &= \frac{2^N}{p_1\cdots p_{N-1}}\ \prod_{n=1}^{N-1} \frac{\Gamma \left( \frac{1}{p_n} \right)\ \Gamma \left( 1+\sum_{h=n+1}^N \frac{1}{p_h}\right)}{\Gamma \left( 1+\sum_{h=n}^N \frac{1}{p_h}\right)}\\
&= \frac{2^N}{p_1\cdots p_{N-1}}\ \prod_{n=1}^{N-1}\Gamma \left( \frac{1}{p_n}\right)\ \frac{\cancel{\Gamma \left( 1+\sum_{n=2}^N 1/p_n\right) } \cdots \cancel{\Gamma (1+1/p_{N-1}+1/p_N)}\ \Gamma \left( 1+1/p_N \right)}{ \Gamma \left( 1+\sum_{n=1}^N 1/p_n \right)\ \cancel{\Gamma \left( 1+\sum_{n=2}^N 1/p_n\right)}\cdots \cancel{\Gamma (1+1/p_{N-1}+1/p_N)}}\\
&= \frac{2^N}{p_1\cdots p_{N-1}}\ \prod_{n=1}^{N-1}\Gamma \left( \frac{1}{p_n}\right)\ \frac{\Gamma (1+1/p_N)}{\Gamma \left( 1+\sum_{n=1}^N 1/p_n\right)}
\end{split}
\]
da cui:
\[
\tag{6} |B_{p_1,\ldots ,p_N}| = \frac{1}{\Gamma \left( 1+\sum_{n=1}^N 1/p_n \right)}\ \prod_{n=1}^N \frac{2}{p_n}\ \Gamma \left( \frac{1}{p_n}\right)
\]
che è la formula esplicita che cercavamo.


__________
* Notiamo esplicitamente che i calcoli si possono dimezzare effettuando immediatamente in (1) il cambiamento di variabili che si ottiene componendo (X) ed (Y), i.e.:
\[
\begin{cases}
x_1= s_1^{1/p_1}\\
x_2 = (1-s_1)^{1/p_2}\ s_2^{1/p_2}\\
\phantom{==} \vdots\\
x_{N-2} = (1-s_1)^{1/p_{N-2}}\cdots (1-s_{N-3})^{1/p_{N-2}}\ s_{N-2}^{1/p_{N-2}}\\
x_{N-1} = (1-s_1)^{1/p_{N-1}}\cdots (1-s_{N-3})^{1/p_{N-1}}\ (1-s_{N-2})^{1/p_{N-1}}\ s_{N-1}^{1/p_{N-1}}
\end{cases}
\]

Notiamo esplicitamente che nel caso in cui \(p_1=\cdots =p_N=2\), cioè quando \(B_{p_1,\ldots ,p_N}\) diventa la palla euclidea unitaria \(\mathbb{B}_N\), la formula restituisce:
\[
\begin{split}
|\mathbb{B}_N| &= \frac{1}{\Gamma \left( 1+\sum_{n=1}^N 1/2 \right)}\ \prod_{n=1}^N \frac{2}{2}\ \Gamma \left( \frac{1}{2}\right)\\
&= \frac{1}{\Gamma (1+N/2)}\ \left( \Gamma \left( \frac{1}{2}\right)\right)^N\\
&= \frac{\pi^{N/2}}{\Gamma (1+N/2)}\; ,
\end{split}
\]
che è il valore corretto per la misura di \(\mathbb{B}_N\).

[gugo82]

"gugo82":4. fissato [tex]$p_n=p\in ]0,+\infty[$[/tex] per ogni indice [tex]$n$[/tex], cosa succede a [tex]$|B_{\underbrace{p,\ldots ,p}_{N \text{ volte}}}|$[/tex] al crescere di [tex]$N$[/tex]? In particolare, è possibile calcolare [tex]$\lim_N |B_{\underbrace{p,\ldots ,p}_{N \text{ volte}}}|$[/tex]?

Fissati \(p_1=\cdots =p_N=p\in ]0,\infty[\), risulta:
\[
|B_{\underbrace{p,\ldots ,p}_{N \text{ volte}}}| = \frac{\left( \frac{2}{p}\ \Gamma \left( \frac{1}{p} \right)\right)^N}{\Gamma \left( 1+\frac{N}{p} \right)}
\]
quindi la ricorrenza \(\Gamma (1+x)=x\ \Gamma (x)\) importa:
\[
|B_{\underbrace{p,\ldots ,p}_{N \text{ volte}}}| = p\ \frac{\left( \frac{2}{p}\ \Gamma \left( \frac{1}{p} \right)\right)^N}{N\ \Gamma \left(\frac{N}{p} \right)}\; ;
\]
la formula di approssimazione di Stirling \(\Gamma (x)\approx \sqrt{2\pi}\ x^{x-1/2}\ e^{-x}\) valida per per \(x\to \infty\) consente di ricavare:
\[
\begin{split}
|B_{\underbrace{p,\ldots ,p}_{N \text{ volte}}}| &\approx \frac{p}{\sqrt{2\pi}}\ \frac{\left( \frac{2}{p}\ e^{-1/p}\ \Gamma \left( \frac{1}{p} \right)\right)^N}{N\ \left(\frac{N}{p} \right)^{N/p -1/2}}\\
&= \sqrt{\frac{p}{2\pi}}\ \frac{\left( 2\ p^{1/p -1}\ e^{1/p}\ \Gamma \left( \frac{1}{p}\right)\right)^N}{N^{N/p+1/2}}
\end{split}
\]
per \(N\to \infty\), quindi:
\[
\lim_N |B_{\underbrace{p,\ldots ,p}_{N \text{ volte}}}| = \lim_N \sqrt{\frac{p}{2\pi}}\ \frac{\left( 2\ p^{1/p -1}\ e^{1/p}\ \Gamma \left( \frac{1}{p}\right)\right)^N}{N^{N/p+1/2}} =0\; .
\]

***

Un'altra relazione interessante è la seguente:
\[
\lim_{p\to \infty} |B_{\underbrace{p,\ldots ,p}_{N \text{ volte}}}| = 2^N\; .
\]
La precedente, però, non è poi così sorprendente: infatti quando \(p\to \infty\) la palla \(B_{\underbrace{p,\ldots ,p}_{N \text{ volte}}}\) tende a diventare la palla unitaria di \(\mathbb{R}^N\) in norma \(\ell^\infty\), la quale è un cubo con spigolo di lunghezza \(2\).

[dissonance]

Bel lavoro (lavoraccio?), grazie Gugo! Avevo iniziato a fare qualcuno di questi conti ma mi sono arreso quasi subito ( ), e poi per gli altri impegni quotidiani la faccenda è finita nel dimenticatoio. Questo è un bell'esercizio di calcolo, ed è un bene che ci sia la soluzione per riferimenti futuri.

[gugo82]

@dissonance: In effetti sì, è stato un lavoraccio... Anche perché avevo visto dei calcoli millemila anni fa che usavano una formula di ricorrenza e quindi l'esercizio mi sembrava meno calcoloso e più abbordabile. Tuttavia quei fogli non li ho più ritrovati né ricordavo la ricorrenza o la formula esplicita per \(|B_{p_1,\ldots ,p_N}|\). Quindi l'altro giorno, quando per caso mi sono ricordato di questo thread, ho dovuto rifare tutto daccapo con le mie manine sante (e quei cambiamenti di variabile sono una gran palla! ).