Riducibilità dei polinomi di grado dato

[Studente Anonimo]

Trovo che la seguente questione (ispirata da questo filone) sia fertile.

Sappiamo che un campo è algebricamente chiuso se ogni polinomio a coefficienti in quel campo è riducibile.

Ma cosa succede se fissiamo il grado?

Fissiamo un intero [tex]n > 1[/tex].

Esiste un campo [tex]F[/tex] con le seguenti due proprietà?

1. [tex]F[/tex] non è algebricamente chiuso;
2. ogni polinomio di grado [tex]n[/tex] in [tex]F[X][/tex] è riducibile.

Cosa possiamo dire di [tex]n=2[/tex], [tex]n=3[/tex], [tex]n=4[/tex]? E cosa possiamo dire in generale?

Modifico: ne esistono di ogni caratteristica?

E cosa succede se anziché "riducibile" scriviamo "riducibile in fattori lineari"?

Ho discusso la questione con un amico, e ve ne farò sapere i risultati nel caso interessino.

[Gi81]

per $n>=3$ consideriamo $[RR,+,*]$. Esso non è algebricamente chiuso,
e ogni polinomio di grado $n$ è riducibile:

[*:39d62sl0]se $n$ è dispari c'è almeno una radice reale
[/*:m:39d62sl0]
[*:39d62sl0]se $n$ è pari possiamo sfruttare il teorema fondamentale dell'algebra e il teorema che dice:

sia $p(x) in RR[x]$. Se $EE z_0 in CC$ tale che $p(z_0)=0$ allora anche $p(bar{z_0})=0$,
dunque $(x-z_0)(x-bar{z_0}) in RR[x]$ divide $p(x)$

[/*:m:39d62sl0][/list:u:39d62sl0]

Per $n=2$ devo rifletterci...
Posso dire che se esiste un tale campo, necessariamente è infinito.
Infatti se per assurdo $|mathbb{F}|=m in NN$, ($mathbb{F}= {alpha_1, alpha_2, ... alpha_m}$)
i polinomi di grado due possibili sono tutti e soli quelli del tipo $x^2+ax+b$ con $a,b in mathbb{F}$ (dunque sono $m^2$)
mentre i polinomi riducibili sono in numero $(m(m+1))/2 = m^2/2 +m/2 < m^2/2 +m^2/2=m^2$ :

[*:39d62sl0] $(x-alpha_1)(x-a)$ con $a in {alpha_1,alpha_2,alpha_3,...,alpha_m}$[/*:m:39d62sl0]
[*:39d62sl0]$(x-alpha_2)(x-a)$ con $a in {alpha_2,alpha_3,...,alpha_m}$[/*:m:39d62sl0]
[*:39d62sl0].[/*:m:39d62sl0]
[*:39d62sl0]..[/*:m:39d62sl0]
[*:39d62sl0]...[/*:m:39d62sl0]
[*:39d62sl0] $(x-alpha_m)(x-a)$ con $a in {alpha_m}$[/*:m:39d62sl0][/list:u:39d62sl0]

[j18eos]

Rispondo parzialmente in continuità con Gi8: ogni polinomio a coefficienti in \(\mathbb{R}\) è scomponibile in un prodotto di polinomi di grado al più \(2\)!

[Gi81]

"Martino":.. farò sapere i risultati nel caso interessino.

Sarei interessato
In particolare, hai trovato una soluzione al caso $n=2$?

[Studente Anonimo]

Ecchime

"Gi8":[quote="Martino"].. farò sapere i risultati nel caso interessino.

Sarei interessato
In particolare, hai trovato una soluzione al caso $n=2$?[/quote]I numeri complessi costruibili con riga e compasso. I polinomi di grado 2 sono riducibili perché le radici quadrate di numeri costruibili sono costruibili. Si tratta di un campo non algebricamente chiuso perché per esempio il cubo non è duplicabile.

Quanto al caso generale, il mio amico mi ha segnalato una costruzione simpatica.

Sia [tex]F[/tex] il campo con [tex]p[/tex] elementi ([tex]p[/tex] un primo) e sia [tex]K[/tex] la chiusura algebrica di [tex]F[/tex]. E' noto che il gruppo di Galois di [tex]K/F[/tex] è [tex]G = \hat{\mathbb{Z}} = \prod_p \mathbb{Z}_p[/tex], dove [tex]\mathbb{Z}_p[/tex] indica il gruppo degli interi [tex]p[/tex]-adici. Sia [tex]q[/tex] un primo che non divide [tex]n[/tex]. Sia [tex]H[/tex] il fattore [tex]\mathbb{Z}_q[/tex] di [tex]G[/tex]. Sia [tex]L[/tex] l'intercampo di [tex]K/F[/tex] che consiste degli elementi fissati da [tex]H[/tex] (quello che corrisponde a [tex]H[/tex] tramite le corrispondenze di Galois). Allora siccome [tex]H[/tex] non ha sottogruppi di indice [tex]n[/tex], [tex]L[/tex] non ha estensioni di grado [tex]n[/tex] (dalla teoria base di Galois), in particolare ogni polinomio di [tex]L[X][/tex] di grado [tex]n[/tex] è riducibile. D'altra parte [tex]L[/tex] non è algebricamente chiuso perché è strettamente compreso tra [tex]F[/tex] e la sua chiusura algebrica.
[tex]\xymatrix{K & 1 \ar[d] \\ L \ar & H \ar[d] \\ F \ar & G}[/tex]

[Gi81]

"Martino":I numeri complessi costruibili con riga e compasso. I polinomi di grado 2 sono riducibili perché le radici quadrate di numeri costruibili sono costruibili. Si tratta di un campo non algebricamente chiuso perché per esempio il cubo non è duplicabile.

Interessante. Non mi ero mai imbattuto in questo campo.
Hai per caso qualche link dove si tratta dell'argomento
(cioè numeri complessi costruibili con riga e compasso: definizione, proprietà, dimostrazione che è un campo)?

[Studente Anonimo]

Ho cercato su google, posso segnalarti questo(0), questo(1) e questo(2), fammi sapere!

[Gi81]

I primi due li avevo già guardati. Mi leggerò (con calma) il terzo. Ti ringrazio molto.

PS: (pura curiosità) Tu conoscevi già questo insieme prima di questo esercizio?

[Studente Anonimo]

"Gi8":PS: (pura curiosità) Tu conoscevi già questo insieme prima di questo esercizio?

Sì certo, è una delle più classiche applicazioni della teoria di Galois. Ho delle note di algebra su matematicamente (devo decidermi a rivederle, non sono scritte proprio benissimo), leggi pagine 186 e seguenti. Un esempio eclatante è che il 7-agono regolare non è costruibile mentre il 17-agono regolare sì.

Perché realizzare un [tex]n[/tex]-agono regolare equivale a costruire una radice primitiva [tex]n[/tex]-esima di 1 in [tex]\mathbb{C}[/tex], che determina il cosiddetto campo ciclotomico [tex]n[/tex]-esimo, sia esso [tex]K_n[/tex]. Ora, l'estensione di Galois [tex]K_n/\mathbb{Q}[/tex] ha grado uguale al grado del polinomio ciclotomico [tex]n[/tex]-esimo, cioè [tex]\varphi(n)[/tex] (qui [tex]\varphi[/tex] è la funzione totiente di Eulero) e quindi l'[tex]n[/tex]-agono regolare è costruibile se e solo se [tex]\varphi(n)[/tex] è una potenza di [tex]2[/tex].

L'idea è che le costruzioni con riga e compasso coinvolgono rette e circonferenze, che sono curve algebriche di grado 1 oppure 2, quindi un numero costruibile deve per forza appartenere a un sovracampo ottenuto da [tex]\mathbb{Q}[/tex] con estensioni successive di grado 2.

Comunque se cerchi su internet trovi tante cose.

Occhio, da qualche parte trovi scritto che un numero è costruibile se e solo se ha grado una potenza di 2, ma questo è falso, cf. qui.