[EX] Un operatore lineare

[gugo82]

Ripropongo in italiano, con qualche modifica, questo vecchio esercizio da English Corner.
I primi tre punti li ho risolti; sugli altri ci sto lavorando... Tuttavia mi farebbe piacere sentire pareri.

***
Qualche prerequisito:

[*:ehq9pv8w] Ricordo che lo spazio \(\ell^1\) è costituito da tutte le successioni complesse (o reali) \(x=(x_n)\) tali che \(\sum_{n=1}^\infty |x_n|<+\infty\).
Tale spazio si struttura canonicamente come \(\mathbb{C}\)-spazio vettoriale normato di Banach con le operazioni di somma e prodotto per lo scalare fatte "componente per componente" e norma:
\[
\| x\|_1:= \sum_{n=1}^\infty |x_n|\; .
\]
[/*:m:ehq9pv8w]
[*:ehq9pv8w] Ricordo che un operatore \(T:\ell^1 \to \ell^1\) è detto lineare se risulta:
\[
T(\alpha x+\beta y) = \alpha\ Tx+\beta\ Ty
\]
per ogni coppia di scalari \(\alpha,\beta \in \mathbb{C}\) e di vettori \(x,y\in \ell^1\).
[/*:m:ehq9pv8w]
[*:ehq9pv8w] Un operatore lineare \(T:\ell^1 \to \ell^1\) viene detto limitato se e solo se esiste una costante \(k\geq 0\) tale che:
\[
\| T x\|_1 \leq k\ \| x\|_1
\]
per ogni \(x\in \ell^1\).
Si prova che un operatore lineare \(T\) è limitato se e solo se esso è continuo. La classe degli operatori lineari di \(\ell^1\) in sé (che è non vuota) si denota con \(\mathcal{L}(\ell^1)\): su di essa si può indurre la struttura di \(\mathcal{C}\)-spazio vettoriale con le operazioni definite "puntualmente".
[/*:m:ehq9pv8w]
[*:ehq9pv8w] Se \(T\) è un operatore lineare limitato, allora si chiama norma (operatoriale) di \(T\) il numero reale:
\[
\| T\| := \sup_{x\neq o} \frac{\| Tx\|_1}{\| x\|_1}
\]
e si dimostra che:
\[
\| T\| = \inf \{ k\geq 0:\ \| Tx\|_1\leq k\ \| x\|_1 \text{ per ogni } x\in \ell^1\}\; .
\]
Lo spazio \(\mathcal{L}(\ell^1)\) è uno spazio di Banach se equipaggiato della norma operatoriale.
[/*:m:ehq9pv8w]
[*:ehq9pv8w] Un operatore \(T:\ell^1 \to \ell^1\) (lineare o no) è detto compatto se trasforma insiemi limitati in norma di \(\ell^1\) in insiemi relativamente compatti di \(\ell^1\) o, equivalentemente, se da ogni successione limitata \((x^m)\subseteq \ell^1\) di vettori è possibile estrarre una sottosuccessione \((x^{m_h})\) tale che \((Tx^{m_h})\) sia di Cauchy in \(\ell^1\).
La classe degli operatori compatti limitati di \(\ell^1\) in sé si denota con \(\mathcal{K}(\ell^1)\).
[/*:m:ehq9pv8w]
[*:ehq9pv8w] Ogni operatore lineare \(T\in \mathcal{L}(\ell^1)\) a rango finito, i.e. \(\dim \mathcal{R}(T)<\infty\), è compatto.
Pertanto \(\mathcal{K}(\ell^1)\) è non vuoto.
[/*:m:ehq9pv8w]
[*:ehq9pv8w] La classe \(\mathcal{K}(\ell^1)\) è chiusa in \(\mathcal{L}(\ell^1)\), nel senso che ogni operatore \(T\) lineare continuo approssimabile in norma operatoriale con una successione di operatori compatti \((T^m)\) è a sua volta compatto.
Conseguentemente è compatto ogni operatore che può essere approssimato in norma operatoriale con una successione di operatori lineari a rango finito.[/*:m:ehq9pv8w][/list:u:ehq9pv8w]

***

Esercizio:

Per ogni successione \(x=(x_n)_{n\in \mathbb{N}}\) si ponga:
\[
\tag{1}
\begin{split}
Tx &:= \left( \sum_{k=n}^\infty \frac{1}{k}\ x_k\right)_{n\in \mathbb{N}}\\
&= \left( \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}\ x_k ,\sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k}\ x_k ,\ldots ,\sum_{k=n}^\infty \frac{1}{k}\ x_k, \ldots \right)
\; .
\end{split}
\]

1. Provare che la (1) definisce un operatore \(T\) lineare e limitato da \(\ell^1\) in sé.

Suggerimenti: La linearità è ovvia. Per quel che riguarda la limitatezza, potrebbe essere utile ricordare che una serie doppia (asolutamente) convergente può essere riordinata come fa più comodo.

2. Calcolare la norma dell'operatore \(T\).

3. Dimostrare che \(T\) è iniettivo e che ha rango denso in \(\ell^1\).

Suggerimenti: Per mostrare che \(\ker T = \{ o\}\) basta ragionare per assurdo. Per la seconda questione, mostrare che \(c_{00} \subseteq \mathcal{R}(T)\).

4. \(T\) è suriettivo?

Idea mia: La soluzione alla seconda questione di 3 fornisce un modo per determinare "formalmente" \(T^{-1}y\) per ogni \(y\in \ell^1\); per dimostrare che \(T\) è suriettivo basterebbe riuscire a provare che \(T^{-1}\) è ben definito per ogni \(y\in \ell^1\) e che \(T^{-1}y \in \ell^1\).

5. \(T\) è compatto?

6. Studiare lo spettro di \(T\).

[Pappappero1]

Comincio con una risposta parziale:

1. Banale la linearità.

Per dimostrare che è limitato farei così:
\[ || T x || = \sum_{n=1}^\infty | \sum_{k=n}^\infty \frac{1}{k} x_k | \le \sum_{n=1}^\infty \sum_{k=n}^\infty \frac{1}{k} |x_k | = \sum_{k=1}^\infty \sum_{n=1}^k \frac{1}{k} |x_k| = \sum_{k=1}^\infty |x_k| = || x ||
\]
dove sia il passaggio in cui il valore assoluto entra dentro la serie, sia quello in cui si scambiano le sommatorie sono validi per l'assoluta convergenza.

2. Il punto 1. dice che la norma di $T$ è al più $1$. Prendendo una $x$ a termini positivi (ad esempio una $x_i = 2^{-i}$), si verifica l'eguaglianza.

A questo punto sono un po' fermo. Del 3. ho dimostrato l'iniettività e lo stesso argomento sembra funzionare anche con la suriettività (anche se forse c'è da giustificare un po' di cose). Cos'è $c_{00}$?

Inoltre direi che $T$ non è compatto. Questo si può dedurre a posteriori dopo aver dimostrato che è iniettivo e suriettivo (mi pare che gli operatori compatti in dimensione infinita non possano essere biiettivi). In ogni caso basta considerare la successione in $\ell^1$ data da $(e^n)_{n \in \NN}$, cioè la successione della base canonica ($e^n$ è l'elemento di $\ell^1$ che ha $1$ al posto $n$-esimo e zero altrove). Questa successione è limitata (ogni termine ha norma $1$) ma per ogni $n$ vale
\[ Te^n = (\frac{1}{n} , ... , \frac{1}{n} , 0 ...) \]
dove gli zeri cominciano all'$(n+1)$-esimo posto. Dunque $||T e_n || = 1$ per ogni $n$. La successione delle immagini ha norma costante $1$ ma tende puntualmente a zero (cioè ogni suo termine tende a zero). Ogni estratta convergente in $\ell^1$ dovrebbe convergere al limite puntuale, da cui l'assurdo.

Sto pensando agli altri punti. Mi intriga lo spettro!

[j18eos]

@Pappappero

Se la memoria non m'inganna: \(c_{00}\) è l'insieme delle successioni infitesime, che tra l'altro è denso in \(\ell^1\)!

[gugo82]

@ Pappappero: \(c_{00}\) è lo spazio delle successioni definitivamente nulle.

@ j18eos: Di solito, lo spazio delle successioni infinitesime lo denoto con \(c_0\). Tale spazio è strettamente più grande di \(\ell^1\) (e.g., \( (1/n)\in c_0\setminus \ell^1\)).