Convergenza di insiemi

[fu^2]

Un esercizio carino, giusto per non proporre sempre cose di probabilita'

"Consideriamo $\mathbb{S}$ l'insime dei sottoinsiemi dei numeri naturali.
Diciamo che una sequenza di sottoinsiemi $A_k$ converge verso $A$ se e solo se per ogni $m>0$ fissato si ha che $A_k\cap\{1,...,m\}=A\cap\{1,...,m\}$ per $k$ sufficientemente grande.

Dimostrare che ogni sequenza $A_k$ ha almeno un punto limite."

[Studente Anonimo]

Mi sembra che basti prendere come [tex]A[/tex] l'insieme degli elementi [tex]n \in \mathbb{N}[/tex] con la proprietà che esiste [tex]K_n \in \mathbb{N}[/tex] tale che [tex]n \in A_k[/tex] per ogni [tex]k \geq K_n[/tex].

[Rigel1]

Io procederei per induzione.
Considero \(J_1 := \{k\in\mathbb{N}:\ A_k\cap \{1\} \neq\emptyset\}\); se \(J_1\) ha cardinalità infinita pongo \(I_1 := J_1\), \(B_1 := \{1\}\), altrimenti \(I_1 := \mathbb{N}\setminus J_1\), \(B_1 := \emptyset\).
All'\(n\)-esimo passo considero \(J_n := \{k\in I_{n-1}:\ A_k\cap \{n\} \neq\emptyset\}\); se \(J_n\) ha cardinalità infinita pongo \(I_n := J_n\), \(B_n := B_{n-1}\cup \{n\}\), altrimenti \(I_n := I_{n-1}\setminus J_n\), \(B_n := B_{n-1}\).
Per costruzione tutti gli insiemi \(I_n\) hanno cardinalità infinita.
Definisco \(k_1 := \min I_1\) e, sempre per induzione, \(k_n := \min\{k\in I_n:\ k > k_{n-1}\}\).
La sottosuccessione \((A_{k_n})_n\) dovrebbe a questo punto convergere ad \(A := \bigcup_n B_n\).

[fu^2]

vedo che le risposte non tardano ad arrivare

@martino

forse non ho capito bene la tua costruzione...

Considera la successione $A_n$ definita nel seguente modo: $A_{2k}=\{2k\}$ e $A_{2k+1}=\{1\}$.
In questo caso il tuo insieme $A$ risulta l'insieme vuoto, giusto? o sto dicendo fesserie? (corrispondente al punto limite della sottosuccessione $A_{2k}$).

@Rigel

Ottimo! Sembrerebbe funzionare

@me, tutti

la mia soluzione è considerare il liminf degli insiemi. Ovvero data una successione $A_n$ considero

$A=\text{liminf}_n A_n=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\bigcap_{k\geq n} A_n$

Allora $A$ è un punto limite della successione.
Infatti dalla definizione si ha che $A=\{n: \exists K=K(n) \text{ tale che } n\in A_k \forall k> K\}$ in quanto $n\in A$ se e solo se esite $m\in \mathbb{N}$ tale che $\forall k\geq m$, $n\in A_k$.

A pensarci la proposta di Martino è proprio questa, mentre, se non sbaglio, Rigel ha proposto di prendere il limsup della successione, ovvero l'insieme $A=\bigcap_{n\in \mathbb{N}}\bigcup_{k\geq n}A_k$, in quanto, dalla sua definizione (usando le sue notazioni) si ha che $A=\bigcup_{n} B_n=\{n\in \mathbb{N}: n\in A_k \text{ per un'infinità di indici } k\}$ che è la stessa, o sbaglio?

[Studente Anonimo]

@fu^2: perdonami, in effetti ho scritto quel messaggio senza pensare troppo.