Un criterio di Eisenstein "modificato"
Vi sfido!
Prove it! Sia [tex]f(X) \in \mathbb Z[X][/tex], [tex]f(X) = p + a_1 X + \ldots + a_n X^n[/tex] dove [tex]p[/tex] è un primo e [tex]p \nmid a_i[/tex] per ogni [tex]i = 1, \ldots, n[/tex]. Allora [tex]f(X)[/tex] è irriducibile.
Prove it! Sia [tex]f(X) \in \mathbb Z[X][/tex], [tex]f(X) = p + a_1 X + \ldots + a_n X^n[/tex] dove [tex]p[/tex] è un primo e [tex]p \nmid a_i[/tex] per ogni [tex]i = 1, \ldots, n[/tex]. Allora [tex]f(X)[/tex] è irriducibile.
Risposte
Non mi sembra che sia vero: prendi [tex]f(x)=x^2+3x+2[/tex]
[tex]p=2[/tex] è primo e non divide nessuno degli altri coefficienti.
Ma [tex]f(x)=(x+1)(x+2)[/tex]
[tex]p=2[/tex] è primo e non divide nessuno degli altri coefficienti.
Ma [tex]f(x)=(x+1)(x+2)[/tex]
Hai certamente ragione... ho scritto una cavolata. Ma il metodo che utilizzavo non è una cavolata... Devo capire bene che cosa non funziona!
C'è un esercizio simile nello spirito sul AMM: lo riporto se qualcuno vuole lavorarci su.
***
Siano [tex]$n$[/tex] un intero positivo pari e [tex]$p$[/tex] primo.
Dimostrare che il polinomio [tex]p+\sum_{k=1}^n x^k[/tex] è irriducibile su [tex]$\mathbb{Q}$[/tex].
***
Siano [tex]$n$[/tex] un intero positivo pari e [tex]$p$[/tex] primo.
Dimostrare che il polinomio [tex]p+\sum_{k=1}^n x^k[/tex] è irriducibile su [tex]$\mathbb{Q}$[/tex].
Nel frattempo, io ho capito che cosa sbagliavo. Non sto a spiegarlo, ma rimpiazzo l'esercizio falso iniziale con uno un po' più vero:
Prove it! Sia [tex]f(X) = a_0 + a_1 X + \ldots + a_n X^n[/tex] un polinomio a coefficienti in un dominio a fattorizzazione unica [tex]R[/tex]. Supponiamo che i coefficienti non abbiano fattori primi in comune (cioè il polinomio sia primitivo). Sia [tex]p \in R[/tex] sia un primo e sia [tex]r_i[/tex] l'intero tale che [tex]p^{r_i}[/tex] divida esattamente [tex]a_i[/tex]. Mostrare che se [tex]r_n = 0[/tex] e [tex]\frac{r_i}{n-i} \ge \frac{r_0}{n}[/tex] per [tex]0 \le i \le n-1[/tex] e [tex]\gcd(r_0,n) = 1[/tex] allora il polinomio è irriducibile.
Purtroppo non si adatta più al nostro caso.
Ero convinto di aver dimostrato l'esercizio proposto da Gugo82 qualche tempo fa, ma il metodo era lo stesso e quindi c'era lo stesso errore di fondo...
Prove it! Sia [tex]f(X) = a_0 + a_1 X + \ldots + a_n X^n[/tex] un polinomio a coefficienti in un dominio a fattorizzazione unica [tex]R[/tex]. Supponiamo che i coefficienti non abbiano fattori primi in comune (cioè il polinomio sia primitivo). Sia [tex]p \in R[/tex] sia un primo e sia [tex]r_i[/tex] l'intero tale che [tex]p^{r_i}[/tex] divida esattamente [tex]a_i[/tex]. Mostrare che se [tex]r_n = 0[/tex] e [tex]\frac{r_i}{n-i} \ge \frac{r_0}{n}[/tex] per [tex]0 \le i \le n-1[/tex] e [tex]\gcd(r_0,n) = 1[/tex] allora il polinomio è irriducibile.
Purtroppo non si adatta più al nostro caso.
Ero convinto di aver dimostrato l'esercizio proposto da Gugo82 qualche tempo fa, ma il metodo era lo stesso e quindi c'era lo stesso errore di fondo...
"gugo82":
C'è un esercizio simile nello spirito sul AMM: lo riporto se qualcuno vuole lavorarci su.
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Siano [tex]$n$[/tex] un intero positivo pari e [tex]$p$[/tex] primo.
Dimostrare che il polinomio [tex]p+\sum_{k=1}^n x^k[/tex] è irriducibile su [tex]$\mathbb{Q}$[/tex].
Cosa intendi per AMM?
[OT]
@raffamaiden: AMM è l'acronimo di una rivista: The American Mathematical Monthly edita dalla Mathematical Association of America (che è un'associazione di insegnanti di matematica).
È un'ottima rivista che ha il pregio di pubblicare materiale accessibile a tutti, dagli "undergraduate" ai ricercatori, ed ha una lunga storia alle spalle (è stata fondata nel 1894).
Ne consiglio vivamente la lettura agli studenti universitari, dal terzo anno in sù; la trovate nella biblioteca del vostro dipartimento di Matematica.
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@raffamaiden: AMM è l'acronimo di una rivista: The American Mathematical Monthly edita dalla Mathematical Association of America (che è un'associazione di insegnanti di matematica).
È un'ottima rivista che ha il pregio di pubblicare materiale accessibile a tutti, dagli "undergraduate" ai ricercatori, ed ha una lunga storia alle spalle (è stata fondata nel 1894).
Ne consiglio vivamente la lettura agli studenti universitari, dal terzo anno in sù; la trovate nella biblioteca del vostro dipartimento di Matematica.
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Il Poli dà accesso ai numeri fino al 2008, e non riesco a capire come scaricarli XD
Grazie per la dritta, appena possibile ne prenderò un assaggio!
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Il Poli dà accesso ai numeri fino al 2008, e non riesco a capire come scaricarli XD
Grazie per la dritta, appena possibile ne prenderò un assaggio!
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"gugo82":
Siano [tex]$n$[/tex] un intero positivo pari e [tex]$p$[/tex] primo.
Dimostrare che il polinomio [tex]p+\sum_{k=1}^n x^k[/tex] è irriducibile su [tex]$\mathbb{Q}$[/tex].
Uppo... Qualcuno l'ha poi risolto?
Sinceramente non ricordo il numero del problema sul Monthly, né ho cercato se la soluzione è stata pubblicata.
Qualche settimana fa ho trovato la soluzione su oliforum.
Come si può leggere, non serve la condizione che $n$ sia pari.
Come si può leggere, non serve la condizione che $n$ sia pari.
Grazie Gi8.
[Non che non ci dormissi la notte... Solo che recentemente qualcuno mi aveva ricordato questo problema in PM, quindi ero curioso di sapere come era andato a finire.]
[Non che non ci dormissi la notte... Solo che recentemente qualcuno mi aveva ricordato questo problema in PM, quindi ero curioso di sapere come era andato a finire.]
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