[EX] La convergenza in media implica quella uniforme!

[gugo82]

Ecco, adesso quelli più ferrati in Analisi mi prenderanno per pazzo!

Ma quando mai, mi si dirà, la convergenza in media implica la convergenza uniforme?!? Casomai è vero il contrario (sempre se siamo in insiemi di misura finita)!...

Ed io rispondo con un sonoro pernacchio* e con questo esercizio.

***

Esercizio:

Dimostrare che vale il seguente fatto:

Siano \((f_n)\) una successione di funzioni definite in \([a,b]\) a valori reali e \(p\in [1,\infty[\).
Se:

[list=1]
[*:23m0b2b3] le \(f_n\) sono equiuniformemente-continue in \([a,b]\), i.e.:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta>0:\ \forall n\in \mathbb{N},\ \forall x,y\in [a,b] \text{ con } |x-y|\leq \delta,\ |f_n(x)-f_n(y)|\leq \varepsilon \; ,
\]

[/*:m:23m0b2b3]
[*:23m0b2b3] risulta \(f_n\to f\) in media d'ordine \(p\) in \([a,b]\), i.e.:
\[
\lim_{n\to \infty} \intop_a^b |f_n(x)-f(x)|^p\ \text{d} x =0\; ,
\][/*:m:23m0b2b3][/list:o:23m0b2b3]
allora \(f_n\to f\) uniformemente in \([a,b]\), i.e.:
\[
\lim_{n\to \infty} \max_{x\in [a,b]} |f_n(x)-f(x)| =0\; .
\]

__________
* Per chi volesse rivederla, quella grandissima scena è disponibile su YT: parte 1, parte 2 e parte 3.
Inoltre, visto che sono in tema, segnalo anche quest'altro grande classico.

[j18eos]

Ci manca una \(p\)!

E comunque per invertire l'implicazione citata utilizzi anche l'ipotesi della equi-uniforme-continuità della successione di funzioni in esame, quindi mi sembra una inversione parziale oppure mi sfugge qualcosa?

[DajeForte]

Scusa gugo ma come fai a concludere una convergenza puntuale, a partire da una convergenza in media?
Nel senso che dalle tue ipotesi f puó essere anche una funzione alla quale le $f_n$ non convergono puntualmente.

[gugo82]

@ j18eos:

"j18eos":Ci manca una \(p\)!

Typo... Corretto, grazie.

"j18eos":E comunque per invertire l'implicazione citata utilizzi anche l'ipotesi della equi-uniforme-continuità della successione di funzioni in esame, quindi mi sembra una inversione parziale oppure mi sfugge qualcosa?

Certo, lo è; non ti sfugge nulla.

In generale si ha:
\[
f_n\to f \text{ uniformemente in } [a,b] \quad \Rightarrow \quad \lim_n \int_a^b |f_n(x)-f(x)|^p\ \text{d} x=0
\]
per funzioni continue in \([a,b]\) (ma, più in generale, anche per funzioni in \(L^\infty\)); il teorema precedente inverte l'implicazione a patto che la successione \((f_n)\) sia equi-continua (e quindi, per il teorema di Cantor, equiuniformemente-continua) in \([a,b]\).

Che il teorema non valga se viene meno l'ipotesi di equicontinuità è evidente.
Basta prendere:
\[
f_n (x):= \begin{cases} c_n\ \left( x-\frac{1}{2(n+1)}\right) \left( \frac{1}{2n}-x\right) & \text{, se } \frac{1}{2(n+1)}\leq x\leq \frac{1}{2n}\\
0 &\text{, se } 0\leq x\leq \frac{1}{2(n+1)} \text{ oppure } \frac{1}{2n}\leq x\leq 1\end{cases}
\]
ove \(c_n:= 16n(n+1/2)(n+1)\): infatti in tal caso si ha \(f_n\to 0=:f\) in media d'ordine \(p\), giacché:
\[
\int_0^1 |f_n(x)|\ \text{d} x \leq \int_{1/(2(n+1))}^{1/2n} \text{d} x = \frac{1}{4n(n+1)} \to 0\; ,
\]
e tuttavia è:
\[
\max_{[0,1]} |f_n(x)-f(x)| = \max_{[0,1]} f_n(x)= 1
\]
di modo che la convergenza non è uniforme... Ed in questo caso, infatti, manca l'equicontinuità alla successione \((f_n)\)!

Per mostrare vera quest'ultima asserzione basta acquisire che:
\[
\exists \bar{\varepsilon} >0 :\ \forall \delta >0,\ \exists \nu \in \mathbb{N} \text{ ed } \exists \bar{x},\bar{y}\in [0,1]\ \text{ con } |\bar{x}-\bar{y}|< \delta:\quad |f_\nu (\bar{x})-f_\nu(\bar{y})|\geq \bar{\varepsilon}\; .
\]
Prendiamo \(\bar{x}=0\) e \(\bar{\varepsilon}=1/2\); dato che le successioni di termini generali \(\frac{1}{2n}\) ed \(\frac{1}{2n+2}\) sono infinitesime, in corrispondenza di ogni \(\delta>0\) è possibile determinare \(\lambda \in \mathbb{N}\) tale che \(0<\frac{1}{2n+2}<\frac{1}{2n}<\delta/2\) per ogni \(n>\lambda\); in particolare, preso \(\nu =\lambda+1\), ciò importa che il supporto di \(f_\nu\) (i.e., il sottoinsieme di \([0,1]\) in cui \(f_\nu\) è non nulla) è tutto contenuto in \([0,\delta/2]\) e quindi il punto \(\bar{y}:= \frac{1}{2n+1}\) è tale che \(|\bar{x}-\bar{y}|\leq \delta /2 <\delta\); ma si ha:
\[
|f_\nu (\bar{x}) -f_nu(\bar{y})| = |0-1|=1 \geq 1/2 =\bar{\varepsilon}\; ,
\]
come si voleva.

@ DajeForte: Concludere la convergenza puntuale (ed addirittura uniforme) dalla convergenza in media è proprio il punto della questione!
In generale non si può; ma se sono soddisfatte le ipotesi del teorema, sì.

[DajeForte]

Che fai, mi dai del Delirium? Hahah scherzo!
Comunque $f_n=0$ per ogni n ed x, e dunque chiaramente soddisfano la 1,
$f(x)=1_c(x)$ con $c in (a,b)$, dunque si ha convergenza in media,

ma la tesi non è vera.

Questo perchè la f tra ipotesi e tesi potrebbe non essere la stessa.
Infatti a naso il teorema mi pare vero, con questa correzzione, ma non è detto che la f che soddisfa le ipotesi sia anche quella che soddisfa la tesi ( che magari cambierei con esiste una funzione g tale che c'è convergenza uniforme).

Ed sempre a naso proverei a dire: dalla convergenza in media so che esiste una sottosuccessione convergente quasi ovunque a g, e con la equicontinuità provare ad ottenere la tesi.

[gugo82]

"DajeForte":Che fai, mi dai del Delirium? Hahah scherzo!

Scusa...

"DajeForte":Comunque $f_n=0$ per ogni n ed x, e dunque chiaramente soddisfano la 1,
$f(x)=1_c(x)$ con $c in (a,b)$, dunque si ha convergenza in media, ma la tesi non è vera.

Questo perchè la f tra ipotesi e tesi potrebbe non essere la stessa.
Infatti a naso il teorema mi pare vero, con questa correzzione, ma non è detto che la f che soddisfa le ipotesi sia anche quella che soddisfa la tesi ( che magari cambierei con esiste una funzione g tale che c'è convergenza uniforme).

Ed sempre a naso proverei a dire: dalla convergenza in media so che esiste una sottosuccessione convergente quasi ovunque a g, e con la equicontinuità provare ad ottenere la tesi.

Questa è una questione di lana caprina, non sostanziale: infatti vedi da te che non c'è alcuna differenza tra \(f\) e la funzione identicamente nulla nel senso di \(L^p\).

Come si sà, già dire "funzione di \(L^p\)" è un abuso di linguaggio: infatti, ogni elemento di \(L^p\) è in realtà una classe d'equivalenza di funzioni, i cui membri coincidono quasi dappertutto (nel senso di Lebesgue).
Quindi, anche dire che "\(f_n\to f\) uniformemente in \([a,b]\)" è un abuso di linguaggio e tale espressione va letta come segue:

Tra tutte le funzioni della classe d'equivalenza \(f\), i.e. tra tutte le funzioni quasi dappertutto uguali ad \(f\), ce n'è una, diciamola \(\tilde{f}\), per la quale vale \(f_n\to \tilde{f}\) uniformemente in \([a,b]\).

Con analogo abuso di linguaggio, il teorema potrebbe essere enunciato come segue:

Siano \((f_n)\) una successione di funzioni definite in \([a,b]\) a valori reali e \(p\in [1,\infty[\).
Se:

[list=1]
[*:1yza97dz] le \(f_n\) sono equiuniformemente-continue in \([a,b]\), i.e.:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta>0:\ \forall n\in \mathbb{N},\ \forall x,y\in [a,b] \text{ con } |x-y|\leq \delta,\ |f_n(x)-f_n(y)|\leq \varepsilon \; ,
\]

[/*:m:1yza97dz]
[*:1yza97dz] risulta \(f_n\to f\) in media d'ordine \(p\) in \([a,b]\), i.e.:
\[
\lim_{n\to \infty} \intop_a^b |f_n(x)-f(x)|^p\ \text{d} x =0\; ,
\][/*:m:1yza97dz][/list:o:1yza97dz]
allora \(f\) è continua in \([a,b]\) ed \(f_n\to f\) uniformemente in \([a,b]\), i.e.:
\[
\lim_{n\to \infty} \max_{x\in [a,b]} |f_n(x)-f(x)| =0\; .
\]

In questo caso, l'abuso di linguaggio è nella subordinata "\(f\) è continua in \([a,b]\)", che va interpretata come chiarito sopra (cioè, esiste una funzione \(\tilde{f}\) continua in \([a,b]\) che coincide quasi dappertutto con \(f\) nel senso di Lebesgue).

[DajeForte]

Si di lana caprina...
Se nessuno si farà avanti tenterò di dimostrarlo...trasloco permettendo

[gugo82]

"gugo82":Esercizio:

Dimostrare che vale il seguente fatto:

Siano \((f_n)\) una successione di funzioni definite in \([a,b]\) a valori reali e \(p\in [1,\infty[\).
Se:

[list=1]
[*:pghv43k1] le \(f_n\) sono equiuniformemente-continue in \([a,b]\), i.e.:
\[
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta>0:\ \forall n\in \mathbb{N},\ \forall x,y\in [a,b] \text{ con } |x-y|\leq \delta,\ |f_n(x)-f_n(y)|\leq \varepsilon \; ,
\]

[/*:m:pghv43k1]
[*:pghv43k1] risulta \(f_n\to f\) in media d'ordine \(p\) in \([a,b]\), i.e.:
\[
\lim_{n\to \infty} \intop_a^b |f_n(x)-f(x)|^p\ \text{d} x =0\; ,
\][/*:m:pghv43k1][/list:o:pghv43k1]
allora \(f_n\to f\) uniformemente in \([a,b]\), i.e.:
\[
\lim_{n\to \infty} \max_{x\in [a,b]} |f_n(x)-f(x)| =0\; .
\]

Questa è una classica dimostrazione \(\varepsilon--\nu\); in particolare, voglio far vedere che \((f_n)\) soddisfa la condizione di Cauchy:
\[
\tag{C} \forall \varepsilon >0,\ \exists \nu=\nu (\varepsilon) \in \mathbb{N}:\quad \forall n\geq \nu,\ \forall k\in \mathbb{N},\ \max_{x\in [a,b]} |f_{n+k}(x)-f_n(x)|\leq \varepsilon\; .
\]
Prendo \(0<\varepsilon <1\). Dato che \(f_n\) è equi-uniformemente continua, in corrispondenza di \(\varepsilon/3 >0\) riesco a determinare \(\sigma =\sigma (\varepsilon /3)>0\) tale che:
\[
\tag{1}
\forall n\in \mathbb{N},\ \forall x,y\in [a,b] \text{ con } |x-y|\leq \sigma ,\ |f_n(x)-f_n(y)|\leq \frac{\varepsilon}{3}\; .
\]
Pongo allora \(\delta =\delta(\varepsilon):=\min \{ \varepsilon/3,\ \sigma\}\) e, dato che la successione \((f_n)\) è di Cauchy in media d'ordine \(p\), in corrispondenza del numero \(\delta^{p+1}\) riesco a determinare un indice \(\mu =\mu (\delta (\varepsilon))\) tale che:
\[
\tag{2}
\forall n\geq \mu ,\ \forall k\in \mathbb{N},\quad \int_a^b |f_{n+k} (x)-f_n(x)|^p\ \text{d} x\leq \delta^{p+1}\; .
\]
Infine, mi propongo di mostrare che la successione \((f_n)\) soddisfa la (C) quando si scelga \(\nu =\mu (\delta (\varepsilon))\).
Fissato \(x\in [a,b]\), dico che:
\[
\tag{3}
\forall n\geq \mu,\ \forall k\in \mathbb{N},\ \exists y_{n,k}\in ]x-\delta,x+\delta[\cap [a,b]:\quad |f_{n+k}(y_{n,k})-f_n(y_{n,k})|<\delta \; ;
\]
infatti, se per assurdo ciò non fosse vero, per ogni \(y\in ]x-\delta, x+\delta[\cap [a,b]\) si avrebbe:
\[
|f_{n+k}(y)-f_n(y)|\geq \delta
\]
e dunque:
\[
\int_a^b |f_{n+k}(y)-f_n(y)|^p\ \text{d} y\geq \int_{]x-\delta, x+\delta[\cap [a,b]} |f_{n+k}(y)-f_n(y)|^p\ \text{d} y\geq \delta^{p+1}
\]
per \(n\geq \mu\) e \(k\in \mathbb{N}\), contro la (2).
Conseguentemente, usando la disuguaglianza triangolare, la (1), la definizione di \(\delta\) e la (3), per ogni fissato \(x\in [a,b]\) si trova:
\[
\begin{split}
|f_{n+k}(x)-f_n(x)| &\leq \underbrace{|f_{n+k}(x)-f_n(y_{n,k})|}_{\color{\maroon}{\leq \varepsilon /3}}+\underbrace{|f_{n+k}(y_{n,k})-f_n(y_{n,k})|}_{\color{maroon}{<\delta}}+\underbrace{|f_{n+k}(y_{n,k})-f_n(x)|}_{\color{maroon}{\leq \varepsilon /3}}\\
&\leq 3\ \frac{\varepsilon}{3}\\
&= \varepsilon
\end{split}
\]
per ogni scelta di \(n\geq \mu\) e \(k\in \mathbb{N}\) e perciò la (C) è soddisfatta.

Ciò implica che \((f_n)\) converge uniformemente in \([a,b]\) verso una funzione continua \(\tilde{f}\); dato che la convergenza uniforme implica la convergenza in media d'ordine \(p\) e che il limite in media è unico (a meno di insiemi di misura nulla secondo Lebesgue), si può ben dire che \(f=\tilde{f}\).

Da: Ford & Pennline, When Does Convergence in the Mean Imply Uniform Convergence?, The Amer. Math. Montly v. 114 (2007) n. 1.

[DajeForte]

Carina come soluzione...ma non ci lasci neanche il tempo di rispondere.
Mettero' la mia appena ho tempo (che comunque e' simile ma non uguale...)

[DajeForte]

Edit

Siano $g, \ \ g_n$ funzioni definite su $[a,b]$. Se le $g_n$ sono equi uniformemente continue ed $g_n$ converge quasi ovunque a $g$, allora $g_n$ converge uniformemente a $g$.

Fisso $varepsilon>0$. Considero il delta di continuità in corrispondenza di $varepsilon/3$. Allora

\[
\sup_x |g_n(x)-g_m(x)|=|g_n(x_{n,m})-g_m(x_{n,m})|\leq
\]
\[
\leq |g_n(x_{n,m})-g_n(y)|+|g_n(y)-g_m(y)|+|g_m(y)-g_m(x_{n,m})|.
\]
Il punto y è un elemento opportuno dell'insieme ${y_1,...,y_p} $. Tale insieme è un sottoinsieme di $A = {x \ |\ g_n(x) to g(x)}$, e tale che $[a,b] sube \bigcup_{n=1}^p (y_b-delta,y_n+delta)$. L'esistenza di questo insieme e' garantita dal fatto che in ogni intervallo $(c,d) subset [a,b]$ deve esserci un punto di $A$. Dell'espressione sopra, il primo ed il terzo addendo sono minori di $varepsilon/3$, mentre il secondo, per $n,\ \ m >N$, è minore di $varepsilon/3$, dove $N=\max{N_1,...N_p}$ (gli $N_i$ di Cauchy dei punti $y$).

Passiamo al problema. Considero, $forall x in [a,b]$, la successione $a_n=f_n(x)$. Questa converge se, per ogni sua sottosuccessione esiste una sottosottosuccessione convergente ad unico valore a.
Prendiamo una sua generica sottosuccessione $a_{n_k}$ e consideriamo la successione di funzioni associata, $f_{n_k}$. Questa converge in $L_1$; esiste allora una sottosuccessione convergente a f quasi ovunque. Dunque $f_{n_{k_l } }(x) to f(x)$.
Ancora dalla convergenza in $L_1$ si ottiene l'unicità del limite. Infatti se due sottosottosuccessioni avessero limite diverso ($f(x),\ \ g(x)$) si avrebbe:
\[
0<\int_a^b |f(t)-g(t)| \leq \int_a^b|f(t)-f_n(t)|\ +\ \int_a^b|f_n(t) - g(t)|\ \ \to 0.
\]