Produttoria particolare

[razorbak901]

E' una cosa nella quale mi sono imbattuto mentre facevo un paio di "conti" in spensieratezza... La mia dimostrazione è un po' astrusa, quindi per ora non la posterò (è un po' tardino, come ho già detto è una cosa "astrusa" ed oltretutto è da rivedere).

Dimostrare che:

$ lim_(m -> oo ) prod_(n = 1)^(m)(1+n/m)^(1/m)=4/e$

Sono curioso di sapere se esiste un modo semplice per dimostrarlo. Grazie anticipatamente per l'aiuto

EDIT:

Inserisco l'altro esercizio qui sopra, casomai sotto non si noti. Ripeto che ancora non sono sicuro della mia dimostrazione, quindi non la posterò.
Dimostrare che:

$ lim_(m -> oo ) prod_(n = 1)^(m) (ln ((m+1)/n))^(1/m)=e^-gamma $

[Rigel1]

Detto \(p_m\) l'argomento del limite, abbiamo che
\[
\log p_m = \frac{1}{m}\sum_{n=1}^m \log\left(1+\frac{n}{m}\right)\,.
\]
D'altra parte
\[
\int_0^{m-1} \log\left(1+\frac{x}{m}\right)\, dx\leq \sum_{n=1}^m \log\left(1+\frac{n}{m}\right)
\leq
\int_1^{m} \log\left(1+\frac{x}{m}\right)\, dx
\]
da cui si ricava
\[
\left(2-\frac{1}{m}\right)\log\left( 2- \frac{1}{m}\right) - 1 +\frac{1}{m} \leq \log p_m\leq
\frac{1}{m} + \log 4 - 1 - \left(1+\frac{1}{m}\right)\log\left(1+\frac{1}{m}\right).
\]
Per il criterio del confronto concludiamo dunque che \(\lim_m \log p_m = \log 4 -1\), dunque il limite di partenza vale \(4/e\).

[razorbak901]

Scusa, sarà che sono un po' fuso, ma non capisco proprio che fine faccia $1/m$.

[Rigel1]

E' usato nella terza formula; nella seconda l'ho omesso da tutti i membri della disuguaglianza visto che è una costante positiva (se così ti dà fastidio attacca un \(1/m\) a ciascuno dei membri della seconda formula).

[razorbak901]

Sisi, l'avevo capito che nella seconda formula l'avevi omesso. Non riesco proprio a vederlo nella terza formula invece

[Rigel1]

Calcola gli integrali che compaiono nella seconda formula e dividi per \(m\) il risultato.

[totissimus]

Oppure:

\( \displaystyle \underset{m \to \infty}{\lim}\underset{n=1}{\overset{m}{\prod}}\left(1+\frac{n}{m}\right)^{\frac{1}{m}}= \underset{m \to \infty}{\lim}\sqrt[m]{\underset{n=1}{\overset{m}{\prod}}\left(1+\frac{n}{m}\right)}= \underset{m \to \infty}{\lim}\sqrt[m]{\frac{\underset{n=1}{\overset{m}{\prod}}\left(m+n\right)}{m^{m}}}\)

\( \displaystyle \overset{1}{=}\underset{m \to \infty}{\lim} \frac{\underset{n=1}{\overset{m+1}{\prod }}(m+1+n)}{(m+1)^{m+1}}\frac{m^m}{\underset{n=1}{\overset{m}{\prod}}(m+n)}=\underset{m \to \infty}{\lim} \frac{1}{\left( 1+\frac{1}{m}\right)^m}\frac{2(2m+1)}{(m+1)}=\frac{4}{e}\)

1 Sia \( \{a_n\}\) una successione a termini positivi. L'uguaglianza \( \lim \sqrt[n]{a_n}=\lim \frac{a_{n+1}}{a_n}\) è sempre valida purchè sia regolare la successione a secondo membro.

[razorbak901]

Ok, ne ho un'altra un po' più difficile... (almeno credo)
Sarò sincero, non ho una vera dimostrazione per questa, o meglio, la ho, ma ha parecchi punti mooooooolto oscuri

Dimostrare che:

$ lim_(m -> oo ) prod_(n = 1)^(m) ln((m+1)/n)^(1/m)=e^(-\gamma)$

dove $\gamma$ è la costante di Eulero-Mascheroni.

[j18eos]

@totissimus Non mi trovo con la prima eguaglianza!

EDIT: Ho letto male, chiedo scusa.

[razorbak901]

SCUSATE, MI CORREGGO!

Dimostrare che:

$ lim_(m -> oo ) prod_(n = 1)^(m) (ln((m+1)/n))^(1/m)=e^-\gamma $

[razorbak901]

Nessuno si vuole cimentare?

[Noisemaker]

potrebbe essere utile ?
\begin{align*}
\gamma = - \int_0^1 { \ln\ln\left (\frac{1}{x}\right ) }\,dx
\end{align*}

[razorbak901]

Decisamente si

[Noisemaker]

allora posso provare ad azzardare un idea... tosto sto "limitaccio"

[Rigel1]

Basta usare il criterio del confronto integrale come fatto per il primo limite. Detto \(p_m\) il termine generale della successione si ha (tralasciando un po' di passaggi...)
\[
\log p_m \sim \frac{1}{m} \int_1^{m+1} \log\log\frac{m+1}{x}\, dx
\]
da cui, facendo il cambiamento di variabile \(y = x/(m+1)\) e osservando che \(\int_{1/(m+1)}^{1}\ldots dy \sim \int_0^1 \ldots dy\),
\[
\log p_m \sim \int_0^1 \log \log (1/y) dy = -\gamma.
\]

[Noisemaker]

un grande!

[razorbak901]

non c'è niente da fare!