Equazioni della cosmologia

[baldo891]

Dimostrare che le seguenti equazioni non sono tra di loro linearmente indipendenti

$(dot(a)/a)^2=8\piG/3\rho-k/a^2$
$3 dot(a)/a(p+\rho)+dot(\rho)=0$
$(ddot(a))/a=-4\pi G/3(\rho+3p)$
dove la variabile indipentente è $t$ mente le tre variabili dipendenti sono:
$p=p(t)$
$a=a(t)$
$\rho=\rho(t)$

[robbstark1]

Un modo è di lavorare sulle $3$ equazioni e ottenere una banale identità.
Ecco come ho fatto io:

Derivo la prima equazione:
[tex]2 \frac{ \dot{a}}{a} \left ( \frac{ \ddot{a}}{a} - \frac{ \dot{a}^2}{a^2} \right ) = 8 \pi \frac{G}{3} \dot{ \rho} + \frac{2k}{a^3} \dot{a}[/tex]
Sostituisco i termini in parentesi usando la prima e la terza equazione:
[tex]2 \frac{ \dot{a}}{a} \left ( -4 \pi \frac{G}{3} \left ( p + 3 \rho \right ) - 8 \pi \frac{ G}{3} \rho + \frac{k}{a^2} \right ) = 8 \pi \frac{G}{3} \dot{ \rho} + \frac{2k}{a^3} \dot{a}[/tex]
[tex]2 \frac{ \dot{a}}{a} \left ( -4 \pi G \left ( p + \rho \right ) + \frac{k}{a^2} \right ) = 8 \pi \frac{G}{3} \dot{ \rho} + \frac{2k}{a^3} \dot{a}[/tex]
[tex]-8 \pi G \left ( p + \rho \right ) \frac{ \dot{a}}{a} + \frac{2k}{a^3} \dot{a} = 8 \pi \frac{G}{3} \dot{ \rho} + \frac{2k}{a^3} \dot{a}[/tex]
[tex]-8 \pi G \left ( p + \rho \right ) \frac{ \dot{a}}{a} = 8 \pi \frac{G}{3} \dot{ \rho}[/tex]
Ricavo [tex]\dot{a}/a[/tex] dalla seconda equazione e lo sostituisco:
[tex]-8 \pi G \left ( p + \rho \right ) \frac{ - \dot{ \rho}}{3 \left ( p + \rho \right )} = 8 \pi \frac{G}{3} \dot{ \rho}[/tex]
[tex]8 \pi \frac{G}{3} \dot{ \rho} = 8 \pi \frac{G}{3} \dot{ \rho}[/tex]
Fine.