Problema di combinatoria

[GiacomoP93]

vi propongo il seguente problema:
in un pianeta ci sono tre tipi di esseri viventi, quelli del tipo A del tipo B e del tipo C... ogni essere vivente del tipo A da vita esattamente a tre esseri rispettivamente dei tre tipi A B e C.. un essere del tipo B da vita esattamente a tre esseri rispettivamente del tipo A B e C... ogni essere del tipo C da vita esattamente a due esseri del tipo A e C..
nella prima generazione c' è solo un essere del tipo A.. i figli di A sono della seconda generazione... ognuno di questi figli da vita secondo le regole suddette a figli della terza generazione.. che a loro volta ne produrranno della quarta e cosi via...
sia N il numero della generazione.. è possibile trovare un espressione di N esplicita che restituisca il numero di individui della Nesima generazione?

[Rigel1]

Dati \((A_0, B_0, C_0) = (1,0,1)\), le popolazioni delle tre specie soddisfano il sistema
\[
\left(\begin{matrix}A_{n+1}\\ B_{n+1}\\ C_{n+1}\end{matrix}\right) =
M
\left(\begin{matrix}A_{n}\\ B_{n}\\ C_{n}
\end{matrix}\right),
\qquad
M := \left(\begin{matrix}2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 0\\ 1& 1 & 2\end{matrix}\right) \,.
\]
Avremo dunque
\[
\left(\begin{matrix}A_{n}\\ B_{n}\\ C_{n}\end{matrix}\right) =
M^n
\left(\begin{matrix}A_{0}\\ B_{0}\\ C_{0}
\end{matrix}\right) \,.
\]
La potenza \(M^n\) può essere calcolata diagonalizzando la matrice \(M\), con procedure standard.
Di fatto, visti i dati iniziali, ci interessa solo la prima colonna di \(M\), che ci fornisce (salvo errori di calcolo e/o trascrizione)
\[
\begin{cases}
A_n = 1-\frac{1}{\sqrt{5}} \left(\frac{5-\sqrt{5}}{2}\right)^n,\\
B_n = -1 + \frac{5-\sqrt{5}}{10} \left(\frac{5+\sqrt{5}}{2}\right)^n + \frac{5+\sqrt{5}}{10} \left(\frac{5-\sqrt{5}}{2}\right)^n,\\
C_n = -\frac{1}{\sqrt{5}} \left(\frac{5-\sqrt{5}}{2}\right)^n + \frac{1}{\sqrt{5}} \left(\frac{5+\sqrt{5}}{2}\right)^n\,.
\end{cases}
\]
Adesso non rimane che fare qualche semplificazione

[Quinzio]

Per semplificare ci viene in aiuto Fibonacci:
infatti può essere utile sapere che

[tex]F\left(n\right) = \frac{\phi^n}{\sqrt{5}} - \frac{(1-\phi)^n}{\sqrt{5}} = \frac{\phi^n - (-\phi)^{-n}}{\sqrt{5}}[/tex]

con

[tex]\phi = {1+\sqrt 5 \over 2}[/tex]