[EX] - Disuguaglianza di Bonse
Esercizio. Detto \(p_n\) l'\(n\)-esimo numero primo, provare la seguente disuguaglianza di Bonse: \[p_{n+1}^2 < \prod_{i=1}^n p_i \qquad [1] \]per \(n>3\).
Risposte
Dopo che mi sono iscritto a scimat, frullando per quel forum ho trovato un thread con la dimostrazione che cerchi di questo fatto (molto interessante).
Trattandosi di una sezione in cui si richiede lo scervellamento personale, lascio ad altri la risposta in quanto la mia non sarebbe frutto di tale scervellamento (mi ricordo abbastanza l'altra dimostrazione).
Trattandosi di una sezione in cui si richiede lo scervellamento personale, lascio ad altri la risposta in quanto la mia non sarebbe frutto di tale scervellamento (mi ricordo abbastanza l'altra dimostrazione).
Premessa: la differenza tra $p_i$ e $p_(i+1)$ è $<=p_i$.
Iniziamo considerando il prodotto dei cinque primi antecedenti a $p$: essi sono al minimo (potrebbero essere anche più grandi) $p/2$,$p/4$,$p/8$,$p/16$ e $p/32$. Il loro prodotto vale $p^5/32768$, guardiamo quando è $>p^2$ e troviamo per $p>32$.
Verifichiamo per $p<32$ e troviamo che è sempre valida se $p_i!=7$.
Conclusione se $p_i!=7$, allora $p_n^2<\prod_{i=1}^{n-1} p_i$
CVD
Iniziamo considerando il prodotto dei cinque primi antecedenti a $p$: essi sono al minimo (potrebbero essere anche più grandi) $p/2$,$p/4$,$p/8$,$p/16$ e $p/32$. Il loro prodotto vale $p^5/32768$, guardiamo quando è $>p^2$ e troviamo per $p>32$.
Verifichiamo per $p<32$ e troviamo che è sempre valida se $p_i!=7$.
Conclusione se $p_i!=7$, allora $p_n^2<\prod_{i=1}^{n-1} p_i$
CVD
Posto la mia soluzione, per induzione su \(n\).
Base induttiva. Se \(n=4\) si ha che \(11^2 = 121 < 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210\).
Ipotesi induttiva. Suppongo vera la \([1]\).
Passo induttivo. Voglio provare che vale \[p_{n+2} ^2 < \prod_{i=1}^{n+1} p_i \]
Usando il "cannone" citato qui (postulato - ora teorema - di Bertrand), si ha che certamente \(p_{n+1} < p_{n+2} < 2p_{n+1} \) e quindi \(p_{n+2} ^2 < 2p_{n+1} p_{n+2} < 4p_{n+1} ^2 < p_{n+1} ^3 \). Ma per ipotesi induttiva vale certamente \[p_{n+2} ^2 < p_{n+1} ^3< \prod_{i=1}^{n+1} p_i \qquad \]donde la tesi.
Base induttiva. Se \(n=4\) si ha che \(11^2 = 121 < 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210\).
Ipotesi induttiva. Suppongo vera la \([1]\).
Passo induttivo. Voglio provare che vale \[p_{n+2} ^2 < \prod_{i=1}^{n+1} p_i \]
Usando il "cannone" citato qui (postulato - ora teorema - di Bertrand), si ha che certamente \(p_{n+1} < p_{n+2} < 2p_{n+1} \) e quindi \(p_{n+2} ^2 < 2p_{n+1} p_{n+2} < 4p_{n+1} ^2 < p_{n+1} ^3 \). Ma per ipotesi induttiva vale certamente \[p_{n+2} ^2 < p_{n+1} ^3< \prod_{i=1}^{n+1} p_i \qquad \]donde la tesi.
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