Sns 2006-2007 n 3
Buona sera a tutti!
Con questo bel caldo mi ero appunto rinchiuso in garage per tenere in moto la mente al fresco!
Vi sottopongo questo quesito, tanto per vedere se ogni tanto riescono anche a me
Si consideri l'espressione:
$4^x + 4^y + 4^z $
Con x,y,z numeri interi non negativi.
-provare che la quantità sopra scritta è un quadrato perfetto per infinite terne di numeri (x,y,z)
-determinare tutte le terne di numeri non negativi (x,y,z) tali che la quantità sopra sia un quadrato perfetto.
Vi illustro il mio ardito ( ehehe ) ragionamento:
Innanzitutto x,y,z non possono essere uguali tra loro, e la spiegazione è evidente.
Per il resto la soluzione che ho trovato è questa...
Prendo x come il più piccolo tra i 3 numeri, tanto è indifferente no?
Quindi
$ y=x+a$
$z=x+b$
Raccolgo quindi $4^x$ e scrivo :
$4^x(1+4^a+4^b)$
il numero sopra ( è evidente ) è quadrato perfetto solo se anche la espressione tra parentesi è un quadrato perfetto...
ora ho pensato di scrivere $4^b=(2^b)^2$.
conoscendo poi l'identità: $(1+2^b)^2=1+4^b+2*2^b$
deduciamo che la quantità $(1+4^a+4^b)$ è un quadrato perfetto se e solo se
$2*2^b=4^a$ cioè se $b+1=2a$
le terne che ci interessano sono quindi (x;x+a;x+2a-1) a diverso da zero
Va bene dite voi?
Con questo bel caldo mi ero appunto rinchiuso in garage per tenere in moto la mente al fresco!
Vi sottopongo questo quesito, tanto per vedere se ogni tanto riescono anche a me
Si consideri l'espressione:
$4^x + 4^y + 4^z $
Con x,y,z numeri interi non negativi.
-provare che la quantità sopra scritta è un quadrato perfetto per infinite terne di numeri (x,y,z)
-determinare tutte le terne di numeri non negativi (x,y,z) tali che la quantità sopra sia un quadrato perfetto.
Vi illustro il mio ardito ( ehehe ) ragionamento:
Innanzitutto x,y,z non possono essere uguali tra loro, e la spiegazione è evidente.
Per il resto la soluzione che ho trovato è questa...
Prendo x come il più piccolo tra i 3 numeri, tanto è indifferente no?
Quindi
$ y=x+a$
$z=x+b$
Raccolgo quindi $4^x$ e scrivo :
$4^x(1+4^a+4^b)$
il numero sopra ( è evidente ) è quadrato perfetto solo se anche la espressione tra parentesi è un quadrato perfetto...
ora ho pensato di scrivere $4^b=(2^b)^2$.
conoscendo poi l'identità: $(1+2^b)^2=1+4^b+2*2^b$
deduciamo che la quantità $(1+4^a+4^b)$ è un quadrato perfetto se e solo se
$2*2^b=4^a$ cioè se $b+1=2a$
le terne che ci interessano sono quindi (x;x+a;x+2a-1) a diverso da zero
Va bene dite voi?
Risposte
Buona sera anche a te : )
Oppure è il caldo?
"NoRe":veramente hai dimostrato il se: ti manca il solo se!
...deduciamo che la quantità $ (1+4^a+4^b) $ è un quadrato perfetto se e solo se...
Oppure è il caldo?
"j18eos":veramente hai dimostrato il se: ti manca il solo se!
Buona sera anche ate : )[quote="NoRe"]...deduciamo che la quantità $ (1+4^a+4^b) $ è un quadrato perfetto se e solo se...
Oppure è il caldo?[/quote]
Beh, forse hai ragione! Devo rifletterci su
Per il resto, credo che per la soluzione del problema basti il se, o sbaglio?
Edit: credo sia necessario il se e solo se, altrimenti non ci sono tutte le terne!
A dire il vero avevo dei dubbi, su quel se e solo se, ma poi ho lasciato correre, magari non se ne accorgeva nessuno
Meglio che mi ci hai fatto tornare su!
Il solo se è abbastanza facile, da come hai ragionato ci puoi arrivare...
Ma non è che questo è un problema di ammissione al I anno?
Ma non è che questo è un problema di ammissione al I anno?
"j18eos":
Il solo se è abbastanza facile, da come hai ragionato ci puoi arrivare...
Ma non è che questo è un problema di ammissione al I anno?
Essi, credo d si, perchè?
Il solo se come lo dimostrò?
Edit: no vabbe è facile, devo solo riformulare
Edit: no vabbe è facile, devo solo riformulare
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