Sulla Teoria delle Distribuzioni
Voglio proporre un esercizio sulla Teoria delle Distribuzioni. Possiedo la soluzione dei primi due punti, ma non dell'ultima domanda (e non sono sicuro che esista una caratterizzazione semplice e pulita come per le prime due domande).
Ricordo che se \( T \in \mathcal D^{\prime}(\mathbb R) \) è una distribuzione e $f \in C^{\infty}(\mathbb R)$ è una funzione liscia, si definisce il prodotto $fT$ (che risulta ancora essere una distribuzione) nel modo seguente:
\[
fT(\varphi) = T(f\varphi), \qquad \forall \varphi \in C_c^{\infty}(\mathbb R).
\]
Esercizio.
(1) (easy) Caratterizzare tutte le distribuzioni $T$ tali che $xT=0$ (i.e., è la distribuzione nulla); più precisamente, provare che
\[
xT=0 \Leftrightarrow T=\alpha \delta_0, \alpha \in \mathbb R
\]
dove $\delta_0$ è la Delta di Dirac centrata in $0$.
(2) Caratterizzare le distribuzioni $T$ tali che $xT=1$, dove per $1$ si intende la distribuzione associata alla funzione identicamente $1$ (che è localmente integrabile).
(3) Fissato un arbitrario numero reale $r \in \mathbb R$, si possono caratterizzare le distribuzioni $T$ tali che $xT=r$? E che dire invece delle distribuzioni $T$ tali che $x^{\alpha}T=r$, per $\alpha>0$ fissato?
Ricordo che se \( T \in \mathcal D^{\prime}(\mathbb R) \) è una distribuzione e $f \in C^{\infty}(\mathbb R)$ è una funzione liscia, si definisce il prodotto $fT$ (che risulta ancora essere una distribuzione) nel modo seguente:
\[
fT(\varphi) = T(f\varphi), \qquad \forall \varphi \in C_c^{\infty}(\mathbb R).
\]
Esercizio.
(1) (easy) Caratterizzare tutte le distribuzioni $T$ tali che $xT=0$ (i.e., è la distribuzione nulla); più precisamente, provare che
\[
xT=0 \Leftrightarrow T=\alpha \delta_0, \alpha \in \mathbb R
\]
dove $\delta_0$ è la Delta di Dirac centrata in $0$.
(2) Caratterizzare le distribuzioni $T$ tali che $xT=1$, dove per $1$ si intende la distribuzione associata alla funzione identicamente $1$ (che è localmente integrabile).
(3) Fissato un arbitrario numero reale $r \in \mathbb R$, si possono caratterizzare le distribuzioni $T$ tali che $xT=r$? E che dire invece delle distribuzioni $T$ tali che $x^{\alpha}T=r$, per $\alpha>0$ fissato?
Risposte
Passavo da queste parti per caso, sarà passato un anno dall'ultima volta...
Riguardo al punto 3 mi pare che la prima domanda sia analoga a quella del punto 2 (che differenza c'è tra la costante $1$ e la costante $r$ ?- diversa da zero beninteso ). Per quanto riguarda l'ultimo punto direi che c'è un problema preliminare. Se $\alpha$ non è intero la funzione $x^\alpha$ non è "smooth"…
Invece se $k$ è intero puoi dimostrare che le soluzioni di $x^kT=0$ sono espresse, tutte e sole, da
$T=c_0\delta_0+c_1\delta_0'+...+ c_{k-1}\delta_0^{(k-1)}$
al variare delle costanti. $c_0,...,c_{k-1}$.
Per considerare poi $x^kT=1$ devi definire opportunamente un "valore principale" di $1/x^k$ (per esempio derivando $k+1$ volte $ln|x|$) è poi aggiungere tutte le soluzioni dell'omogenea.
Riguardo al punto 3 mi pare che la prima domanda sia analoga a quella del punto 2 (che differenza c'è tra la costante $1$ e la costante $r$ ?- diversa da zero beninteso ). Per quanto riguarda l'ultimo punto direi che c'è un problema preliminare. Se $\alpha$ non è intero la funzione $x^\alpha$ non è "smooth"…
Invece se $k$ è intero puoi dimostrare che le soluzioni di $x^kT=0$ sono espresse, tutte e sole, da
$T=c_0\delta_0+c_1\delta_0'+...+ c_{k-1}\delta_0^{(k-1)}$
al variare delle costanti. $c_0,...,c_{k-1}$.
Per considerare poi $x^kT=1$ devi definire opportunamente un "valore principale" di $1/x^k$ (per esempio derivando $k+1$ volte $ln|x|$) è poi aggiungere tutte le soluzioni dell'omogenea.
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