Calcolo polinomiale

[Sk_Anonymous]

Si considerino i polinomi :
$P(x)=x^6-x^5-x^3-x^2-x$
$Q(x)=x^4-x^3-x^2-1$
e siano $z_1,z_2,z_3,z_4$ le radici di Q(x) .
Calcolare il valore dell'espressione :
$P(z_1)+P(z_2)+P(z_3)+P(z_4)$
[ot]Il risultato è $6$.[/ot]

[Zero87]

"ciromario":Si considerino i polinomi :
$P(x)=x^6-x^5-x^3-x^2-x$
$Q(x)=x^4-x^3-x^2-1$
e siano $z_1,z_2,z_3,z_4$ le radici di Q(x) .
Calcolare il valore dell'espressione :
$P(z_1)+P(z_2)+P(z_3)+P(z_4)$
[ot]Il risultato è $6$.[/ot]

Verameeente un bel problema e la cosa strana è che l'ho risolto!

La chiave è osservare che
$P(x)=x^6-x^5-x^3-x^2-x=x^6-x^5-x^4+x^4-x^3-x^2-x=$
$=(x^6-x^5-x^4-x^2)+x^4-x^3-x^2+x^2-x-1+1=$
$=x^2(x^4-x^3-x^2-1)+(x^4-x^3-x^2-1)+x^2-x+1=(x^2+1)Q(x)+x^2-x+1$

A questo punto, abbiamo dunque che per ogni $z_j$, zero di $Q(x)$
$P(z_j)=z_j^2-z_j+1$
per ovvi motivi.

Dunque
$P(z_1)+P(z_2)+P(z_3)+P(z_4)=(z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2)+(-z_1-z_2-z_3-z_4)+1+1+1+1=$
poiché la somma delle radici in un polinomio di grado $n$ è il coefficiente del termine $x^(n-1)$ cambiato di segno, otteniamo
$=(z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2)-1+1+1+1+1=(z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2)+3=1+2+3=6$
Il risultato segue da questo fatto interessante.

[Paolo902]

Un appunto per zero87:

"Zero87":
La chiave è osservare che
$P(x)=x^6-x^5-x^3-x^2-x=x^6-x^5-x^4+x^4-x^3-x^2-x=$
$=(x^6-x^5-x^4-x^2)+x^4-x^3-x^2+x^2-x-1+1=$
$=x^2(x^4-x^3-x^2-1)+(x^4-x^3-x^2-1)+x^2-x+1=(x^2+1)Q(x)+x^2-x+1$

Ma non era più semplice fare la divisione tra polinomi (come ce la facevano fare alle superiori)?

[Zero87]

Una risposta @Paolo90 (che non spoilerizzo perché non svelo soluzioni o procedimenti per il problema).

Non ci avevo pensato: è anche l'abitudine alle superiori di operare raggruppamenti ad hoc quando ad occhio si vede qualcosa.

[Sk_Anonymous]

I raggruppamenti effettuati da Zero87 sono evidentemente equivalenti alla divisione. Alla fine si può dire che Zero87 ha reinventato la divisione tra polinomi...Non male !