$a^7+b^7=7^c$
Buongiorno a tutti! Scrivo su questo sito per tentare di capire una cosa, recentemente ho provato ad affrontare questo problema:
Trovare tutti i numeri che soddisfano quest'equazione $a^7+b^7=7^c$,dove a b e c sono numeri interi.So già che non esistono e per dimostrarlo ho pensato a questo ragionamento, si riscrive la formula così $a^7=b^7((7^(c/7)/b)^7-1)^(1/7)$, e si vede che c deve essere un multiplo di 7 da cui $ a^7+b^7=(7^n)^7$, che è impossibile per il teorema di Fermat. Pensate sia un ragionamento valido? Grazie mille in anticipo
Trovare tutti i numeri che soddisfano quest'equazione $a^7+b^7=7^c$,dove a b e c sono numeri interi.So già che non esistono e per dimostrarlo ho pensato a questo ragionamento, si riscrive la formula così $a^7=b^7((7^(c/7)/b)^7-1)^(1/7)$, e si vede che c deve essere un multiplo di 7 da cui $ a^7+b^7=(7^n)^7$, che è impossibile per il teorema di Fermat. Pensate sia un ragionamento valido? Grazie mille in anticipo
Risposte
Ovviamente quando ho detto che non esistono soluzioni stavo omettendo 1 e 0. Scusate l'imprecisione 
Sono abbastanza sicuro che questo quesito sia stato postato non tanto tempo fa, ma non riesco a trovarlo 
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Immagino quindi che la mia non sia una risposta valida, giusto?
Ah, non ne ho idea ... 
Volevo solo dire che una discussione c'è già stata e questo poteva esserti d'aiuto ... però il sistema di ricerca non funziona bene con le formule ... qualcuno sa come si cercano le formule nei thread?
Volevo solo dire che una discussione c'è già stata e questo poteva esserti d'aiuto ... però il sistema di ricerca non funziona bene con le formule ... qualcuno sa come si cercano le formule nei thread?
Mi sa che c'è un errore di calcolo!
Risulta:
\[
a^7+b^7=7^c\\
a^7=7^c-b^7\\
a^7=b^7\left(\frac{7^c}{b^7}-1\right)
\]
dove abbiamo esplicitamente escluso le soluzioni "banali" \(\displaystyle(a,b,c)\in\{(0,7,7),(7,0,7)\}\); trattandosi di un'equazione diofantea, sono \(\displaystyle a,b,c\in\mathbb{Z}\), quindi è da imporsi che:
\begin{equation*}
\frac{7^c}{b^7}-1\in\mathbb{Z}\iff\frac{7^c}{b^7}\in\mathbb{Z}
\end{equation*}
ovvero
\begin{equation*}
\exists k\in\mathbb{Z}\mid 7^c=kb^7\iff\exists n,m\in\mathbb{Z}_{\geq0}\mid b=7^n,k=7^m\Rightarrow c=7n+m.
\end{equation*}
L'equazione diventa così:
\begin{equation*}
a^7=7^{7n}(7^m-1)
\end{equation*}
da cui si hanno i vincoli \(\displaystyle\sqrt[7]{7^m-1}\in\mathbb{Z},m\in\mathbb{Z}_{>0}\), ovvero:
\begin{equation*}
\exists p\in\mathbb{Z}_{>0}\mid 7^m=p^7+1\Rightarrow 7^m=(p+1)(p^6-p^5+\dots-p+1).
\end{equation*}
Essendo \(\displaystyle 7\) un numero primo, si ha che dev'essere \(\displaystyle p=6\), da cui:
\[
7^m=6^7+1\\
7^m=2^73^7+1\\
7^m=128\cdot 3^{2\cdot 3+1}+1\\
7^m=128\cdot 9^33+1\\
7^m=128\cdot 729\cdot 3+1
7^m=279937;
\]
applico il criterio di divisibilità per \(\displaystyle7\):
\[
27993+5\cdot 7=28028\\
28008=7\cdot4004\\
7^m=7\cdot39991\\
3999+5\cdot1=4004\\
400+5\cdot4=420\\
420=7\cdot60\\
7^m=7^25713\\
571+5\cdot3=586\\
58+5\cdot6=88
\]
ed \(\displaystyle 88\) non è divisibile per \(\displaystyle7\), quindi \(\displaystyle5713\) non è divisibile per \(\displaystyle7\); e perciò \(\displaystyle279937\) non è una potenza di \(\displaystyle7\), ottenendo così un assurdo.
Allora, se \(\displaystyle c\in\mathbb{Z}_{>0}\), dev'essere \(\displaystyle a\) o \(\displaystyle b\) eguale a \(\displaystyle0\)!
Se \(\displaystyle c=0\), per l'Ultimo Teorema di Fermat si ha che \(\displaystyle(a,b)\in\{(1,0),(0,1)\}\); queste sono tutte e sole le soluzioni che cercavi, ovvero
\begin{equation*}
(a,b,c)\in\{(7,0,7),(0,7,7),(1,0,0),(0,1,0)\}.
\end{equation*}
Risulta:
\[
a^7+b^7=7^c\\
a^7=7^c-b^7\\
a^7=b^7\left(\frac{7^c}{b^7}-1\right)
\]
dove abbiamo esplicitamente escluso le soluzioni "banali" \(\displaystyle(a,b,c)\in\{(0,7,7),(7,0,7)\}\); trattandosi di un'equazione diofantea, sono \(\displaystyle a,b,c\in\mathbb{Z}\), quindi è da imporsi che:
\begin{equation*}
\frac{7^c}{b^7}-1\in\mathbb{Z}\iff\frac{7^c}{b^7}\in\mathbb{Z}
\end{equation*}
ovvero
\begin{equation*}
\exists k\in\mathbb{Z}\mid 7^c=kb^7\iff\exists n,m\in\mathbb{Z}_{\geq0}\mid b=7^n,k=7^m\Rightarrow c=7n+m.
\end{equation*}
L'equazione diventa così:
\begin{equation*}
a^7=7^{7n}(7^m-1)
\end{equation*}
da cui si hanno i vincoli \(\displaystyle\sqrt[7]{7^m-1}\in\mathbb{Z},m\in\mathbb{Z}_{>0}\), ovvero:
\begin{equation*}
\exists p\in\mathbb{Z}_{>0}\mid 7^m=p^7+1\Rightarrow 7^m=(p+1)(p^6-p^5+\dots-p+1).
\end{equation*}
Essendo \(\displaystyle 7\) un numero primo, si ha che dev'essere \(\displaystyle p=6\), da cui:
\[
7^m=6^7+1\\
7^m=2^73^7+1\\
7^m=128\cdot 3^{2\cdot 3+1}+1\\
7^m=128\cdot 9^33+1\\
7^m=128\cdot 729\cdot 3+1
7^m=279937;
\]
applico il criterio di divisibilità per \(\displaystyle7\):
\[
27993+5\cdot 7=28028\\
28008=7\cdot4004\\
7^m=7\cdot39991\\
3999+5\cdot1=4004\\
400+5\cdot4=420\\
420=7\cdot60\\
7^m=7^25713\\
571+5\cdot3=586\\
58+5\cdot6=88
\]
ed \(\displaystyle 88\) non è divisibile per \(\displaystyle7\), quindi \(\displaystyle5713\) non è divisibile per \(\displaystyle7\); e perciò \(\displaystyle279937\) non è una potenza di \(\displaystyle7\), ottenendo così un assurdo.
Allora, se \(\displaystyle c\in\mathbb{Z}_{>0}\), dev'essere \(\displaystyle a\) o \(\displaystyle b\) eguale a \(\displaystyle0\)!
Se \(\displaystyle c=0\), per l'Ultimo Teorema di Fermat si ha che \(\displaystyle(a,b)\in\{(1,0),(0,1)\}\); queste sono tutte e sole le soluzioni che cercavi, ovvero
\begin{equation*}
(a,b,c)\in\{(7,0,7),(0,7,7),(1,0,0),(0,1,0)\}.
\end{equation*}
"j18eos":Non mi pare. Il numero [tex]\frac{a^7}{b^7} = \frac{7^c}{b^7}-1[/tex] è razionale, non necessariamente intero. Cosa mi sto perdendo?
Mi sa che c'è un errore di calcolo!
Risulta:
\[
a^7+b^7=7^c\\
a^7=7^c-b^7\\
a^7=b^7\left(\frac{7^c}{b^7}-1\right)
\]
dove abbiamo esplicitamente escluso le soluzioni "banali" \(\displaystyle(a,b,c)\in\{(0,7,7),(7,0,7)\}\); trattandosi di un'equazione diofantea, sono \(\displaystyle a,b,c\in\mathbb{Z}\), quindi è da imporsi che:
\begin{equation*}
\frac{7^c}{b^7}-1\in\mathbb{Z}\iff\frac{7^c}{b^7}\in\mathbb{Z}
\end{equation*}
"Martino":Più che perdere, sono io che ho aggiunto un'ipotesi (senza volerlo), ovvero che \(\displaystyle b^7\) divida (in \(\displaystyle\mathbb{Z}\)) \(\displaystyle a^7\)!
... Cosa mi sto perdendo?
Scusate la seconda imprecisione, quello che volevo dire è che a, b e c devono essere interi e che la formula può essere riscritta come $a=b((7^(c/7)/b)^7-1)^(1/7)$ , a questo punto, dovendo appunto essere a intero, capiamo che il secondo termine della moltiplicazione che da per risultato a dovrà essere intero e che quindi anche $7^(c/7)/b$ sarà intero, da cui c multiplo di 7. Così facendo si dimostra per il teorema di Fermat che non è possibile. Pensate sia ancora sbagliato?
"Alessandro Preti":No, se dividi per $b$ trovi che il secondo termine a destra è uguale a $a/b$ che in generale non è intero. In altre parole nel tuo ragionamento stai supponendo senza validi motivi che $b$ divida $a$.
a, b e c devono essere interi e che la formula può essere riscritta come $a=b((7^(c/7)/b)^7-1)^(1/7)$ , a questo punto, dovendo appunto essere a intero, capiamo che il secondo termine della moltiplicazione che da per risultato a dovrà essere intero
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