Limite interessante

[nine98100]

Salve a tutti, è la prima volta che scrivo in questa sezione , propongo il seguente limite (nella speranza che qualcuno non lo abbia già postato): $ lim_(x->0^+)x^(x^x-1) $ , penso che molti di voi potrebbero trovarlo facile però secondo me ha uno svolgimento interessante... Buon divertimento P.S. Il risultato è nello spoiler:

$ lim_(x->0^+)x^(x^x-1)=1 $

[anto_zoolander]

$lim_(x->0^+)exp((x^x-1)lnx)=lim_(x->0^+)exp((exp(xlnx)-1)lnx)$

Ora $exp(xlnx)-1$ significa $e^(xlnx)-1$. Adesso permettimi di usare $approx$ come equivalenza asintotica, mi manca la tilde.

$e^(xlnx)-1approxxlnx$ per $x->0^+$

$lim_(x->0^+)exp(xln^2x)=lim_(x->0^+)exp(ln^2x/(1/x))=[exp((+infty)/(+infty))]$

Ora per il teorema del limite di funzioni composte, si può dire che è vero:

$exp(lim_(x->0^+)(ln^2x)/(1/x))$

Diamo quindi un bel colpo di Hôpital.

$exp(lim_(x->0^+)(2lnx*1/x)/(-1/x^2))=exp(lim_(x->0^+)-2xlnx)=e^0=1$

[nine98100]

Perfetto ... in alternativa si poteva usare il limite notevole $ lim_(x->0)(e^x-1)/x=1 $ applicato ad $e^(xlnx)-1$ però con le equivalenze asintotiche si fa prima...

[anto_zoolander]

Se guardi è quello che ho fatto, anche

[nine98100]

"anto_zoolander":Se guardi è quello che ho fatto, anche

Eh infatti