[Topologia] Calcolo gruppo fondamentale

[dan952]

Calcolare il gruppo fondamentale dello spazio topologico delle matrici reali 3x3 di rango 1.

[dan952]

Metto la mia soluzione casomai qualcuno gli venisse un'idea:

Sia $X={A \in RR^{3 \times 3}| rk(A)=1}$. Consideriamo il rivestimento $p: E \mapsto X$ di spazio base $E=S^2 \times RR^3-{O}$ che associa ad $(s,x)$ con $x-=(x_1,x_2,x_3)$ e $s-=(s_1,s_2,s_3)$ la matrice $((x_1s),(x_2s),(x_3s))$. Poiché $E$ è connesso, in particolare è semplicemente connesso, il rivestimento $p$ è connesso e quindi (applicando un teorema) sia $e \in E$ e $A=p(e)$ si ha che essendo $E$ semplicemente connesso $p_{\ast}\pi_1(E,e)=0$ è il sottogruppo banale di $\pi_1(X,A)$ che ammette $|p^{-1}(A)|$ laterali destri in $\pi_1(X,A)$. Le fibre hanno tutte la stessa cardinalità, nel nostro caso 2, dunque esistono due laterali destri cioè $\pi_1(X,A)$ ha esattamente due elementi.

[Oznerol.92]

Le fibre hanno cardinalità $ 2 $! Infatti
$p(s,x)=p(-s,-x)$

[dan952]

Grazie della correzione/osservazione.