Dimostrazione geometrica dell'irrazionalità di $e$

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dan952
dan952
2 lug 2016, 13:42
La breve dimostrazione geometrica che sto per farvi vedere è stata tradotta dall'articolo [url=https://www.google.it/url?sa=t&source=web&rct=j&url=http://arxiv.org/pdf/0704.1282&ved=0ahUKEwj_j77cxNTNAhVM7BQKHZtwC-cQFggbMAA&usg=AFQjCNFILZ0cMuK63H4N-noeugi-eZwqPQ&sig2=ZqjAi5hgUsC77Wz94Z3w8g]A geometric proof that $ e $ is irrational and a new measure of its irrationality[/url] di J. Sondow.

Consideriamo l'intervallo chiuso $I_1=[2,3]$, costruiamo quindi una successione di intervalli come segue:
1) $I_{n-1}$ viene diviso in $n$ sottointervalli chiusi uguali, esempio $I_1=[2,3]=[2,5/2] uu [5/2,3]$.
2) Si prende il secondo di questi sottointervalli e si procede come nel punto 1).

Mostriamo che ${e}=nn I_n$. Chiaramente $\cdots sub I_n sub \cdots sub I_2 sub I_1$ sono tutti limitati dunque la loro intersezione è non vuota, inoltre ogni intervallo $I_n$ è del tipo $[\frac{a}{n!},\frac{a}{n!}+\frac{1}{n!}]$ per un opportuno $a$, basta poco a convincersi che l'ascissa del punto di intersezione è data dalla somma $2+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots=2+\sum_{j=2}^{+\infty}m(I_j)=2+\sum_{k=2}^{+\infty}\frac{1}{k!}=e$, dove $m(•)$ è la misura di Peano -Jordan.

Dunque $e \in I_n$ per ogni $n \geq 1$, in particolare $\frac{a(n)}{n!}
Risposte
j18eos
j18eos
5 lug 2016, 17:59
"dan95":
... Chiaramente $\cdots sub I_n sub \cdots sub I_2 sub I_1$ sono tutti limitati dunque la loro intersezione è non vuota...
Scritta così non basta: si usa anche la proprietà (topologica) che tali intervalli siano chiusi! ;)
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