Pensare un po' di più
Spazio dedicato a problemi che vanno al di là dei semplici temi d'esame o degli esercizi standard.
Domande e risposte
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"Dimostrare che, per ogni intero positivo $n$, il numero $N=n^2+1$ non è divisibile per 3.
Facoltativo: dire per quali interi positivi $s$ esistono interi $n$ tali che $n^s+1$ è divisibile per 3".
Ho dimostrato la prima parte attraverso il principio di induzione:
per $n=1$, $N=2$ che non è divisibile per 3.
Per $n+1$, si ha $N=(n+1)^2+1=n^2+2n+1+1=(n^2+1) + (2n+1)$
La prima parentesi per ipotesi induttiva è non ...
Ciao ragazzi, questo è il mio primo post e spero che sia nella sezione giusta
Il mio dubbio riguarda il rotore di campi vettoriali, mi spiego meglio, vorrei sapere se dato
$F: A\subset R^3\rightarrow R^3$ ; almeno $C^1$ su $A$ esistono soluzioni all'equzione $rotF=F$,in altre parole se esiste una funzione uguale al suo rotore. Al'inizio ho provato a risolvere direttamente il sistema alle derivate parziali direttamente, ma ho lasciato perdere quasi subito, ho anche cercato ...
Abbiamo un polinomio monico a coefficienti reali di grado $n$ che possiede $n$ radici tutte reali:
$x^n + a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+....+a_1 x + a_0 $
Dimostrare che tutte queste radici si trovano all'interno dell'intervallo di estremi:
$-a_{n-1}/n \pm (n-1)/n \sqrt{a_{n-1}^2 - (2n)/(n-1)a_{n-2}}$
Hint: Io ho usato: Formule di Viète, barbatrucchi algebrici e Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz
Ripasso da questo forum dopo molto tempo e colgo quindi l'occasione di salutare tutti.
Mi è venuta in mente la seguente questione (che una volta avrei cercato di risolvere da solo, ma tant'è...).
Sarà mica vero che ogni insieme di misura nulla è contenuto nell'unione numerabile di insiemi chiusi di misura nulla? Cioè
$$m^*(E)=0\Leftrightarrow \mbox{ esiste una famiglia numerabile }\left(C_n\right)_{n=1}^\infty\mbox{ con }C_n\mbox{ chiusi },m^*(C_n)=0\mbox{ e ...
Esercizio. Sia \(K \subseteq \mathbb{R}\) un insieme chiuso e consideriamo l'insieme di funzioni \[X=\{f \in L^2([0,1]) \, : \, f(x) \in K \text{ per q.o. } x \in K \}. \]
1. Provare che \(X\) è chiuso in \(L^2([0,1])\) per la convergenza forte.
2. Sia ora \(K \subseteq \mathbb{R}\) un intervallo chiuso. Provare che \(X\) è chiuso per la convergenza debole di \(L^2([0,1])\).
Credo di avere una soluzione per 1, mentre non ho ancora provato a fare 2. Divertitevi.
Sia $\gamma$ la curva (la forma è questa: $ \infty$) nel piano $xy$ descritta dall'equazione:
$(x^2+y^2)^2=x^2-y^2$
1)trovare le intersezioni con l'asse x
2)trovare tutti i punti a tangente verticale e orizzontale
3)trovare le tangenti alla curva nel punto $(0,0)$
4)fornire un espressione esplicita del tipo y=f(x) per la curva
5)Calcolare l'area racchiusa dalla curva
6)ricavare l'espressione in coordinate polari della curva
Hard:
7)calcolare la lunghezza ...
Ciao a tutti, avrei un quesito da proporvi.
Premetto che ho finito l'universita da un po e quindi il formalismo non sara il massimo probabilmente, spero comunque che il problema sia ben posto, o per lo meno chiaro
Si trovi una curva nel piano ($\R^2$) soddisfacente le seguenti proprietà:
- che abbia inizio nel punto $A$
- che abbia fine nel punto $B$
- che abbia direzione $H_1$ nel punto $A$
- che abbia direzione ...
Buongiorno a tutti,
vorrei sottoporvi un tema che non riesco a risolvere.
Sto studiando l'implicazione materiale p -> q.
Dalla sua tabella di verità si evince che, nel caso in cui p=F e q=F, p->q è vera.
La applico allora alla seguente situazione:
p = f(x) derivabile
q= f(x) continua
Chiaramente p -> q.
Stando alla tabella di verità dovrebbe essere vera l'implicazione
se f(x) non è derivabile allora f(x) non è continua
Che però non è vera!
Dove sbaglio?
Grazie anticipate a chi vorrà aiutarmi
Ciao a tutti!
C'è una questione che trovo particolarmente interessante e di cui si è già parlato ampiamente nel forum qui.
Sia $X$ uno spazio topologico. Sia $A = C(X)$ l'anello delle funzioni continue $X to RR$ dove in $RR$ c'è la topologia usuale e le operazioni sono definite puntualmente. Si tratta di un anello commutativo con unità.
Sia $Y = \mbox{Specmax}(A)$ l'insieme degli ideali massimali di $A$. Se ...
Sia $f: D \mapsto RR$ una funzione continua definita in $D \sube RR$. L'insieme $F_f={\varphi : D \mapsto D\ biunivoca |\ f(\varphi(x))=f(x)}$ con l'operazione di composizione di funzioni $\ast$ formano un gruppo $G_f=(F_f,\ast)$.
1) Associatività: ereditata
2) Elemento neutro: $Id_D$
3) Inversa: per biiettività
Esempio:
$f(x)=\sin(x)$
$F_{\sin(x)}={x+2\pi n, n \in ZZ}$
$G_{\sin(x)} \cong ZZ$
Ciao!
Vi propongo alcuni risultati sugli ultrafiltri con alcune interpretazioni algebriche (che spero siano abbastanza eloquenti sull'applicabilità della geometria algebrica moderna, che nasce col concetto di spettro di un anello). Alcune fonti: uno, due, tre, tre e mezzo e ultrafiltri. Ricordo anche quattro. Penso che aggiungerò cose, e mi scuso per eventuali imprecisioni. Vi propongo di dimostrare i lemmi e le proposizioni che ...
spero di non essere troppo fuori OT, ma sono fiducioso negli elementi del forum!
sto facendo degli studi sull'insonorizzazione di un locale e devo fissare al muro con dei chiodi un materiale fonoimpedente (una guaina bituminosa) e un materiale fonoisolante (pannelli di spugna). Ora mi chiedevo, ma i chiodi che mantengono questo sandwich potrebbero entrare in vibrazione a causa del suono prodotto dalle casse acustiche e propagare il tutto nella struttura dell edificio?
alcuni dati ...
Sia M la seguente matrice quadrata di formato 3 x 3:
| -39, -38, 62|
| -38, -24, 52| = M.
| -62, -52, 92|
Diciamo "radice quadrata di M" una matrice R di formato 3 x 3 tale che risulti R·R = M.
a) Quante sono le radici quadrate di M?
Una radice quadrata di M è la matrice seguente:
!-5, -6, 10|
|-6, -2, 8| = R1
|-10, -8, 16| [Controllare, prego!]
b) Scrivine qualcun'altra!
c) Spiega un procedimento per trovarle tutte.
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1)Calcolare il seguente integrale:
$\int_{0}^a \sqrt{(ax)/(a-x)} dx$
con a parametro reale
2)"Dati due punti materiali di massa uguale, posti a distanza d nel vuoto, che nell'istante iniziale abbiano velocità nulla rispetto alle stelle fisse, calcolare il tempo necessario alla collisione tra le due masse."
3) Risolvere il problema al punto 2) senza usare le equazioni differenziali
4)"Date due cariche puntiformi di massa uguale $M$ e cariche $q_{1}$ e $q_{2}$, poste nel ...
Problema:
1. Siano $N\geq 2$ un numero naturale ed $M\ge m>0$.
Provare che la disuguaglianza:
\[\tag{1}
\frac{1}{N} \left( x_1+\cdots + x_N\right)\cdot \frac{1}{N} \left( \frac{1}{x_1}+\cdots + \frac{1}{x_N}\right)\leq \frac{(m+M)^2}{4mM}
\]
vale per ogni possibile scelta di $x_1,\ldots ,x_N$ nell'intervallo $[m,M]$.
2. Siano $M\ge m>0$ ed $f:[a,b]\to ]0,+\infty[$ una funzione limitata ed integrabile secondo Riemann tale che $m\le f(x) \le M$ in $[a,b]$. In ...
Buondì! Immaginiamo di avere due punti nel piano A e B con $Ax<Bx$ e $Ay<By$, bisogna trovare la funzione che permetta ad un oggetto di arrivare da A a B nel minor tempo possibile considerando l'effetto della gravità. Questa è una variazione del problema Brachistochrone, nel quale $Ay>By$ ovvero la strada da A a B era in discesa, per questo motivo consideriamo che l'oggetto abbia velocità iniziale $v>sqrt(2gh)$.
Questo problema è nato da una mia domanda, che ...
Questo è il testo dell'esercizio, che io ho risolto, e di cui però non riesco a completare l'ultima parte.
"Determinare un punto P esterno ad una circonferenza data di centro O e raggio r, tale che la differenza fra la distanza OP e la lunghezza di uno dei due segmenti tangenti condotti da P alla circonferenza abbia valore assegnato K. Dire per quali valori di K il problema è risolubile."
Quello che ho fatto è: ho posto il sistema di riferimento con origine nel centro della circonferenza ...
Dimostrare che
$$\sum_{n \leq x} \log^2 n=x(\log^2 x-2\log x+2)+O(\log^2 x)$$
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