Disuguaglianza di Poincaré - caso \(N=1\)

[Sk_Anonymous]

Esercizio/problema. Data \(f \in \mathcal{C}^1_c(a,b)\), mostrare che vale \[ \|f \|_{L^p (a,b)} \le \frac{b-a}{p^{1/p}} \|f'\|_{L^p (a,b)} \] per \(p \in [1,\infty[\).

[Vincent46]

"Delirium":Esercizio/problema. Data \(f \in \mathcal{C}^1_c(a,b)\), mostrare che vale \[ \|f \|_{L^p (a,b)} \le \frac{b-a}{p^{1/p}} \|f'\|_{L^p (a,b)} \] per \(p \in [1,\infty[\).

Ci provo.

Abbiamo la seguente catena di uguaglianze e disuguaglianze:

\[
f(x)= \int_{a}^{x}f'(t) dt
\]
(perché $f$ è a supporto compatto)

\[
|f(x)|^p \leq \left( \int_{a}^{x} |f'(t)| dt \right)^p
\]

\[
\int_{a}^{b} |f(x)|^p dx \leq \int_{a}^{b} \left[ \left( \int_{a}^{x} |f'(t)| dt \right)^p \right] dx
\]

Ora, utilizzando la disuguaglianza di Holder,


\begin{align*}
\left( \int_{a}^{x} |f'(t)| dt \right) & = \lVert f' \rVert_{L^1} \\
& = \lVert 1*f' \rVert_{L^1} \\
& \leq \lVert 1 \rVert_{L^{\frac{p}{p-1}}} \lVert f' \rVert_{L^{p}} \\
& = (x-a)^{\frac{p-1}{p}} \left[ \int_{a}^{x} |f'(t)|^p dt \right]^{\frac{1}{p}}
\end{align*}

Quindi
\begin{align*}
\int_{a}^{b} |f(x)|^p dx & \leq \int_{a}^{b} (x-a)^{p-1} \left[ \int_{a}^{x} |f'(t)|^p dt \right] dx \\
& \leq \int_{a}^{b} (x-a)^{p-1} \left[ \int_{a}^{b} |f'(t)|^p dt \right] dx
\end{align*}

Integrando, si ha la tesi.

Mi è piaciuto come problema! Mi ha costretto ad acquisire un po' di familiarità con alcuni concetti che conoscevo solo superficialmente.

[Sk_Anonymous]

@Vincent46: è giusto. Faccio notare che le ipotesi si possono rilassare sensibilmente, assumendo soltanto \(f(a)=0\).

Rilancio. Siano \(\Omega \subseteq \mathbb{R}^N\) aperto con \( |\Omega | < \infty\) (misura di Lebesgue \(N\)-dimensionale finita) e \(p \in [1,\infty[\). Mostrare che \[ \|f \|_{L^p (\Omega)} \le C_1 (N,p)|\Omega|^{1/N} \| \nabla f \|_{L^p(\Omega)} \]per ogni \(f \in \mathcal{C}^1 _c(\Omega) \) (e quindi ogni \(f \in W^{1,p} _0 (\Omega) \)), ove \(C(N,p)\) è una costante positiva dipendente appunto da \(N\) e da \(p\).

Credo che senza hint(s) sia (troppo) difficile. Pertanto:

1. Considerare la disuguaglianza di Gagliardo: \(1 \le p < N\); allora esiste una costante \(C_2(N,p) > 0\) tale che \[ \|f \|_{L^{Np/(N-p)}(\mathbb{R}^N)} \le C_2(N,p) \|\nabla f \|_{L^p (\mathbb{R}^N)} \]per ogni \(f \in \mathcal{C}^1 _c(\mathbb{R}^N) \) (e quindi ogni \(f \in W^{1,p} (\mathbb{R}^N) \)).

2. Definire \( S(p) = Np/(N-p)\) e considerare separatamente i due casi \(p
3. Usare (in successione) Hölder e poi Gagliardo nel primo caso e Hölder, Gagliardo e ancora Hölder nel secondo.

La disuguaglianza di Poincaré è di fondamentale importanza in Teoria delle Funzioni per (almeno) un motivo: permette, insieme ad altri strumenti (tipo il teorema-cannone di rappresentazione di Riesz) di dimostrare esistenza e unicità della soluzione debole \(\in W^{1,2} _0 (\Omega)\) del problema di Poisson \[\begin{cases} - \Delta u = f & \text{in } \Omega \\ u_{| \partial \Omega} = 0 \end{cases} \] con \(\Omega \subseteq \mathbb{R}^N\) aperto, \(|\Omega| < \infty\) e \(f \in L^2 (\Omega)\). Se poi qualcuno è interessato posso espandere.

[Vincent46]

Innanzitutto notiamo che, essendo $f$ a supporto compatto, la norma $L^p(\Omega)$ coincide con la norma $L^p(\mathbb{R}^N)$, perciò da ora in poi ometteremo l'insieme tra parentesi.

Caso 1: $p \begin{align*}
\lVert f^p \rVert_{L^1} & = \lVert 1 \rVert_{L^{N/p}} \lVert f^p \rVert_{L^{\frac{N}{N-p}}} \\
& \leq |\Omega|^{\frac{p}{N}} \left[ \int_\Omega |f|^{\frac{Np}{N-p}} \right]^\frac{N-p}{N}
\end{align*}

Osserviamo che gli esponenti coniugati sono maggiori di $1$ per ipotesi.
Dunque, elevando entrambi i membri a $1/p$ e usando la disuguaglianza di Gagliardo,

\begin{align*}
\lVert f \rVert_{L^p} & \leq |\Omega|^{\frac{1}{N}} \lVert f \rVert_{L^{\frac{Np}{N-p}}} \\
& \leq |\Omega|^{\frac{1}{N}} \, C_2(N,p) \, \lVert \nabla f \rVert_{L^p}
\end{align*}

che è la tesi.

Caso 2: $p \geq N$.
Ragionamento euristico: se riuscissimo a scrivere, grazie a Gagliardo, per qualche $q$ positivo,

\[
\lVert f \rVert_{L^p} \leq C_2(N,p) \lVert \nabla f \rVert_{L^q},
\]
allora potremmo utilizzare, esattamente come sopra, la disuguaglianza di Holder per effettuare un'ulteriore maggiorazione, ovvero:
\[
C_2(N,p) \, \lVert \nabla f \rVert_{L^q} \leq C_2(N,p) \, |\Omega|^{\frac{1}{qa}} \, \lVert \nabla f \rVert_{L^{qb}}
\]
Dunque vogliamo che

\begin{cases}
qa &= N \\
qb &= p \\
a &= \frac{b}{b-1}
\end{cases}
e inoltre vogliamo che $a, b$ risultino maggiori di $1$. In effetti si trova
\begin{cases}
a& = \frac{N+p}{p} \\
b& = \frac{N+p}{N} \\
q & = \frac{Np}{N+p}
\end{cases}
che soddisfano le condizioni richieste. Dunque, scriviamo la disuguaglianza di Gagliardo, di cui però ancora non conosciamo l'esponente giusto da mettere al primo membro (che chiamiamo $x$):
\[
\lVert f \rVert_{L^x} \leq C_2(N,p) \lVert \nabla f \rVert _{L^q}
\]
e imponiamo $x=\frac{Nq}{N-q}$, da cui si trova proprio $x=p$. Ricapitolando, abbiamo le seguenti catene di disuguaglianze:

\begin{align*}
\lvert f \rVert_{L^p} & \leq C_2 \, \lVert \nabla f \rVert_{L^{\frac{Np}{N+p}}} \\
& \leq C_2 \, |\Omega|^{\frac{1}{N}} \, \lVert \nabla f \rVert_{L^p}
\end{align*}
che è la tesi.

Però, nel caso $2$, non mi torna una cosa: ho usato Holder una sola volta e non due, com'era invece suggerito.