[Curiosità] Criteri di divisibilità
Salve!
Oggi, leggendo un po' di post in questa sezione, sono incappato in un criterio di divisibiltà (quello del 7, precisamente) e leggendolo mi sono chiesto se i criteri di divisibilità fossero un qualcosa di "rigorosamente dimostrato" oppure no.
Faccio un esempio:
Il criterio di divisibilità del 7, e cito da wikipedia,
Come si può leggere per capire che un numero è divisibile per 7 si considera un numero non tanto come un numero, piuttosto come una stringa di caratteri numerici ( non so se mi sono spiegato ) e mi viene difficile pensare che una proprietà del genere possa essere dimostrata rigorosamente.
Sunto:
1) Ogni criterio di divisibilità è dimostrato/dimostrabile?
2) Come si "lavora" alla dimostrazione di un criterio che lavora più sulla posizione delle cifre che con le cifre stesse?
Grazie in anticipo.
Oggi, leggendo un po' di post in questa sezione, sono incappato in un criterio di divisibiltà (quello del 7, precisamente) e leggendolo mi sono chiesto se i criteri di divisibilità fossero un qualcosa di "rigorosamente dimostrato" oppure no.
Faccio un esempio:
Il criterio di divisibilità del 7, e cito da wikipedia,
"Wikipedia.org":
Un numero è divisibile per 7 se la somma tra il numero ottenuto escludendo la cifra delle unità (prenumero) e il quintuplo della cifra delle unità (coda numerica) è 7 o un multiplo di 7.
Come si può leggere per capire che un numero è divisibile per 7 si considera un numero non tanto come un numero, piuttosto come una stringa di caratteri numerici ( non so se mi sono spiegato ) e mi viene difficile pensare che una proprietà del genere possa essere dimostrata rigorosamente.
Sunto:
1) Ogni criterio di divisibilità è dimostrato/dimostrabile?
2) Come si "lavora" alla dimostrazione di un criterio che lavora più sulla posizione delle cifre che con le cifre stesse?
Grazie in anticipo.
Risposte
Sia $n=10a+b $
Considero
$a+5b=7k $
Allora
$10a+50b=10a+b+49b=n+49b=70k $
Da cui $n=7 (10k-7) $ e quindi n è multiplo di 7
Considero
$a+5b=7k $
Allora
$10a+50b=10a+b+49b=n+49b=70k $
Da cui $n=7 (10k-7) $ e quindi n è multiplo di 7
"kobeilprofeta":
Sia $n=10a+b $
Considero
$a+5b=7k $
Allora
$10a+50b=10a+b+49b=n+49b=70k $
Da cui $n=7 (10k-7) $ e quindi n è multiplo di 7
Stendiamo un velo pietoso sul fatto che la dimostrazione fosse due righe più sotto rispetto alla parte che ho citato ^^"
Grazie comunque.
Intendi che era su Wikipedia è non l hai vista?
Che strano!!
A me, alle medie (1971-1974), avevano insegnato che dalle decine, si toglieva il doppio delle unità.
Es.$1.029$
$102-2*9=84$
$8-2*4=0$
Da ciò, 1.029 è divisibile per 7.
A me, alle medie (1971-1974), avevano insegnato che dalle decine, si toglieva il doppio delle unità.
Es.$1.029$
$102-2*9=84$
$8-2*4=0$
Da ciò, 1.029 è divisibile per 7.
$-2=+5 mod 7$
"kobeilprofeta":
Intendi che era su Wikipedia e non l hai vista?
Eh già. A volte sono proprio c(i)ecato ahahahahah Scusate per il disturbo ^^"
"superpippone":
Che strano!!
A me, alle medie (1971-1974), avevano insegnato che dalle decine, si toglieva il doppio delle unità.
Es.$ 1.029 $
$ 102-2*9=84 $
$ 8-2*4=0 $
Da ciò, 1.029 è divisibile per 7.
Beh, se funziona per qualsiasi numero divisibile per 7, allora ha senso pure quella no?
Basandomi su quella fatta da @kobeilprofeta:
Sia (1) \( n = 10a + b \) (dove a è il numero senza unità diviso per 10 e b sono le unità)
E considero \( a-2b = 7k \) [cioè il criterio proposto da @superpippone]
Allora posso scrivere che
\( 10(a-2b) = 10\cdot 7k \)
da cui aggiungo e tolgo b[\i]
\( 10a-20b = 70k \)
\( 10a+b-b-20b = 70k \)
\( 10a+b-21b = 70k \)
uso (1)
\( n-21b = 70k \)
\( n = 7(10k + 3b) \)
Quindi n è divisibile per 7.
Giusto così?
"kobeilprofeta":
$-2=+5 mod 7$
Premettendo che non faccio matematica, che significa che $+5 % 7 = -2$ ? [da considerare che so cos'è il modulo]
Significa che esiste $k in ZZ $ tc $5=-2+7k $
Evidentemente tutti i criteri di divisibilità sono dimostrabili con qualche passaggetto algebrico elementare.
Ad esempio, il criterio di divisibilità per $3$ (somma di tutte le cifre è multiplo di $3$) si può dimostrare come segue.
Sia $n=a_pa_{p-1}\cdots a_1a_0$ l'allineamento decimale che rappresenta il numero intero positivo $n$, i.e.:
\[
\begin{split}
a_0,\ldots ,a_p &\in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\\
n &=\sum_{k=0}^p a_k\cdot 10^k = a_0 +a_1\cdot 10+a_2\cdot 100 + \cdots +a_p\cdot 10^p
\end{split}
\]
Se $a_0+a_1+\cdots + a_p = 3\cdot h$ con $h\in \NN$, si ha:
\[
a_0=3h-a_1-a_2-\cdots -a_p= 3\cdot h - \sum_{k=1}^p a_k
\]
e dunque:
\[
\begin{split}
n &= 3\cdot h - \sum_{k=1}^p a_k + \sum_{k=1}^p a_k\cdot 10^k\\
&= 3\cdot h - \sum_{k=1}^p a_k\cdot (10^k - 1)\\
&= 3\cdot h - \sum_{k=1}^p a_k\cdot \underbrace{99\cdots 9}_{k \text{ cifre } = 9}\\
&= 3\cdot h - 3\cdot \sum_{k=1}^p a_k\cdot \underbrace{33\cdots 3}_{k \text{ cifre } = 3}\\
&= 3\cdot \left( h - \sum_{k=1}^p a_k\cdot \underbrace{33\cdots 3}_{k \text{ cifre } = 3}\right)
\end{split}
\]
coll'ultimo membro multiplo di $3$.[nota]Qui ho dato per scontate tre cose: 1) che \(10^k - 1 = \underbrace{99\cdots 9}_{k \text{ cifre } = 9}\), 2) che il numero \(\underbrace{99\cdots 9}_{k \text{ cifre } = 9}\) sia divisibile per $3$ e che 3) \(\underbrace{99\cdots 9}_{k \text{ cifre } = 9} : 3 = \underbrace{33\cdots 3}_{k \text{ cifre } = 3}\) per ogni $k\in \NN$.
La dimostrazione di questi fatti si può fare per induzione, credo.[/nota]
Ad esempio, il criterio di divisibilità per $3$ (somma di tutte le cifre è multiplo di $3$) si può dimostrare come segue.
Sia $n=a_pa_{p-1}\cdots a_1a_0$ l'allineamento decimale che rappresenta il numero intero positivo $n$, i.e.:
\[
\begin{split}
a_0,\ldots ,a_p &\in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\\
n &=\sum_{k=0}^p a_k\cdot 10^k = a_0 +a_1\cdot 10+a_2\cdot 100 + \cdots +a_p\cdot 10^p
\end{split}
\]
Se $a_0+a_1+\cdots + a_p = 3\cdot h$ con $h\in \NN$, si ha:
\[
a_0=3h-a_1-a_2-\cdots -a_p= 3\cdot h - \sum_{k=1}^p a_k
\]
e dunque:
\[
\begin{split}
n &= 3\cdot h - \sum_{k=1}^p a_k + \sum_{k=1}^p a_k\cdot 10^k\\
&= 3\cdot h - \sum_{k=1}^p a_k\cdot (10^k - 1)\\
&= 3\cdot h - \sum_{k=1}^p a_k\cdot \underbrace{99\cdots 9}_{k \text{ cifre } = 9}\\
&= 3\cdot h - 3\cdot \sum_{k=1}^p a_k\cdot \underbrace{33\cdots 3}_{k \text{ cifre } = 3}\\
&= 3\cdot \left( h - \sum_{k=1}^p a_k\cdot \underbrace{33\cdots 3}_{k \text{ cifre } = 3}\right)
\end{split}
\]
coll'ultimo membro multiplo di $3$.[nota]Qui ho dato per scontate tre cose: 1) che \(10^k - 1 = \underbrace{99\cdots 9}_{k \text{ cifre } = 9}\), 2) che il numero \(\underbrace{99\cdots 9}_{k \text{ cifre } = 9}\) sia divisibile per $3$ e che 3) \(\underbrace{99\cdots 9}_{k \text{ cifre } = 9} : 3 = \underbrace{33\cdots 3}_{k \text{ cifre } = 3}\) per ogni $k\in \NN$.
La dimostrazione di questi fatti si può fare per induzione, credo.[/nota]
"matthewcrn7":
1) Ogni criterio di divisibilità è dimostrato/dimostrabile?
Certo. Io per dimostrare i criteri di divisibilità, in algebra, ho utilizzato anche le congruenze modulo $n$
Ti faccio un esempio per la divisibilità per $9$ e per $4$.
Premessa:
considera un numero[nota]che poi non è altro che la rappresentazione in base dieci di un numero[/nota] come $z=a_k a_(k-1)...a_1a_0=a_k*10^k+a_(k-1)*10^(k-1)+...+a_1*10+a_0$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo