Geometria e Algebra Lineare

Sia V uno spazio vettoriale finitamente generabile e siano \( H1,H2,H3 \) sottospazi di V . Si supponga che per ogni \( v\in V \) esistano e siano univocamente determinati \( hi\in Hi \) tali che \( v = h1+h2+h3 \) . Dimostrare che \( V = H1\oplus H2\oplus H3 \) Devo dimostrare che l'intersezione tra i tre sottospazi è uguale al singleton dell'elemento neutro e la loro somma è uguale a V, ma non riesco a capire come fare. Grazie dell'aiuto

Sia \( f : R2\rightarrow R2 \) un applicazione lineare diagonalizzabile che ammetta un solo autovalore di molteplicità geometrica 2 e tale che \( f(2,0)+f(1,0) = f(2,0) \) Calcolare i possibili valori per \( f(\pi ,\pi /4) \) . Dalla relazione ricavo che : \( f(1,0) = (0,0) \ e f(2,0)=(a,b) \) Quindi avrò \( A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ b & 0 \end{pmatrix} \) da cui \( |A -tIn| = -t(a-t) \). Ricavo \( a = 0 \) , dove la molteplicità ...

ciao a tutti, io ho questo esercizio: Discutere la dimensione del sottospazio $U$ di $RR^4$ generato da $(a,b^2,1,0)$ e $(2a + b,a−b,3 + c,2)$ al variare di $a,b,c in RR$. Non sono sicuro sul procedimento e non avendo il risultato non riesco a capire se è corretto. io per prima cosa ho ridotto con gauss. ma mi restano comunque dei parametri liberi, ho esaminato la 2° sotto-matrice quadrata ed ho notato che per qualsiasi valore di ...

Salve ragazzi. Ho bisogno di aiuto per quanto riguarda l'omologia a coefficienti in R. L'esercizio è il seguente: Calcolare l'omologia a coefficienti in R dello spazio topologico X=R^3\{(x,y,z)/y=x^2,z=x^3}. Grazie mille a chi mi aiuterà.

Salve a tutti, sto diventando pazzo da qualche giorno nel cercare di capire come trovare l'equazione delle quadriche dei seguenti esercizi, qualcuno potrebbe aiutarmi magari spiegandomi i passaggi da fare? (sono due esercizi differenti, me ne basterebbe uno spiegato per poi provare a fare l'altro)

Buongiorno, in un esercizio svolto sulla somma diretta viene considerato lo spazio vettoriale $V =$ \( \Re^3 \) e due suoi sottospazi $S=Span((1,0,0)$, $(0,1,0))$ e $T=Span((2,0,0)$, $(0,0,1))$. A un certo punto viene detto che i vettori $w_1=(1,0,0)$ e $ w_2=(0,1,0)$ sono una base di $S$ mentre i vettori $v_1=(2,0,0)$ e $v_2=(0,0,1)$ sono un base di $T$. Ma com'è possibile che una base (ma anche solo un sistema di ...

Salve a tutti. Sto avendo problemi con esercizi di questo tipo: Si consideri la curva \(\mathbb{C}=\{[X,Y,Z] \in \mathbb{P}^2\mathbb{C} \mbox{ | }X^4-Y^4+Z^4=0\}\) sia $p=[0,i,1]$. Calcola $l(np)$ per $n\geq0$. Nell'esempio in questione ad esempio riesco a fare i casi $n\geq 5$ perché seguono dal teorema di riemann roch e dunque $l(np)=n-2$. Per $n=4$ dato che la tangente in $p$ ha grado 1 e interseca la curva in ...

Ho questo quesito: Sia X = $ (ax^3+ax^2+ax+a : a sube R) $ , Definire (se possibile) una applicazione lineare di X in R tale che non sia suriettiva. Allora X ha dimensione 4, quindi l'applicazione per essere suriettiva deve avere immagine di dimensione 4, quindi se considero $ f: X rarr R $ come faccio ad avere dim 4 ?

Buongiorno a tutti. Ho un dubbio assai banale ma del quale non riesco a venire a capo. Su varie fonti si definisce la famiglia degli intorni $N(x)$ di un punto $x$, appartenente ad un generico insieme non vuoto $X$, come la famiglia degli insiemi di $X$ tale che valgano i seguenti 4 assiomi: $1) \forall N \in N(x) \quad x \in N$; $2) \forall N \in N(x)$ e $\forall M \subseteq X | N \subseteq M$ allora $M \in N(x)$; $3) \forall N,M \in N(x) \quad N \cap M \in N(x)$; $4) \forall N \in N(x) \quad \exists M \in N(x) | \forall y \in M \quad N \in N(y)$. Adesso, i primi tre sono ...

Sia V = R4[x] × R2,2. Determinare due distinti sottospazi di V che siano isomorfi. La dimensione di V è uguale a 5+4= 9. Ha senso se considero : $ H = < x^4,( ( 0 , 1 ),( 0 , 0 ) ) > $ dim H = 5+1 = 6 $ K = < x^3,( ( 1 , 0),( 0 , 1) ) > $ dim K = 4+2= 6

Buongiorno, ho il seguente sistema lineare \( \begin{cases} x_1+x_2+2x_3 = 5 \\ 3x_1-2x_2+x_3=0 \\ 7x_1-3x_2+4x_3=6 \end{cases} \) di cui devo calcolare il rango (per poi poter utilizzare il teorema di Rouche-Capelli). Il rango della matrice incompleta (cioè quella con i soli coefficienti) è 2. Fin qui niente di particolare. Nel momento in cui associo i termini noti (e cioè ottengo la matrice completa) il rango dovrebbe essere 3. Da quello che so però i termini noti non possono essere dei ...

Sia $ f : V rarr V $ una applicazione lineare che ammetta almeno un autovalore λ. Prendiamo v ∈ V che non sia un autovettore. E’ vero che l’autospazio V (λ) e il sottospazio $ < v> $ sono in somma diretta? Allora $ V(lambda ) = (win V : f(w) = lambda w) $ quindi visto che v non è autovettore non appartiene all'insieme quindi $ V(lambda ) nn < v> = 0 $ . Come faccio a dimostrare che la loro somma è uguale a V?

Salve. Ho alcune difficoltà nel trovare in versore normale ad un piano $\pi$ nello spazio in una specifica situazione. Non ho problemi se forniti 3 punti appartenenti al piano o se sono forniti direttamente due vettori: Ne faccio il prodotto vettoriale: $ det( ( \vec{e_x} , \vec{e_y} , \vec{e_z} ),( x_1 , y_1 , z_1 ),( x_2 , y_2 , z_2 ) ) $ Dove $ ( x_1 , y_1 , z_1 ),( x_2 , y_2 , z_2 ) $ sono i due vettori appartenenti al piano o ricavati come differenza dai 3 punti $\in \pi$. Procedo poi normalizzando il vettore ed il gioco è fatto. Mi è capitato un paio di volte ...

Buongiorno ho due problemi che non riesco a risolvere: 1)Si dimostri che se $\langle, \rangle$ e’ un prodotto scalare in $R^n$ non degenere, NON definito positivo e NON definito negativo, esiste un vettore non nullo u ∈ $R^n$ tale che $\langle u, u \rangle$ = 0 2)Sia V uno spazio vettoriale finito dimensionale. Si dia un isomorfismo tra V* ⊗ V* e lo spazio vettoriale delle forme bilineari su V SENZA fissare una base. Per 1) avevo pensato di sfruttare il non degenere, ma non ...

Sia $X$ uno spazio topologico connesso, localmente connesso, localmente compatto e $T_2$. Dimostrare che per ogni due punti che si possono prendere in $X$, esiste un sottoinsieme $K$ di $X$ connesso e compatto che li contiene.

Rieccoci con degli esercizi di topologia! Dimostrare che se $RR$ è omeomorfo a $X\timesY$ con $X,Y$ spazi topologici, allora uno tra $X$ e $Y$ ha un solo punto. Dimostrare la stessa cosa con $S^1$ al posto di $RR$.

Ciao. Dico che due sottospazi \( W_1 \) e \( W_1^\prime \) di uno spazio vettoriale \( V \) sono disposti allo stesso modo (o che hanno lo stesso arrangement) se c'è un automorfismo che manda un nell'altro. Analogamente dico che le coppie di sottospazi \( (W_1,W_2) \) e \( (W_1^\prime,W_2^\prime) \) sono disposte allo stesso modo se c'è un automorfismo \( \varphi \) tale che \( \varphi_*(W_i) = W_i \), per \( i = 1,2 \). Perché due soli sottospazi abbiano lo stesso arrangement è necessario e ...

Sia A matrice simmetrica reale (3x3, per semplicità ma penso valga pure nxn), e sia $\phi$ una sua funzione scalare isotropa, cioè tale che $\phi(A)=\phi(Q^TAQ)$ per ogni Q matrice di trasformazione ortogonale (cioè tale che $Q^T=Q^-1$). Provare che una tale $\phi$ dipende in realtà solo da $tr(A),tr(A^2),tr(A^3)$, ovvero $\phi(A)=\phi(tr(A),tr(A^2),tr(A^3))$(l'uguaglianza penso non sia funzionale ma solo numerica, e questo set di scalari è una cosiddetta base funzionale della funzione ...

Ciao a tutti! Sono un po' di ore che provo a svolgere questo esercizio di algebra lineare su autovettori e autovalori di una matrice. Il testo è il seguente. Si consideri la matrice \( A=\begin{pmatrix} 2+k & 0 & -k \\ k & 3 & -1-k \\ k & -1 & 3-k \end{pmatrix} \). Determinare per quali valori di \( k \) la matrice è diagonalizzabile e, per tali valori, trovare una base di \( \mathbb{R}^3 \) costituita da autovettori di \( A \). Il primo passo per capire se una matrice è diagonalizzabile ...

Dimostrare che non esiste una funzione $f:RR->RR$ tale che l'insieme dei punti di continuità di $f$ sia $QQ$. Suggerimento: non provare con argomenti di densità perché di funzioni che hanno $RR\setminusQQ$ come insieme di punti di continuità ne esistono. Se volete poi posso darvi un altro suggerimento ben più sostanzioso che vi indica la strada.