Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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ciao a tutti,
io ho questo esercizio:
Discutere la dimensione del sottospazio $U$ di $RR^4$ generato da $(a,b^2,1,0)$ e $(2a + b,a−b,3 + c,2)$ al variare di $a,b,c in RR$.
Non sono sicuro sul procedimento e non avendo il risultato non riesco a capire se è corretto.
io per prima cosa ho ridotto con gauss.
ma mi restano comunque dei parametri liberi, ho esaminato la 2° sotto-matrice quadrata ed ho notato che per qualsiasi valore di ...
Salve ragazzi. Ho bisogno di aiuto per quanto riguarda l'omologia a coefficienti in R. L'esercizio è il seguente:
Calcolare l'omologia a coefficienti in R dello spazio topologico
X=R^3\{(x,y,z)/y=x^2,z=x^3}.
Grazie mille a chi mi aiuterà.
Buongiorno, in un esercizio svolto sulla somma diretta viene considerato lo spazio vettoriale $V =$ \( \Re^3 \) e due suoi sottospazi $S=Span((1,0,0)$, $(0,1,0))$ e $T=Span((2,0,0)$, $(0,0,1))$. A un certo punto viene detto che i vettori $w_1=(1,0,0)$ e $ w_2=(0,1,0)$ sono una base di $S$ mentre i vettori $v_1=(2,0,0)$ e $v_2=(0,0,1)$ sono un base di $T$. Ma com'è possibile che una base (ma anche solo un sistema di ...
Salve a tutti. Sto avendo problemi con esercizi di questo tipo:
Si consideri la curva
\(\mathbb{C}=\{[X,Y,Z] \in \mathbb{P}^2\mathbb{C} \mbox{ | }X^4-Y^4+Z^4=0\}\)
sia $p=[0,i,1]$. Calcola $l(np)$ per $n\geq0$.
Nell'esempio in questione ad esempio riesco a fare i casi $n\geq 5$ perché seguono dal teorema di riemann roch e dunque $l(np)=n-2$.
Per $n=4$ dato che la tangente in $p$ ha grado 1 e interseca la curva in ...
Ho questo quesito:
Sia X = $ (ax^3+ax^2+ax+a : a sube R) $ ,
Definire (se possibile) una applicazione lineare di X in R tale che non sia suriettiva.
Allora X ha dimensione 4, quindi l'applicazione per essere suriettiva deve avere immagine di dimensione 4, quindi se considero $ f: X rarr R $ come faccio ad avere dim 4 ?
Buongiorno a tutti.
Ho un dubbio assai banale ma del quale non riesco a venire a capo.
Su varie fonti si definisce la famiglia degli intorni $N(x)$ di un punto $x$, appartenente ad un generico insieme non vuoto $X$, come la famiglia degli insiemi di $X$ tale che valgano i seguenti 4 assiomi:
$1) \forall N \in N(x) \quad x \in N$;
$2) \forall N \in N(x)$ e $\forall M \subseteq X | N \subseteq M$ allora $M \in N(x)$;
$3) \forall N,M \in N(x) \quad N \cap M \in N(x)$;
$4) \forall N \in N(x) \quad \exists M \in N(x) | \forall y \in M \quad N \in N(y)$.
Adesso, i primi tre sono ...
Sia V = R4[x] × R2,2. Determinare due distinti sottospazi di V che siano isomorfi.
La dimensione di V è uguale a 5+4= 9.
Ha senso se considero :
$ H = < x^4,( ( 0 , 1 ),( 0 , 0 ) ) > $
dim H = 5+1 = 6
$ K = < x^3,( ( 1 , 0),( 0 , 1) ) > $
dim K = 4+2= 6
Buongiorno, ho il seguente sistema lineare \( \begin{cases} x_1+x_2+2x_3 = 5 \\ 3x_1-2x_2+x_3=0 \\ 7x_1-3x_2+4x_3=6 \end{cases} \) di cui devo calcolare il rango (per poi poter utilizzare il teorema di Rouche-Capelli).
Il rango della matrice incompleta (cioè quella con i soli coefficienti) è 2. Fin qui niente di particolare.
Nel momento in cui associo i termini noti (e cioè ottengo la matrice completa) il rango dovrebbe essere 3. Da quello che so però i termini noti non possono essere dei ...
Sia $ f : V rarr V $ una applicazione lineare che ammetta almeno un autovalore λ. Prendiamo v ∈ V che non sia un autovettore. E’ vero che l’autospazio V (λ) e il sottospazio $ < v> $ sono in somma diretta?
Allora $ V(lambda ) = (win V : f(w) = lambda w) $ quindi visto che v non è autovettore non appartiene all'insieme quindi $ V(lambda ) nn < v> = 0 $ .
Come faccio a dimostrare che la loro somma è uguale a V?
Salve.
Ho alcune difficoltà nel trovare in versore normale ad un piano $\pi$ nello spazio in una specifica situazione.
Non ho problemi se forniti 3 punti appartenenti al piano o se sono forniti direttamente due vettori:
Ne faccio il prodotto vettoriale:
$ det( ( \vec{e_x} , \vec{e_y} , \vec{e_z} ),( x_1 , y_1 , z_1 ),( x_2 , y_2 , z_2 ) ) $
Dove $ ( x_1 , y_1 , z_1 ),( x_2 , y_2 , z_2 ) $ sono i due vettori appartenenti al piano o ricavati come differenza dai 3 punti $\in \pi$. Procedo poi normalizzando il vettore ed il gioco è fatto.
Mi è capitato un paio di volte ...
Buongiorno ho due problemi che non riesco a risolvere:
1)Si dimostri che se $\langle, \rangle$ e’ un prodotto scalare in $R^n$ non degenere, NON definito positivo e NON definito negativo, esiste un vettore non nullo u ∈ $R^n$ tale che $\langle u, u \rangle$ = 0
2)Sia V uno spazio vettoriale finito dimensionale. Si dia
un isomorfismo tra V* ⊗ V* e lo spazio vettoriale delle forme bilineari su V SENZA fissare una base.
Per 1) avevo pensato di sfruttare il non degenere, ma non ...
Sia $X$ uno spazio topologico connesso, localmente connesso, localmente compatto e $T_2$. Dimostrare che per ogni due punti che si possono prendere in $X$, esiste un sottoinsieme $K$ di $X$ connesso e compatto che li contiene.
Rieccoci con degli esercizi di topologia!
Dimostrare che se $RR$ è omeomorfo a $X\timesY$ con $X,Y$ spazi topologici, allora uno tra $X$ e $Y$ ha un solo punto.
Dimostrare la stessa cosa con $S^1$ al posto di $RR$.
Ciao. Dico che due sottospazi \( W_1 \) e \( W_1^\prime \) di uno spazio vettoriale \( V \) sono disposti allo stesso modo (o che hanno lo stesso arrangement) se c'è un automorfismo che manda un nell'altro. Analogamente dico che le coppie di sottospazi \( (W_1,W_2) \) e \( (W_1^\prime,W_2^\prime) \) sono disposte allo stesso modo se c'è un automorfismo \( \varphi \) tale che \( \varphi_*(W_i) = W_i \), per \( i = 1,2 \).
Perché due soli sottospazi abbiano lo stesso arrangement è necessario e ...
Sia A matrice simmetrica reale (3x3, per semplicità ma penso valga pure nxn), e sia $\phi$ una sua funzione scalare isotropa, cioè tale che $\phi(A)=\phi(Q^TAQ)$ per ogni Q matrice di trasformazione ortogonale (cioè tale che $Q^T=Q^-1$). Provare che una tale $\phi$ dipende in realtà solo da $tr(A),tr(A^2),tr(A^3)$, ovvero $\phi(A)=\phi(tr(A),tr(A^2),tr(A^3))$(l'uguaglianza penso non sia funzionale ma solo numerica, e questo set di scalari è una cosiddetta base funzionale della funzione ...
Ciao a tutti!
Sono un po' di ore che provo a svolgere questo esercizio di algebra lineare su autovettori e autovalori di una matrice.
Il testo è il seguente.
Si consideri la matrice \( A=\begin{pmatrix} 2+k & 0 & -k \\ k & 3 & -1-k \\ k & -1 & 3-k \end{pmatrix} \).
Determinare per quali valori di \( k \) la matrice è diagonalizzabile e, per tali valori, trovare una base di \( \mathbb{R}^3 \) costituita da autovettori di \( A \).
Il primo passo per capire se una matrice è diagonalizzabile ...
Dimostrare che non esiste una funzione $f:RR->RR$ tale che l'insieme dei punti di continuità di $f$ sia $QQ$.
Suggerimento: non provare con argomenti di densità perché di funzioni che hanno $RR\setminusQQ$ come insieme di punti di continuità ne esistono. Se volete poi posso darvi un altro suggerimento ben più sostanzioso che vi indica la strada.
Buonasera ragazzi! Mi sono appena iscritto perché ho un dubbio con la risoluzione di questo esercizio. Magari potete correggere i miei errori in modo che possa comprendere al meglio la materia.
L'esercizio mi chiede di stabilire per quali valori del parametro h il sistema ammette soluzioni.
$\{(2x + (k+1)z=1),(y+(k-2)x=0),(2x-y+(k-1)=1):}$
Per prima cosa ho calcolato il rango della matrice dei coefficienti (incompleta) verificando valore 3, con k diverso da -2. Poi ho verificato il rango della matrice completa utilizzando ...
Il sottospazio U= (f- λI)(V), contenuto in V, con λ autovalore di f, come può essere descritto (ovvero: da quali elementi è formato?)? Mi spiego meglio, inzialmente pensavo si trattasse di un sottospazio formato dal solo 0, in quanto λ è autovalore e quindi -pensavo- ogni v dovrebbe annullarsi. Sul libro c'è però scritto che si tratta di un sottospazio f-invariante (perché?) che ha sottospazi f-invarianti e non nulli. Incollo il testo per maggiore chiarezza:
TEOREMA: Siano V uno spazio ...
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