Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve, vorrei solo sapere se ho commesso errori nel risolvere il seguente esercizio
Fissato in $A^4$ un sistema di riferimento affine r, data la rette:
r: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{lcr} x+z=3 &\\ t+y=-2 &\\ t-z=5 & \end{array}\right.\)
trovare i numeri direttori
dopo aver "ordinato il sistema" mi è uscito r: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{lcr} x=8-a &\\ y=-2-a &\\ z=-5+a &\\ t=a & \end{array}\right.\)
i numeri direttori risultano essere ...
Mi potresti dimostrare le condizioni di parallelismo e perpendicolarità tra retta e piano, piano e piano, retta e retta
Sarebbe la dimostrazione di questa formula r//r' (l'/l)=(m'/m)=(n'=n);
r perpendicolare r' (l'*l)+(m'*m)+(n'*n)=0 (dove r=(l,m,n) e r'=(l',m',n'))
pi greco(piano)//pi greco(piano)(a'/a)=(b'/b)=(c'/c);
pi greco(piano) perpendicolare pi greco(piano)(a'*a)+(b'*b)+(c'*c)=0
r//pi greco a*l+b*m+c*n=0
r perpendicolare pi greco a/l=b/m=c/n
dove (pi greco: ...
Ciao a tutti. Ho un piccolo dubbio in merito il calcolo della composizione lineare tra due applicazioni distinte. Mi spiego meglio:
Supponiamo di prendere in considerazione due applicazioni lineari, f e g, così rappresente:
f: $RR^2$ $rarr$ $RR^3$
$(x,y) = (x+y,3x,y)$
g: $RR^3$ $rarr$ $RR^2$ rappresentata dalla matrice
$((1,2,0),(1,0,2))$ con annesse basi.
Una volta calcolata l'applicazione associata alla matrice, in questo caso ...
Buonasera ho un dubbio su un esercizio:
In $CC^4$, Dato l'insieme di vettori: $\{(n+1, n-1, n^2 +1, n^2 -1) text(, con ) n in NN}$, stabilire se è un sottospazio.
Ora io osservo subito che il vettore nullo non appartiene all'insieme e che prendendo per esempio $n=1$ e $n=2$ e sommandoli il vettore non appartiene all'insieme, e così dimostro che l'insieme non è un sottospazio, ma mi stavo chiedendo come poterlo dimostrare utilizzando vettori generici e verificando le proprietà di chiusura.
Buonasera, avrei due dubbi riguardo all'utilizzo di Gauss Jordan per ottenere la matrice inversa e per ricavare la forma cartesiana di un sottospazio dato in forma parametrica. Per quanto riguarda la matrice inversa so che si affianca la matrice identità alla matrice iniziale e poi riducendo si arriva eventualmente alla matrice inversa, ma non capisco il perché. Invece per la forma cartesiana io prendo i vettori e li inserisco in una matrice in colonna e poi affianco a questi le incognite e ...
ciao a tutti, vi chiedo aiuto con un'altra nozione pre esame:
ci sono delle operazioni che posso effettuare su matrici simili che non modificano la similitudine (e.g.: in una matrice posso scambiare due righe tra loro ed il determinante cambia di segno, ma la quantità assoluta è invariata, mi chiedevo se ci fossero operazioni di questo tipo anche per matrici simili, nello specifico: se a due matrici simili sottraggo una stessa matrice, esse rimangono simili?)? grazie a tutti!
Ciao a tutti,
Devo risolvere questo problema: "la matrice H può essere ortogonalmente diagonalizzabile? In caso affermativo trovare tale base.
H=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}"
La matrice è simmetrica quindi è ortogonalmente diagonalizzabile e i suoi valori sono $1$ (molt. algebrica 1) e $0$ (molt. algebrica 2).
Il problema sorge quando calcolo gli autovettori perché per t=0 risulta un unico autovettore pari a (0,0,0) mentre per ...
Salve!
Ho un dubbio sulla risoluzione di questo esercizio,svolto in sede di esame,che recita:
Sia $ V $ lo spazio delle funzioni reali a una variabile reale.
Sia $ U $ lo spazio generato da $ 1,x,senx $
A) Determinare una base per $ U $.
B) Determinare se $ U $ è isomorfo o meno ad $ S $ e giustificare la risposta.
$ S $ è il sottospazio delle matrici simmetriche di $ M_2(R) $
A) Ho provato anzitutto a fare ...
Ciao a tutti,
devo risolvere questo esercizio:
Determinare, se esistono, valori di m tali che la matrice B(m) sia simile a C, cioè rappresenti lo stesso endomorfismo.
C=\begin{pmatrix} 6 & 1 & -3 \\ 4 & 3 & -3 \\ 8 & 2 & -4 \\ \end{pmatrix}
B(m)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & 2m-1 \\ 0 & 0 & 2m \\ \end{pmatrix}
Gli autovalori di C sono 1, 2 e 2 ed ha determinante pari a 60 (se non ho sbagliato i calcoli).
Gli autovalori di B(m) sono 1, 2 e 2m ed ha determinante pari a 4m.
È giusto ...
Buonasera, c'è un teorema che stabilisce che $A_1,...,A_n$ sono dipendenti se e solo se $det(A_1,...,A_n)=0$.
Leggendo la dimostrazione del professore sulla condizione sufficiente, dopo aver detto che $A_1,...,A_n$, essendo indipendenti (per assurdo), sono una base di $\RR^n$ ed aver utilizzato la linearità rispetto alle colonne del determinante, si ottiene $(a_{1_{i_1}}a_{2_{i_2}}...a_{n_{i_n}}det(A_{i_1},A_{i_2},...,A_{i_n})$ (utilizzando la convenzione di Einstein). A questo punto dice che "i determinanti a secondo membro sono ...
Buonasera, vorrei dimostrare la disuguaglianza triangolare sfruttando l'equivalenza con quella di Schwartz.
$|u + v| ≤ |u| + |v|$
$|u + v|^2 ≤ (|u| + |v|)^2$
$|u|^2 + 2uv + |v|^2 ≤ |u|^2 + 2|u||v| + |v|^2$
$uv ≤ |u||v|$
E ripetendo il ragionamento con $-v$ al posto di $v$ ottengo $−uv ≤ |u||v|$ da cui, sfruttando la definizione di valore assoluto, arrivo alla disuguaglianza di Schwartz $|uv| ≤ |u||v|$.
A questo punto dimostro Schwartz con la proiezione di un vettore su di un altro o con una qualsiasi ...
ciao a tutti! ho una domanda teorica da proporre:
la similitudine implica ordine di nilpotenza? ossia, se due matrici sono simili hanno anche lo stesso ordine di nilpotenza? non ho trovato nulla a supporto né a confutazione di ciò, mi sembrava di averlo letto su un libro ma credo di aver male interpretato a questo punto, e da sola non riesco a dimostrarlo, mi chiedevo se qualcuno mi potesse aiutare
Salve a tutti vorrei proporvi un esercizio di geometria euclidea, magari banale ma che in questi giorni mi sta dilaniando il cervello.
Allora l'esercizio mi chiede trovare equazioni cartesiane e parametriche dei piani che distano $2sqrt3$ dal punto $P=(2,1,4)$ contenenti la retta di equazioni $X+Y=2, 2X+Z=1$. La prima cosa che mi è venuta in mente è il fascio di piani con sostegno la retta di cui ho l'equazione. Ma come associarlo alla distanza per ottenere i piani proprio non ...
Salve a tutti, ho un piccolo dubbio che vorrei porvi:
se in un esercizio mi viene dato un insieme di vettori ad esempio \(\displaystyle B_1 ={(1, 4, 0), (4, 3, 3), (1, 2, 3)} \) (ho scritto numeri a caso, è solo per un esempio) e mi viene chiesto di dimostrare che è una base di $R^3$ "mettendo" i tre vettori in una matrice per righe e riducendola a gradini, se non ottengo righe nulle posso affermare che i vettori sono linearmente indipendenti e che dunque è una base di ...
Ciao ancora
Sto studiando su queste note, e in particolare l'ultimo capitolo, da pagina 77. Leggendo anche sul Sernesi le cose cambiano un po' nella definizione:
[*:1avddexh] nel Sernesi il prodotto hermintiano è definito lineare a sinistra e antilineare a destra[/*:m:1avddexh]
[*:1avddexh] nelle note del prof (definizione 1.1, pagina 77) lineare a destra e antilineare a sinistra, vedi punto (d) della stessa definzione[/*:m:1avddexh][/list:u:1avddexh] Cercando altrove, trovo al ...
Salve a tutti.
Ho qualche difficoltà negli esercizi di questo tipo, la mia intenzione è quella di postare lo svolgimento e sperare in vostre correzioni e aiuti.
Ringrazio anticipatamente chiunque risponderà.
Testo: Sia V lo spazio dei vettori liberi e sia $B = {i,j,k}$ una base ortonormale e positivamente orientata. Sia $ f \in End(V) $ definito da $ f(v)=(v \wedge (i-2j+k)) $ ;
- scrivere la matrice di f rispetto alla base B in partenza ed in arrivo;
- descrivere Ker e immagine di f, calcolando ...
Buongiorno a tutti, da un po' sto provando a risolvere questa tipologia di esercizio, però non saprei come svolgerlo... il testo recita:
1) Definire una trasformazione lineare $f: RR^3 \to RR^2$ tale che $(2, 1, 0) in kerf$ e $f(1, 0, 0) = (1, 1)$ ;
2) Sia A una matrice ad entrate reali, $A = ((1,-1,1),(2,\lambda,2),(1,2,0))$ e sia $f: RR^3 \to RR^3$ la trasformazione lineare associata ad A mediante le basi canoniche. Determinare i valori di $\lambda$, per i quali il vettore $(2, -1, -3)$ appartiene a ...
Ciao a tutti, vi scrivo perché ho un grande dubbio. Da un'equazione geometrica, come faccio a capire a quale parte del piano appartiene? Mi spiego meglio. Ho questa equazione di un'ellisse, x^2 + 4y^2 >= 1. Come si fa a capire se corrisponde all'interno o all'esterno dell'ellisse? Ho un altro esempio, x^2 - y
Salve a tutti, è da un po che cerco di risolvere un esercizio che mi chiede:
''Sapendo che A=(12;8) e B=(3;2) determinare i punti del piano P(x,y) tali che PA=2PB''
Stavo provando a svolgerlo seguendo le indicazioni del quesito ma senza avere alcun risultato. Vi sarei davvero grato se riusciste a darmi qualche delucidazione su come farlo.
Ciao a tutti, scrivo per chiedervi un aiuto. Ho un sistema lineare e devo verificare se la matrice corrispondente è diagonalizzabile o meno. Il sistema è questo
x + hy + 2z = 0
2y + (h-1)z = 1-h
(h-1)x + h(h-1)y = 0
So come farlo, ma ho alcuni dubbi riguardo il termine noto della seconda equazione, ovvero 1-h. Quando costruisco la matrice di cui calcolo il polinomio caratteristico, devo considerare anche i termini noti oppure no? Se lo considerassi però non avrei più una matrice quadrata
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