Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Siano date le seguenti applicazioni lineari:
f: $RR^3$ $rarr$ $RR^3$ rappresentata dalla matrice
$((1,3,0),(2,0,1),(2,-6,2))$
e g: $RR^3$ $rarr$ $RR^2$ definita da g: $(3x-y,z+x)$
Verificare se $ g • f $ è suriettiva.
Ho un problema nel verificare la composizione delle applicazioni lineari.
Una volta determinata l'applicazione f:
$(x+3y,2x+z,2x-6y+2z)$ come faccio a calcolare g•f?
Domanda rapida. Ho $A$ matrice simmetrica. Gli autospazi relativi a quella matrice sono ortogonali rispetto a quale prodotto scalare? Quello standard, quello definito da A, ogni prodotto scalare definito positivo?. Abbiamo fatto in classe molto di fretta questa parte e ho un po di dubbi...
Ciao a tutti! ho questo esercizio di geometria che non riesco a risolvere, e soprattutto, non ho idea su come procedere.
Trovare l'equazione del luogo dei punti $P(x,y,z)$ equidistanti dalle rette $r$ e $s$.
$r:{y=0;2z-1=0}$
$s:{x=0;2z+1=0}$
Ciao
Mi è venuta una perplessità facendo un esercizio. Non riporto tutto l'esercizio, ma solo ala parte "incriminata". Ho la seguente matrice \[
A_t := \begin{pmatrix}
-t & -1 & 1 \\
-t & 0 & 0 \\
1 & -t-1 & 0
\end{pmatrix} \quad\text{con } t \in \mathbb R.\] Se non ho fatto errori, il suo polinomio caratteristico è \[
p_t(x) = -(x+t)(x^2-(t+1)).
\] Chiaramente se \(t < -1\), il polinomio non ha tutti gli zeri in \(\mathbb R\), e quindi la matrice \(A_t\) non è diagonalizzabile. Rimane quindi ...
Salve vorrei proporre un altro esercizio sulle applicazioni lineari
Riporto solo il punto che mi lascia perplesso.
Si considerino i seguenti vettori di $R^4$
$v_1=( ( 1 ),( 0 ),( -1 ),( 1 ) ) ,v_2=( ( 1 ),( -1 ),( 0 ),( 0 ) ) ,v_3=( ( 1 ),( -1 ),( 0 ),( 1 ) ) ,v_4=( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( 1 ) )$
Sia $L:R^4 -> R^2$ l'applicazione lineare che verifica le seguenti condizioni:
$L(v_1)=((0),(0)),L(v_2)=((0),(1)),L(v_3)=((1),(0)),L(v_4)=((3),(0))$
Dimostrare che L è l'unica applicazione lineare $R^4 -> R^2$ che soddisfa le condizioni scritte sopra.
Come si fa? Io ho provato in due modi non so se corretti
Metodo 1) Ho notato che i vettori ...
Buonasera, ho dei dubbi su due esercizi di un passato compito di Geometria.
Si consideri un endomorfismo $f$ e sia $v in Kerf cap Imf, v ne 0$ Si indichi la risposta giusta e perché le altre sono false.
A) $Kerf oplus Imf$
B) $f$ è invertibile
C) (risposta giusta) $f^{-1}subseteq Kerf^2$
D) $v$ non è autovettore per $f$
La A è chiaramente falsa perché la somma diretta implica che l'intersezione sia nulla, idem la B perché per essere invertibile ...
Salve, avrei bisogno di aiuto per risolvere un esercizio che riguarda la parabola.
Il testo dell'esercizio è il seguente:
"Nel piano con riferimento cartesiano ortogonale R:=(O,{i,j}), si determini l'equazione della parabola di vertice il punto V(-2,2), asse parallelo a i+j e passante per il punto P(0,2)".
La cosa che mi rende perplessa, bloccandomi, è proprio la frase "asse parallelo a i+j" poichè, trattandosi della somma di due versori, non so quale equazione della parabola prendere come ...
Salve, mi servirebbe una mano per questo esercizio sulle applicazioni lineari.
Si consideri l'applicazione lineare $phi_B:Mat_(2x2)(R)->Mat_(2x2)(R)$ definita da $phi_B(A)=BA$
Sia $B=((1, 1),(-1, -1))$. Determinare dimensione e base dei sottospazi $Ker(phi_B),Im(phi_B)$
Ho riportato solo questo punto dell'esercizio perchè è quello che mi dà problemi: non so trattare bene le applicazioni lineari quando si lavora in uno spazio di matrici.
Grazie in anticipo
Salve a tutti, ho un problema di geometria analitica nello spazio che non so svolgere correttamente:
Date le due rette parametriche $ r:{ ( x=4t+1 ),( y=5t+2 ),( z=t+1 ):} $ $ r’:{ ( x=ks+k ),(y=5s-k+3),( z=(6-k)s+k ):} $
a) dire al variare di “k” se le due rette siano sghembe, incidenti, parallele o coincidenti
Io ho uguagliato le x,y,z delle rispettive rette e portato i termini noti a secondo membro, mentre quelli incogniti a primo: $ { ( 4t-ks=k-1 ),( 5t-5s=1-k ),( t-(6-k)s=k-1 ):} $
Ho costruito poi la matrice nelle incognite t ed s: $ (A|B)=( ( 4 , -k ,| kk-1 ),( 5 , -5 , 1-k ),( 1 , k-6 , k-1 ) ) $ , che con ...
Buona sera, ho un dubbio stupido su questo esercizio.
Determinare il Kernel Ker(L) dell’applicazione lineare L : R4 →R3 L(x,y,z,t) = (x + 2y + t,−2x + y + z−t,x + y + z−2t). Determinare, se esiste, un sottospazio U di R4 tale che U ⊕Ker(L) = R4.
Per prima cosa riduco la matrice a scala e ottengo che il ker(l)=1.
il ker se non ho sbagliato i conti è (5,-3,6,1).
ora siccome il ker(l) è 1 il sotto-spazio tale che U ⊕Ker(L) = R4 sicuramente non esisterà, ma come lo dimostro?
Salve sto svolgendo il seguente esercizio
Sia $M\in \mathbb{R}^{3,3}$ una matrice a entrate reali per cui
\[
M\begin{pmatrix}
1 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix} \qquad
M\begin{pmatrix}
-1 \\ 2 \\ 1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\ 4 \\ 2
\end{pmatrix} \qquad M\begin{pmatrix}
1 \\ 1 \\ -1
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 \\ 3 \\ -3
\end{pmatrix}
\]
Trovare la minima dimensione che può avere un sottospazio $V\subseteq \mathbb{R}^{3}$ affinché ...
Salve a tutti, ho un problema con un endomorfismo al quale è associata la matrice seguente: $ ( ( 1 , 1 , 2k ),( 0 , 1 , k ),( 0 , 0 , k ) ) $ con k ∈ R.
Devo stabilire per quali parametri di k la matrice risulta diagonalizzabile.
Ora, io ho calcolato il polinomio caratteristico che mi ha dato come risultato: $ p(x) = (1-lambda )^2\cdot (k-lambda ) $
Di conseguenza ho dedotto che i primi due autovalori fossero: $ lambda1= lambda 2= 1 $ con molteplicità algebrica uguale a 2, perchè ho posto $ (1-lambda )=0 $
Non capisco però come ricavare il terzo ...
Salve!
Avrei bisogno di una mano con un esercizio di algebra lineare; la traccia è la seguente:
“Sia $ mathbb(K) $ un campo di caratteristica zero. Dimostrare che una matrice quadrata a coefficienti in $ mathbb(K) $ ha traccia nulla se e solo se la si può scrivere come combinazione lineare di matrici del tipo AB-BA.”
Ora, un’implicazione è triviale e mi è riuscita, tuttavia non riesco a dimostrare l’altra (ovvero se una matrice ha traccia nulla allora la si può scrivere come ...
Salve, dopo queste vacanze (auguri di buon anno), ho ripreso a cercare di dimostrare le generalizzazioni che ho provato a trarre da i teoremi base dei limiti. Ora su questa dimostrazione ho ancora più dubbi della precedente e il teorema che ho provato a generalizzare (sperando senza fare errori) è il teorema di permanenza del segno. In breve ciò che ho provato a dimostrare è questo:
"Sia $f:(X,\tau_1)->(Y, \tau_2)$ una funzione tra spazi topologici. Sia $(Y,\tau_2)$ uno spazio di Hausdorff su cui è ...
Salve, qualcuno ha idea su come risolvere i seguenti esercizi?
-Se possibile, scrivere le equazioni di due coniche distinte tali che la loro intersezione sia costituita da tutti e soli i punti dell’asse X. Altrimenti, motivare il perché.
-Se possibile, scrivere l’equazione di un’ellisse immaginaria che passi per l’origine O(0, 0). Altrimenti, motivare il perché.
Grazie.
Nel determinare il segno degli autovalori della matrice $ A_t=( ( t+2 , 3 , -t ),( 3 , 2t+1 , -7),( -t , -7 , 12 ) ) $ , al variare di $ t in R $ , il suggerimento: "per $ t=2 $, il determinante della matrice è nullo" in cosa potrebbe aiutarmi?
Nel caso particolare con t = 2, trovo quindi velocemente il polinomio caratteristico e gli autovalori di $ A_t $, che sono $ 0 $ , $ (21+sqrt(177))/2 $ , $ (21-sqrt(177))/2 $, quindi uno nullo e due positivi. Non penso che ricavarmi il polinomio ...
Buonasera, in un esercizio a risposta multipla mi viene data la matrice associata ad un endomorfismo e devo dire se è diagonalizzabile, se non è perchè ad esempio l'autospazio ha dimensione diversa dalla molteplicità algebrica ecc. In generale come posso essere risolti senza calcolare gli autovalori e gli autospazi? Abbiamo circa 1 minuto e mezzo a domanda e non è fattibile (visto che a volte ce ne sono anche 2 di questo tipo) riuscire a calcolare gli zeri del polinomio caratteristico di quarto ...
Salve a tutti, studiando la teoria delle coniche mi è sorto un dubbio riguardante gli asintoti di un'iperbole .
Da un punto di vista geometrico l'asintoto di una conica è una retta propria tangente ad essa(alla conica).Ogni iperbole ammette due asintoti che si ottengono come rette polari dei due punti impropri dell'iperbole.Le coordinate proiettive di questi punti impropri $P_(1oo)=(lambda_1,mu_1,0) , P_(2oo)=(lambda_2,mu_2,0)$ sono soluzioni dell'equazione che si ottiene intersecando l'equazione di una conica in coordinate ...
Salve avrei bisogno di una mano per questo esercizio.
Si consideri il prodotto scalare $ phi :R^3xx R^3->R $ dato da:
$ phi (X,Y)=X^tAY. A=( ( 2 , 1 , 0 ),( 1 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $
1) Verificare che $phi$ è definito positivo.
2) Stabilire se esiste una matrice $N$ tale che $N^t N=A$.
Il punto 1) l'ho svolto tranquillamente: ho trovato gli autovalori di A che risultano essere 1 e 3, entrambi positivi.
Mi servirebbe sapere come svolgere il punto due e il suo significato teorico.
Granzie in anticipo.
Sia \( X = \begin{cases} \end{cases}\begin{pmatrix} a & a \\ a & a \end{pmatrix} / a\in R \)
Definire (se possibile) una applicazione lineare di X in R2[x] tale che l’immagine abbia dimensione almeno 1
(un punto in più se si trova con dimensione 2).
Io devo definire \( f: X \rightarrow R2[x] \)
La dimensione di X è 1, giusto?
Quindi sapendo che la \( dim(Imf)+dim(kerf)= dimX = 1 \) , sicuramente l'immagine non può avere dimensione 2.
Considero quindi
\( f: X \rightarrow R2[x] \)
\( ...
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