Geometria e Algebra Lineare

Buongiorno a tutti, volevo sapere, come ridurre una matrice a scala ridotta ovvero con i 0 sotto e sopra ai pivot con gauss, io di solito prima riduco a scala trovando gli 1 dominanti sulla diagonale principale, ma poi come metto gli zeri sopra la diagonale principale, per esempio. x1 + 2x2 + 2x3 − x4 + 4x5 = 2 8x1 − 2x3 + 3x4 − 7x5 = −3 −x1 − x2 + 2x2 + 3x3 − x4 + x5 = 0 ho questo sistema, dopo i passi ottengo: 1 2 3 -1 4 2 0-2-5 4 3 -5 0 0 -3 8 19 -11 ora la matrice è ridotta, ma ...

Buonasera, ho un dubbio che cercando su internet non riesco a risolvere. Date due forme quadratiche su $RR^n$ per determinare che esse sono congruenti mi basta trovare che le Matrici ad esse associate hanno la stessa segnatura? Inoltre per determinare che due forme quadratiche provengono da un prodotto Euclideo su $RR^n$ mi basta trovare che la segnatura è esattamente $(n_+,0_0,0_-)$? Grazie

Salve a tutti, ho un problema.. non so proprio come impostare gli esercizi di questo tipo.. testo esercizio: In R3 ho l'equazione del piano S x+y+z=0 sia φ la funzione che ad ogni punto X associa la differenza π₁(X) - π₂(X) tra la sua proiezione ortogonale π₁(X) su S e la sua proiezione ortogonale π₂(X) su S⊥ ( S ortogonale) scrivere la matrice che rappresenta φ rispetto alla base canonica

Salve, questo è l'esercizio che propongo, in quanto è da circa due ore che cerco in tutti i forum di matematica, ma non sono riuscito a trovare anche solo un metodo di risoluzione di questo esercizio. Vi ringrazio in anticipo

Buongiorno, ho alcune (parecchie) difficoltà sulla dimostrazione di questo lemma: Siano $ f : V → V $ un endomorfismo e $ h(t), k(t) ∈ K[t] $ polinomi senza fattori comuni. Allora $ Ker(h(f)) ∩ Ker(k(f)) = 0 $ In particolare, se $ h(t) $ non ha fattori in comune con il polinomio minimo $ qf (t)$ , allora l’endomorfismo $ h(f) $ è invertibile. Il lemma sul libro è dimostrato così: Il sottospazio $ H = Ker(h(f)) ∩ Ker(k(f)) $ è f-invariante e dunque il polinomio minimo di ...

Sapete aiutarmi con questo esercizio? non riesco a capire come devo fare. Testo dell'esercizio: Studiare i punti della curva algebrica piana $ y^6 -2y^3 -x^2+3y^2=0 $ comuni con l’asse x, determinando le rispettive tangenti. - Per prima cosa metto a sistema la curva con l'asse (y=0). - Otterrò che si intersecano in P(0,0) con molteplicità 2. in coordinate omogenee sarà P(0,0,1). - Poi viene ricavato un'altro punto, che non ho capito come viene trovato, ma con molteplicità 4 - poi non ho capito come ...

Ho dei dubbi sulla correttezza di questo esercizio che ho provato a risolvere. Data la retta $r:$ ${x in RR^3: x_1+x_2+x_3+1=0 ; x_1-x_2=0}$ e la retta $s:$ ${x in RR^3:x_1-x_3=0 ; x_2-1=0}$ Trovare le equazioni cartesiane della retta $l$ passante per $P(0,0,0)$ ed intersecante $r$ e $s$ Io ho fatto così: Fascio di piani passante per $r:$ $k(x_1+x_2+x_3+1) + m(x_1-x_2)=0$ E imponendo il passaggio per $P$ si trova il ...

Salve a tutti! Non riesco a risolvere il seguente sistema di equazioni lineari con parametro $\lambda$. Gentilmente, potreste darmi una mano? $\{((\lambda+1)X+Y+Z-T=0), ((2-\lambda)X+(2+\lambda)Y+2Z-(\lambda+1)T=\lambda), (-X-Y-(\lambda+1)^(2)Z+T=1-\lambda):}$ Grazie in anticipo per l'aiuto!

Buonasera, sapreste fornirmi una dimostrazione (il più semplice possibile) al teorema di esistenza degli autovettori che garantisce l'esistenza di autovettori (o meglio di un $\lambda$ e di un vettore $u$ tali che $A(u)=\lambdau$) a patto che si lavori con spazi vettoriali complessi? So che il tutto è legato al teorema fondamentale dell'algebra in quanto gli zeri del polinomio caratteristico si trovano sicuramente all'interno di $\CC$ ma non riesco a capire ...

Siano $V,V',W$ spazi vettoriali, voglio mostrare che esiste un isomorfismo di spazi vettoriali $(V \oplus V') \otimes W \cong (V \otimes W) \oplus (V' \otimes W)$. Sia ${v_i}_{i=1,...,n}$ una base di $V$, sia ${v'_j}_{j=1,...,m}$ una base di $V'$ e sia ${w_k}_{k=1,...,p}$ una base di $W$. Allora ${(v_i+v'_j) \otimes w_k}_{i,j,k}$ è una base di $(V \oplus V') \otimes W$. Definisco $F:(V \oplus V') \otimes W -> (V \otimes W) \oplus (V' \otimes W)$ ponendo $F((v_i+v'_j) \otimes w_k)=(v_i \otimes w_k)+(v_j \otimes w_k)$. Come posso verificare che $F$ è un isomorfismo?

Buonasera,sto cercando di classificare le superfici triplamente rigate. Secondo voi il mio ragionamento quadra? Una superficie si dice triplamente rigata se per ogni suo punto passano 3 rette/segmenti(contenute nella superficie). Ora, ogni retta ha curvatura normale nulla. Quindi per ogni punto avremo almeno 3 direzioni asintotiche e perciò infinite direzioni asintotiche. Quindi $k_1=k_2=0$ dove con $k_1$ e $k_2$ indico le curvature principali. quindi la curvatura ...

Buonasera, ho difficoltà ad esprimere la seguente retta in forma parametrica: $r:{\(x+12y+az-1=0),(x-4y-3z+a+4=0):}$. Come procedereste?

Sia V uno spazio vettoriale finitamente generabile. Siano A, B e C sottospazi vettoriali di V . E’ valida la seguente relazione? \( (A + C )\cup B = < A \cup B, C \cup B > \) (se sì dimostrarla, altrimenti fornire un controesempio in R2) Il mio scopo è quello di dimostrare che la dimensione del sottospazi generato è uguale all'unione di ((A+C) U B) ma non riesco a capire proprio da dove iniziare. Grazie dell'aiuto

Assegnato l'endomorfismo \(\displaystyle f(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \rightarrow (y+z, -x+2y+z, x-y) \in \mathbb{R}^3 \) determinare i valori di \(\displaystyle h \) tali che il vettore \(\displaystyle (h^2,h,12) \) appartenga a \(\displaystyle Im(f) \) Io ho svolto l'esercizio nel seguente modo: Ho scelto il riferimento canonico e ho ricavato due immagini \(\displaystyle f(1,0,0) = (0, -1, 1) \) \(\displaystyle f(0,1,0) = (1, 2, -1) \) E ho quindi scritto l'insieme immagine come ...

Buonasera a tutti. Mi sono imbattuta in questo quesito: Nello spazio a 3 dimensioni, un poliedro convesso ha tutte le facce triangolari. Dimostra che il numero $n$ delle facce del poliedro può assumere infiniti valori, tutti pari. Avrei pensato di utilizzare la relazione di Eulero $F=2+S-V$. Dato che ogni spigolo è in comune a due facce posso dire che $3F=2S $. Non so però come trovare una relazione che possa aiutarmi tra il numero di vertici e le facce, poiché ...

Salve ragazzi , ho un sistema linerare a 3 incognite e 2 parametri (h,k).... $\{(hx - 2ky + (k-1)z = 0),((h-1)x -6y +z= 1):}$ Mi viene chiesto per quali coppie di valori il sistema ammette soluzione ed eventualmente determinarle.... Mi ricavo la matrice completa dal sistema : $((h,-2k,k-1,0),(h-1,-6,1,1))$ Da qui inizio ad avere qualche difficoltà....trovo il determinante della matrice dei coefficienti che viene $ 4k-6 $. Ed è diverso da zero se $ k!= 3/2$ , e quindi la matrice dei coeff. Avrà rango 2 così come il ...

Determinare l’equazione del piano contenente \(\displaystyle r \) di direzione \(\displaystyle v(-2, 1, 2) \) e parallelo alla retta \(\displaystyle s \) di equazioni \(\displaystyle x + y + 1 = 0 \) e \(\displaystyle y + z - 1 = 0 \) Ho trovato che la retta \(\displaystyle s \) ha direzione \(\displaystyle v'(1,-1,1) \) Dopodiché ho pensato che il piano fosse esattamente quello generato da \(\displaystyle r \) e \(\displaystyle s \) $ lambda':{( ( x ),( y ),( z ) )=t( ( -2 ),( 1 ),( 2 ) )+s( ( 1 ),( -1 ),( 1 ) )+( ( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $ Da notare che il punto \(\displaystyle ...

Si consideri il punto \(\displaystyle P(2,3,-1) \), la retta \(\displaystyle r \) contenente i punti \(\displaystyle A(1,2,-2) \) e \(\displaystyle B(-1,3,0) \) e si consideri il piano \(\displaystyle \lambda : 2x+y+1 = 0 \) Determinare il piano \(\displaystyle \lambda ' \) contenente il punto \(\displaystyle P \), ortogonale a \(\displaystyle \lambda \) e parallelo a \(\displaystyle r \) # Per prima cosa ho ricavato il vettore direzione di \(\displaystyle r \) che è \(\displaystyle ...

Buonasera, vorrei proporvi il seguente esercizio articolato in più punti, alcuni dei quali non mi sono affatto chiari: Sia $f:RR^4->RR^4$ l'endomorfismo definito da $f"("(x,y,z,t)")"=(-2x+3y, 4x-6y-2z+t,10z-5t,2z-t)$: 1)Determinare una base e la dimensione di $Ker(f)$ ed $Im(f)$. Completare la base scelta in $Im(f)$ a base di $RR^4$; 2)Posto $U={(x,y,z,t):2x+9y-3z=0,2x+3t=0}$, determinare una base e la dimensione dei sottospazi di $RR^4$ $Im(f)nnU e Im(f)+U$; 3)Determinare la ...

Ciao ragazzi. Ho un dubbio su un esercizio. L'esercizio è il seguente. Siano $ omega=ydz-zdy, psi=zdx-xdz, varphi=xdy-ydx. $ Calcolare $ omega^^psi, omega^^psi^^varphi $ $f(x,y)=arctan(y/x), x!= 0 e pi/2, y> 0, x=0 $ Ho calcolato i due prodotti ma non so come procedere. Devo sostituire nella funzione? Grazie mille a chi mi aiuterà.