Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve a tutti, ho un problema.. non so proprio come impostare gli esercizi di questo tipo..
testo esercizio:
In R3 ho l'equazione del piano S
x+y+z=0
sia φ la funzione che ad ogni punto X associa la differenza π₁(X) - π₂(X) tra la sua proiezione ortogonale π₁(X) su S e la sua proiezione ortogonale π₂(X) su S⊥ ( S ortogonale)
scrivere la matrice che rappresenta φ rispetto alla base canonica
Buongiorno,
ho alcune (parecchie) difficoltà sulla dimostrazione di questo lemma:
Siano $ f : V → V $ un endomorfismo e $ h(t), k(t) ∈ K[t] $ polinomi senza fattori comuni. Allora
$ Ker(h(f)) ∩ Ker(k(f)) = 0 $
In particolare, se $ h(t) $ non ha fattori in comune con il polinomio minimo $ qf (t)$ , allora l’endomorfismo $ h(f) $ è invertibile.
Il lemma sul libro è dimostrato così:
Il sottospazio $ H = Ker(h(f)) ∩ Ker(k(f)) $ è f-invariante e dunque il polinomio minimo di ...
Sapete aiutarmi con questo esercizio? non riesco a capire come devo fare.
Testo dell'esercizio:
Studiare i punti della curva algebrica piana
$ y^6 -2y^3 -x^2+3y^2=0 $
comuni con l’asse x, determinando le rispettive tangenti.
- Per prima cosa metto a sistema la curva con l'asse (y=0).
- Otterrò che si intersecano in P(0,0) con molteplicità 2. in coordinate omogenee sarà P(0,0,1).
- Poi viene ricavato un'altro punto, che non ho capito come viene trovato, ma con molteplicità 4
- poi non ho capito come ...
Ho dei dubbi sulla correttezza di questo esercizio che ho provato a risolvere.
Data la retta $r:$
${x in RR^3: x_1+x_2+x_3+1=0 ; x_1-x_2=0}$
e la retta $s:$
${x in RR^3:x_1-x_3=0 ; x_2-1=0}$
Trovare le equazioni cartesiane della retta $l$ passante per $P(0,0,0)$ ed intersecante $r$ e $s$
Io ho fatto così:
Fascio di piani passante per $r:$
$k(x_1+x_2+x_3+1) + m(x_1-x_2)=0$
E imponendo il passaggio per $P$ si trova il ...
Salve a tutti!
Non riesco a risolvere il seguente sistema di equazioni lineari con parametro $\lambda$. Gentilmente, potreste darmi una mano?
$\{((\lambda+1)X+Y+Z-T=0), ((2-\lambda)X+(2+\lambda)Y+2Z-(\lambda+1)T=\lambda), (-X-Y-(\lambda+1)^(2)Z+T=1-\lambda):}$
Grazie in anticipo per l'aiuto!
Buonasera, sapreste fornirmi una dimostrazione (il più semplice possibile) al teorema di esistenza degli autovettori che garantisce l'esistenza di autovettori (o meglio di un $\lambda$ e di un vettore $u$ tali che $A(u)=\lambdau$) a patto che si lavori con spazi vettoriali complessi? So che il tutto è legato al teorema fondamentale dell'algebra in quanto gli zeri del polinomio caratteristico si trovano sicuramente all'interno di $\CC$ ma non riesco a capire ...
Siano $V,V',W$ spazi vettoriali, voglio mostrare che esiste un isomorfismo di spazi vettoriali $(V \oplus V') \otimes W \cong (V \otimes W) \oplus (V' \otimes W)$.
Sia ${v_i}_{i=1,...,n}$ una base di $V$, sia ${v'_j}_{j=1,...,m}$ una base di $V'$ e sia ${w_k}_{k=1,...,p}$ una base di $W$.
Allora ${(v_i+v'_j) \otimes w_k}_{i,j,k}$ è una base di $(V \oplus V') \otimes W$.
Definisco $F:(V \oplus V') \otimes W -> (V \otimes W) \oplus (V' \otimes W)$ ponendo $F((v_i+v'_j) \otimes w_k)=(v_i \otimes w_k)+(v_j \otimes w_k)$.
Come posso verificare che $F$ è un isomorfismo?
Buonasera,sto cercando di classificare le superfici triplamente rigate. Secondo voi il mio ragionamento quadra?
Una superficie si dice triplamente rigata se per ogni suo punto passano 3 rette/segmenti(contenute nella superficie). Ora, ogni retta ha curvatura normale nulla. Quindi per ogni punto avremo almeno 3 direzioni asintotiche e perciò infinite direzioni asintotiche. Quindi $k_1=k_2=0$ dove con $k_1$ e $k_2$ indico le curvature principali. quindi la curvatura ...
Buonasera,
ho difficoltà ad esprimere la seguente retta in forma parametrica:
$r:{\(x+12y+az-1=0),(x-4y-3z+a+4=0):}$.
Come procedereste?
Sia V uno spazio vettoriale finitamente generabile. Siano A, B e C sottospazi vettoriali di V . E’ valida la seguente
relazione?
\( (A + C )\cup B = < A \cup B, C \cup B > \)
(se sì dimostrarla, altrimenti fornire un controesempio in R2)
Il mio scopo è quello di dimostrare che la dimensione del sottospazi generato è uguale all'unione di ((A+C) U B) ma non riesco a capire proprio da dove iniziare. Grazie dell'aiuto
Assegnato l'endomorfismo \(\displaystyle f(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \rightarrow (y+z, -x+2y+z, x-y) \in \mathbb{R}^3 \) determinare i valori di \(\displaystyle h \) tali che il vettore \(\displaystyle (h^2,h,12) \) appartenga a \(\displaystyle Im(f) \)
Io ho svolto l'esercizio nel seguente modo:
Ho scelto il riferimento canonico e ho ricavato due immagini
\(\displaystyle f(1,0,0) = (0, -1, 1) \)
\(\displaystyle f(0,1,0) = (1, 2, -1) \)
E ho quindi scritto l'insieme immagine come ...
Buonasera a tutti. Mi sono imbattuta in questo quesito:
Nello spazio a 3 dimensioni, un poliedro convesso ha tutte le facce triangolari. Dimostra che il numero $n$ delle facce del poliedro può assumere infiniti valori, tutti pari.
Avrei pensato di utilizzare la relazione di Eulero $F=2+S-V$. Dato che ogni spigolo è in comune a due facce posso dire che $3F=2S $. Non so però come trovare una relazione che possa aiutarmi tra il numero di vertici e le facce, poiché ...
Salve ragazzi , ho un sistema linerare a 3 incognite e 2 parametri (h,k)....
$\{(hx - 2ky + (k-1)z = 0),((h-1)x -6y +z= 1):}$
Mi viene chiesto per quali coppie di valori il sistema ammette soluzione ed eventualmente determinarle....
Mi ricavo la matrice completa dal sistema : $((h,-2k,k-1,0),(h-1,-6,1,1))$
Da qui inizio ad avere qualche difficoltà....trovo il determinante della matrice dei coefficienti che viene $ 4k-6 $.
Ed è diverso da zero se $ k!= 3/2$ , e quindi la matrice dei coeff. Avrà rango 2 così come il ...
Determinare l’equazione del piano contenente \(\displaystyle r \) di direzione \(\displaystyle v(-2, 1, 2) \) e parallelo alla retta \(\displaystyle s \) di equazioni \(\displaystyle x + y + 1 = 0 \) e \(\displaystyle y + z - 1 = 0 \)
Ho trovato che la retta \(\displaystyle s \) ha direzione \(\displaystyle v'(1,-1,1) \)
Dopodiché ho pensato che il piano fosse esattamente quello generato da \(\displaystyle r \) e \(\displaystyle s \)
$ lambda':{( ( x ),( y ),( z ) )=t( ( -2 ),( 1 ),( 2 ) )+s( ( 1 ),( -1 ),( 1 ) )+( ( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $
Da notare che il punto \(\displaystyle ...
Si consideri il punto \(\displaystyle P(2,3,-1) \), la retta \(\displaystyle r \) contenente i punti \(\displaystyle A(1,2,-2) \) e \(\displaystyle B(-1,3,0) \) e si consideri il piano \(\displaystyle \lambda : 2x+y+1 = 0 \)
Determinare il piano \(\displaystyle \lambda ' \) contenente il punto \(\displaystyle P \), ortogonale a \(\displaystyle \lambda \) e parallelo a \(\displaystyle r \)
#
Per prima cosa ho ricavato il vettore direzione di \(\displaystyle r \) che è \(\displaystyle ...
Buonasera,
vorrei proporvi il seguente esercizio articolato in più punti, alcuni dei quali non mi sono affatto chiari:
Sia $f:RR^4->RR^4$ l'endomorfismo definito da $f"("(x,y,z,t)")"=(-2x+3y, 4x-6y-2z+t,10z-5t,2z-t)$:
1)Determinare una base e la dimensione di $Ker(f)$ ed $Im(f)$. Completare la base scelta in $Im(f)$ a base di $RR^4$;
2)Posto $U={(x,y,z,t):2x+9y-3z=0,2x+3t=0}$, determinare una base e la dimensione dei sottospazi di $RR^4$ $Im(f)nnU e Im(f)+U$;
3)Determinare la ...
Ciao ragazzi. Ho un dubbio su un esercizio. L'esercizio è il seguente.
Siano
$ omega=ydz-zdy, psi=zdx-xdz, varphi=xdy-ydx. $
Calcolare
$ omega^^psi, omega^^psi^^varphi $
$f(x,y)=arctan(y/x), x!= 0 e pi/2, y> 0, x=0 $
Ho calcolato i due prodotti ma non so come procedere. Devo sostituire nella funzione? Grazie mille a chi mi aiuterà.
Sia V uno spazio vettoriale finitamente generabile e siano \( H1,H2,H3 \) sottospazi di V .
Si supponga che per ogni \( v\in V \) esistano e siano univocamente determinati
\( hi\in Hi \) tali che \( v = h1+h2+h3 \) . Dimostrare che \( V = H1\oplus H2\oplus H3 \)
Devo dimostrare che l'intersezione tra i tre sottospazi è uguale al singleton dell'elemento neutro e la loro somma è uguale a V, ma non riesco a capire come fare.
Grazie dell'aiuto
Sia \( f : R2\rightarrow R2 \)
un applicazione lineare diagonalizzabile che ammetta un solo autovalore di molteplicità geometrica 2
e tale che
\( f(2,0)+f(1,0) = f(2,0) \)
Calcolare i possibili valori per \( f(\pi ,\pi /4) \) .
Dalla relazione ricavo che : \( f(1,0) = (0,0) \ e
f(2,0)=(a,b) \)
Quindi avrò \( A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ b & 0 \end{pmatrix} \) da cui \( |A -tIn| = -t(a-t) \).
Ricavo \( a = 0 \) , dove la molteplicità ...
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