Famiglia degli intorni di un punto
Buongiorno a tutti.
Ho un dubbio assai banale ma del quale non riesco a venire a capo.
Su varie fonti si definisce la famiglia degli intorni $N(x)$ di un punto $x$, appartenente ad un generico insieme non vuoto $X$, come la famiglia degli insiemi di $X$ tale che valgano i seguenti 4 assiomi:
$1) \forall N \in N(x) \quad x \in N$;
$2) \forall N \in N(x)$ e $\forall M \subseteq X | N \subseteq M$ allora $M \in N(x)$;
$3) \forall N,M \in N(x) \quad N \cap M \in N(x)$;
$4) \forall N \in N(x) \quad \exists M \in N(x) | \forall y \in M \quad N \in N(y)$.
Adesso, i primi tre sono chiarissimi. Il quarto però su altre fonti lo ritrovo scritto come segue:
$4) \forall N \in N(x) \quad \exists M \in N(x) | M \subseteq N$ e $\forall y \in M \quad M \in N(y)$.
Questa seconda forma però non mi sembra affatto equivalente alla prima. Ho ragione? Se non sono due scritture equivalenti, qual è quella giusta?
Grazie in anticipo.
Ho un dubbio assai banale ma del quale non riesco a venire a capo.
Su varie fonti si definisce la famiglia degli intorni $N(x)$ di un punto $x$, appartenente ad un generico insieme non vuoto $X$, come la famiglia degli insiemi di $X$ tale che valgano i seguenti 4 assiomi:
$1) \forall N \in N(x) \quad x \in N$;
$2) \forall N \in N(x)$ e $\forall M \subseteq X | N \subseteq M$ allora $M \in N(x)$;
$3) \forall N,M \in N(x) \quad N \cap M \in N(x)$;
$4) \forall N \in N(x) \quad \exists M \in N(x) | \forall y \in M \quad N \in N(y)$.
Adesso, i primi tre sono chiarissimi. Il quarto però su altre fonti lo ritrovo scritto come segue:
$4) \forall N \in N(x) \quad \exists M \in N(x) | M \subseteq N$ e $\forall y \in M \quad M \in N(y)$.
Questa seconda forma però non mi sembra affatto equivalente alla prima. Ho ragione? Se non sono due scritture equivalenti, qual è quella giusta?
Grazie in anticipo.
Risposte
La seconda (che è quella giusta) implica la prima. La prima implica $M\subseteqN$, ma non so se anche l'altra parte, penso di no ma non riesco a trovare un controesempio. Ad ogni modo tu usa la seconda.
Grazie mille! Mi ero proprio bloccato usando la prima infatti.
Considera un insieme con almeno \(\displaystyle3\) punti distinti \(\displaystyle S\), fissi un punto \(\displaystyle x_0\) e consideri la topologia concentrata su \(\displaystyle x_0\), ovvero \(\displaystyle A\subseteqq S\) è aperto se e solo se \(\displaystyle A\) è l'insieme vuoto oppure \(\displaystyle x_0\in A\).
Vedrai che gli intorni di \(\displaystyle x_0\) soddisfano la (4.2) ma non la (4.1).
Vedrai che gli intorni di \(\displaystyle x_0\) soddisfano la (4.2) ma non la (4.1).
Ma sei sicuro? A me sembra che la soddisfino con $M=N$ ad esempio.
La (4.1) diventa banale se non si esclude che \(\displaystyle M\neq N\)... no?
Perché?
Per intorni io intendo solo gli insiemi aperti, quindi sono concorde col mio ragionamento;
ma se per intorni si intendo gli insiemi ad interno non vuoto, non sono più concorde col mio ragionamento...
Quindi devo chiedere all'OP quale sia la definizione di intorno che sta utilizzando.
ma se per intorni si intendo gli insiemi ad interno non vuoto, non sono più concorde col mio ragionamento...
Quindi devo chiedere all'OP quale sia la definizione di intorno che sta utilizzando.
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