Dimensione spazio di Riemann Roch L(nP)

[DStellati]

Salve a tutti. Sto avendo problemi con esercizi di questo tipo:

Si consideri la curva
\(\mathbb{C}=\{[X,Y,Z] \in \mathbb{P}^2\mathbb{C} \mbox{ | }X^4-Y^4+Z^4=0\}\)
sia $p=[0,i,1]$. Calcola $l(np)$ per $n\geq0$.

Nell'esempio in questione ad esempio riesco a fare i casi $n\geq 5$ perché seguono dal teorema di riemann roch e dunque $l(np)=n-2$.

Per $n=4$ dato che la tangente in $p$ ha grado 1 e interseca la curva in $4p$ ho che $4p$ è canonico e quindi $l(4p)=3$. Questo mi dice anche che $l(0p)=1$.

Non so però come trattare i casi rimanenti (se non procedere a casaccio cercando di costruirne una base che non penso sia l'approccio corretto). Qualcuno ha qualche idea? Grazie mille in anticipo.

[Stickelberger]

Va solo dimostrato che la curva non e’ iperellittica.

Sia $k$ un campo finito di $9$ elementi. Anche su $k$ la curva e’ liscia ed ha genere $3$.
E’ facile vedere che ci sono $28$ punti $k$-razionali. Siccome una curva iperellittica
ha al piu’ $2(9+1)=20$ punti $k$-razionali, la curva non e’ iperellittica e abbiamo
che $l(0)=l(P)=l(2P)=1$. Ne segue che $l(3P)=2$.

[DStellati]

Innanzitutto grazie per la risposta. Non sono però sicuro di aver ben compreso il ragionamento. Penso mi manchi qualche nozione. Nel corso che sto seguendo il professore sta usando della dispense scritte da lui e questo metodo dei campi finiti non vi compare.

Hai per caso qualche fonte dove posso andare ad approfondire? Grazie mille ancora.