Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Buongiorno,
Vi riporto la proposizione che vorrei vederne una sua applicazione
Siano $V,W$ due spazi vettoriali e sia $B_V={v_1,...,v_n}$ una base di $V$ e siano $w_1,...,w_n$ vettori qualunque di $W$. Allora esiste un'unica applicazione lineare $f:V to W$ tale che $forall j quad 1 le j le n$ si ha $ f(v_j)=w_j$.
L'applicazione $f$ è definita ponendo $f(a_1v_1+...+a_nv_n)=a_1w_1+...+a_nw_n$ per tutti gli scalari $a_1,...,a_n in RR$.
Ora vi chiedo il ...
Supponiamo che possiamo scrivere \( X = \bigcup_{i=1,\ldots,n} A_i \) dove ciascun \( A_i \) è connesso, e per ogni \( i = 2, \ldots, n \) abbiamo che \( A_i \cap A_{i-1} \neq \emptyset \), dimostra che \( (X, \tau_X ) \) è connesso. La conclusione rimane vera anche se consideriamo \( X = \bigcup_{i\in \mathbb{N}} A_i \) ?
La conclusione rimane vera anche se sostituiamo connessione per cammini al posto di connessione?
Dubbio 1) Quando intende che ciascun \( A_i \) è connesso sottointende con la ...
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Studente Anonimo
26 dic 2019, 20:08
Consideriamo \( \mathbb{R} \) con la topologia standard e \( \mathbb{R} \times \mathbb{R} \) con la topologia prodotto. Dimostra che lo spazio risultante è omeomorfo a \( \mathbb{R}^2 \) con la topologia euclidea.
(1) Dimostriamo che per ogni aperto \( U \) nella topologia euclidea abbiamo che \( U \) è aperto nella topologia prodotto. È sufficiente dimostrare che per ogni punto \( x \in U \) esiste un insieme \( U' \) tale che è aperto rispetto alla topologia prodotto e tale che \( x \in U' ...
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Studente Anonimo
26 dic 2019, 19:49
Sia \( \left( (X_i, \tau_{X_i} ) \right)_{i \in I} \) una collezione di spazi topologici connessi per cammini. Dimostra che il prodotto \(X= \prod_{i \in I} X_i \) con la topologia prodotto è connesso per cammino.
Non capisco una parte della dimostrazione
Siano \( x= (x_i)_{i \in I} \) e \( y= (y_i)_{i \in I} \) due punti di \( \prod_{i \in I} X_i \), allora per ogni \(i \) possiamo trovare un cammino \( \gamma_i \) in \( X_i \) tale che \(\gamma_i(0)=x_i \) e \( \gamma_i(1)=y_i \), (usando ...
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Studente Anonimo
26 dic 2019, 19:39
Ciao ragazzi! Ho bisogno di chiarimenti riguardo questa tipologia di esercizi. Ne lascio uno così posso capire al meglio se sbaglio qualcosa nel mio procedimento.
Stabilire per quali valori del parametro reale k il seguente sistema lineare ammette soluzioni ed eventualmente determinarle
$\{(x+k=1),(kx - y = 0),((k+1)x = k-1):}$
Come da prassi la prima cosa da fare è trascrivere il sistema in matrice incompleta :
$((1, k),(k, -1),(k+1, 0))$
e successivamente quella completa:
$((1, k, 1),(k, -1, 0),(k+1, 0, k-1))$
Con riferimento la matrice ...
Buongiorno a tutti voi,
mi trovo perso in alcuni concetti di meccanica razionale che sfruttano la geometria differenziale e sono qui per chiedere una mano a voi.
Il tutto è iniziato in questo thread https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6&t=204714 dove avevo posto la domanda riguardo a:
Dove si applica Dini, nel corso dello studio ho affrontato un altro teorema, quello del valore regolare, e mi è sorto un dubbio. Il consiglio di un altro utente è stato quello di scrivere qui, ed eccomi a ...
Salve, avrei bisogno di un aiuto in un esercizio.
Quest'ultimo mi chiede di trovare un parametro (t), affinchè l'applicazione lineare:
φ(t) ={φt(e1)= te1-e2+8e3;φt(e2)=5e2;φt(e3)=2e1+e2-te3}
abbia come immagine R^3.
Sinceramente non ho idea di come impostare l'esercizio. Forse può essere utile l'indipendenza delle righe(e/o colonne) della matrice?
Grazie mille in anticipo a chi riesce ad aiutarmi, e scusate se non ho scritto giusto qualcosa, ma è il mio primo post qui.
\( \newcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \)\( \newcommand{\Mat}{\operatorname{M}} \)\( \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \)Ciao. Voglio definire il rango di una matrice \( A \) di \( m \) righe per \( n \) colonne a coefficienti in un campo \( K \). Ma non voglio dire che \( \rk A \) è il massimo numero di colonne linearmente indipendenti di \( A \): voglio farlo come segue.
Definizione. Sia \( A \) una matrice \( m\times n \) a coefficienti in \( K \). Dati due spazi vettoriali \( V \) (di ...
Buongiorno a tutti!
Mi scuso per il titolo in inglese ma non saprei bene come rendere in italiano il concetto (topologia del mezzo disco?).
Sto cercando di dimostrare tramite un controesempio che un spazio topologico $T_2$ non necessariamente è $T_3$, dove con $T_3$ intendo regolare e $T_1$.
Il controesempio più gettonato è quello che include la half-disk topology.
In sostanza consideriamo $X=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \ge 0\}$ e muniamolo della seguente ...
Salve a tutti, desidero un chiarimento circa gli autovalori e le forme quadratiche. Se per ipotesi, ho una matrice A di ordine n, con autovalori tutti strettamenti positivi, e un generico vettore X=(X1,.......,Xn), il prodotto X*A*X^t, è sempre strettamente positivo, a prescindere dal fatto che A sia simmetrica o meno?
P.s. X^t indica il vettore X trasposto, visto che ancora non ho compreso i codici per scrivere in matematichese su questo forum.
Buongiorno,
Ho la seguente proposizione
L'intersezione di una famiglia di sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale $V(K)$ è un sottospazio
Quindi se prendo $RR^n:=V(K)$ e considero i sottospazi $RR^2$ e $RR^3$ la loro intersezione è un sottospazio.
Ora come posso determinare la forma di tale sottospazio..... dovrei determinare la base dell'intersezione ?
Ciao
A|B =$ ( ( k , 1, 1 ,k),( 1, -k, 1,1 ),( 1, 1 , 1, k ),( -1, -1 , 1, -1 ) ) $
Sia (x0,y0,z0) l'unica soluzione del sistema per quel valore di k reale per cui il sistema è quadrato.Trovare (x0,y0,z0)
Ho applicato il teorema di Rouchè capelli e poi ho calcolato il determinante ottenendo una equazione di secondo grado ma non so come continuare..
Ciao ragazzi! Purtroppo ho un problema con un esercizio sui cambiamenti di base.
L'esercizio chiede innanzitutto di trovare una base $B$ del sottospazio $W \subset \mathbb{R}^4$ di equazione cartesiana $x_1 +x_2 - x_3 -x_4 =0$. Poi, sia $T:W \rightarrow \mathbb{R}^4$ l'applicazione lineare data da $T(x_1, x_2, x_3, x_4)=(x_1 - x_2 - x_3, x_1+2x_2 + x_4, 2x_1 + x_3 + x_4, x_2 -2x_3)$. Verifica che $Im T \subseteq W$, per cui possiamo considerare $T$ come un endomorfismo di $W$, e trova la matrice che rappresenta questo endomorfismo rispetto alla ...
Salve, mi trovo in difficoltà sul seguente esercizio:
Definire un omomorfismo $f:$ $RR^3$ $to$ $RR^3$ tale che
1. $f(1,2,3)$ $=$ $2*g(0,1,1)$
2. $V=$ ${(x,y,z) | x+z=2x-y=0 }$ sia autospazio con autovalore $lambda=1$
3. $(0,1,1)$ $in$ Immagine di $f$
C'è un'applicazione in particolare che devo trovare o le possibilità sono varie? Comunque per ora ho fatto così:
Ho ...
Buon pomeriggio, mi sono imbattuto un un esercizio di Algebra che non riesco a risolvere, vi riposto il testo:
v1 := (0, 0, 2, −1), v2 := (−1, 1, 2, 1), v3 := (0, 1, 0, 2), v4 := (0, 0, 0, 1).
(1) Verificare che (v1, v2, v3, v4) è base di R^4
(2) Esiste unico f appartenente a end(R^4) tale che
f(v1) = f(v2) = v1 − v3, f(v3) = v1, f(v4) = 0.
Calcolare M(f).
(3) Trovare basi di ker(f) e di im(f).
La parte che mi è rimasta difficile da capire riguarda il punto (3) , in particolare la ...
Ciao a tutti, ho postato una domanda su MSE e ho pensato di proporla anche in questo forum nella speranza di un qualche aiuto. Ne riporto il testo:
I'm looking for ways to simplify the following combinatorial expression: $$S=\sum_{ij}^d\sum_{y\in\{0,1\}^d}2|y|X_{ji}(-1)^{y^j+y^i},$$ where the second sum is over all vectors $y$ of lenght $d$ made of only $0$'s and $1$'s (for a total of ...
ciao a tutti, ho un esercizio che non riesco a svolgere... "in $ E3 (R) $ , fissato un riferimento RC=[0, $ beta $ =( $ i,j,k $ )], si determini lo spazio di traslazione della retta passante per $ P=(17,5,-4) $ ortogonale al piano $ alpha :2x-y+z=9 $"
non so proprio da dove iniziare, so che è banale, ma non mi frulla niente in testa
Ciao mi sono posto la seguente questione (quindi non so se sia vera)
Sia $E$ uno spazio topologico, $G$ un gruppo di omeomorfismi di $E$ e $H$ un sottogruppo normale di $G$. Allora il gruppo degli omeomorfismi del quoziente $E/H$ è il gruppo quoziente $G/H$. Inoltre
\[
\frac{E/H}{G/H}\cong E/G
\]
Azzarderei a dire che ogni omeomorfismo di $E/H$ è del ...
Buonasera a tutti sono nuovo nel forum Dato che devo dare un esame di ricerca operativa e sono molto arruginito di matematica vorrei porvi una domanda a riguardo. Premetto che non ho trovato nulla nello specifico sia nella funzione cerca che su internet.
Avrei bisogno di sapere se il seguente insieme
$A= \{ mathbf(x) in RR^n :\ mathbf(x) >= mathbf(0)\}$
é : Vuoto
Rappresentato in forma implicita
Finito
Nessuna di queste risposte
e il perché della risposta in termini semplici.
Grazie in anticipo a chi ...
Ho questo problema:
Sia V = R2[x] × R2[x]. Trovare tutti gli n per cui V è isomorfo a Rn[x].
La dimensione di V dovrebbe essere 9 perche R2[x] ha cardinalità 3, quindi 3x3 = 9.
Due spazi vettoriali sono isomorfi se hanno la stessa dimensione, quindi V è isomorfo a Rn[x] se n = 8??
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