[EX] Spazi che non sono prodotti

[otta96]

Rieccoci con degli esercizi di topologia!
Dimostrare che se $RR$ è omeomorfo a $X\timesY$ con $X,Y$ spazi topologici, allora uno tra $X$ e $Y$ ha un solo punto.
Dimostrare la stessa cosa con $S^1$ al posto di $RR$.

[solaàl]

Se \(\mathbb R\cong X\times Y\), entrambi \(X,Y\) sono connessi. Ora, l'indice di connessione di \(\mathbb R\) è 1, e invece il numero di punti di taglio di \(X\times Y\) è maggiore quando entrambi \(X\) e \(Y\) hanno almeno due punti.

Per vedere questa ultima cosa, basta vedere che \(X\times Y\setminus \{(x_0,y_0)\}\) è connesso: prendiamo un punto generico \((x,y)\neq (x_0,y_0)\), (esiste per ipotesi, ci sono almeno \(x\neq x_0\) e \(y\neq y_0\)) questo è nella stessa componente connessa di ciascun altro, diciamo \((x',y')\), perché c'è un connesso del prodotto che contiene entrambi.

Buon anno.

[otta96]

Sarebbe meglio mettessi in spoiler la soluzione.

[solaàl]

Ok.

[otta96]

"solaàl":

Se \(\mathbb R\cong X\times Y\), entrambi \(X,Y\) sono connessi. Ora, l'indice di connessione di \(\mathbb R\) è 1, e invece il numero di punti di taglio di \(X\times Y\) è maggiore quando entrambi \(X\) e \(Y\) hanno almeno due punti.

Per vedere questa ultima cosa, basta vedere che \(X\times Y\setminus \{(x_0,y_0)\}\) è connesso: prendiamo un punto generico \((x,y)\neq (x_0,y_0)\), (esiste per ipotesi, ci sono almeno \(x\neq x_0\) e \(y\neq y_0\)) questo è nella stessa componente connessa di ciascun altro, diciamo \((x',y')\), perché c'è un connesso del prodotto che contiene entrambi.

Buon anno.

Ma cosa intendi con indice di connessione? E con punti di taglio?

[solaàl]

https://en.wikipedia.org/wiki/Cut-point Quanti punti devi togliere a uno spazio per disconnetterlo.

[otta96]

Ma perché hai scritto che in $X\timesY$ il numero di punti di taglio è maggiore? Non è nullo (che mi sembra che sia la cosa che dimostri, tra l'altro)?

[solaàl]

Non ho capito la domanda: la dimostrazione è questa: \(\mathbb R\smallsetminus\{x_0\}\) è sconnesso; se \(X,Y\) sono connessi (come devono essere se esistono le proiezioni sui fattori \(X \leftarrow\mathbb R \to Y \)) lo spazio \(X\times Y \smallsetminus \{p\}\).

[otta96]

Si ho capito, quindi il prodotto non ha punti di taglio, sei d'accordo?

[solaàl]

Ah, ho capito cosa non avevi capito. Sì, non ne ha.

Quello che ho chiamato "indice di connessione", forse un po' impropriamente, è la cardinalità minima che un insieme $A$ deve avere per far sì che \(X\smallsetminus A\) sia sconnesso. Per \(X\times Y\), qualsiasi essa sia, è maggiore di 1, e invece per \(\mathbb R\) è 1.

[otta96]

E per $S^1$ come faresti?