Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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I seguenti spazi con la topologia standard sono compatti o no?
- \( \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}) \)
- \( \operatorname{SL}_n(\mathbb{R}) \)
Allora in primo luogo non ho idea di quale sia la topologia standard di questi due spazi
In secondo luogo
Per \( \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}) \) direi che non è compatto poiché esiste una funzione continua \( \det : \operatorname{GL}_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^* \) che non è limitata e contraddice la compattezza!
Per \( ...
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Studente Anonimo
14 nov 2019, 17:20
Buongiorno.
Come da titolo, sia $A in M_n(K)$
\(\displaystyle A=\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} \)
prima operazione
\(\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} \)
seconda operazione
\(\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -2 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} \)
terza ...
Teorema di Binet
Siano $A,B on M_n(K)$ di ha $det(AB)=det(A)det(B)$
Dimostrazione:
\(\displaystyle AB=\begin{vmatrix} a_{11} \mathbf{b}_1 + a_{12}\mathbf{b}_2+...+a_{1n}\mathbf{b}_n \\ a_{21}\mathbf{b}_1 + a_{22}\mathbf{b}_2+...+a_{2n}\mathbf{b}_n \\ ... .... .... \\ a_{n1}\mathbf{b}_1 + a_{n2}\mathbf{b}_2+...+a_{nn}\mathbf{b}_n \end{vmatrix} \)
Sia
\(\displaystyle det(AB)=det\begin{vmatrix} a_{11} \mathbf{b}_1 + a_{12}\mathbf{b}_2+...+a_{1n}\mathbf{b}_n \\ a_{21}\mathbf{b}_1 + ...
Ho una lineare \(f : V \to V\), dove \(V\) è uno spazio vettoriale su campo \(k\). La domanda del titolo.
\(0\) è autovalore di \(f\) se e solo se esiste almeno un \(v \in V \setminus \{0\}\) tale che \[f(v)=0v=O\] dove \(O\) è il vettore nullo. Vale a dire che \(\ker f\) contiene almeno un vettore non nullo oltre al vettore nullo. Il che equivale a dire che \(f\) non è invertibile. Quindi concludo così: \(0\) è autovalore di \(f\) se e solo se \(f\) non è invertibile. È giusta ed esauriente ...
Considera uno spazio di Hausdorff compatto \( (X,\tau_X) \) tale che nessun singoletto è aperto. Dimostra che \(X \) non è numerabile. Deduci che \( [0,1] \) non è numerabile.
Io ho pensato a questo
Supponiamo per assurdo che sia numerabile e consideriamo dunque una biiezione \( f: \mathbb{N} \to X \).
Consideriamo ora una collezione di aperti \( (U_i)_{i \in \mathbb{N}} \), tale che \( U_i \subseteq U_{i+1} \) e tale che \( f(i) \in U_i \). Allora è chiaro che \( X=\bigcup\limits_{i \in ...
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Studente Anonimo
13 nov 2019, 00:51
Nel seguente ho solo un piccolo dubbio sulla domanda a) e invece il dubbio vero è sulla domanda c)
Siano \( G \) un gruppo e \(X,Y \) due \(G\)-insiemi. Consideriamo l'insieme \(F(X,Y ) \) delle applicazioni \(f: X \to Y \) e definiamo un azione
\[ G \times F(X,Y) \to F(X,Y),\ (g,f)\mapsto g \star f \]
Dove \( (g \star f)(x)= g \cdot f(g^{-1} \cdot x ) \) per tutti i \( g \in G \) e \( f \in F(X,Y) \) e \( x \in X \).
a) Dimostra che definisce bene un azione del gruppo \( G \) su \(F(X,Y) ...
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Studente Anonimo
18 nov 2019, 18:21
Consideriamo il gruppo simmetrico \(S_n \) per \( n \geq 1 \).
(a) Sia \( \omega \in S_n \) e \( \tau =(i_1 i_2 \ldots i_k) \) un k-ciclo per \( k \leq n \). Calcolare \( \omega \tau \omega^{-1} \)
(b) Calcolare \( Z(S_n)= \{ \omega \in S_n | \omega \tau = \tau \omega, \forall \tau \in S_n \} \).
Edit:
Allora nel punto (a) ho dimostrato che \( \omega \tau \omega^{-1} = (\omega(i_1) \omega( i_2) \ldots \omega(i_k))\).
Il punto (b) lo svolgo così dunque
\( \tau = (i_1 i_2 \ldots i_k) \), ...
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Studente Anonimo
16 nov 2019, 17:53
Data $f$ applicazione lineare da $CC3[x]->CC3[x]$ determinare la matrice rappresentativa rispetto alla base canonica $B={1,x,x^2,x^3}$
$f(p)(x)=(a3+a2+a1)x^3+(a2+a1+a0)x^2+(a3+a1+a0)x +(a3+a2+2a1+2a0)$
Non ho capito molto bene come la parte iniziale dell'esercizio sia stata risolta.
Posto
$p(x)=a3x^3+a2x^2+a1x+a0$ perché per ogni vettore della base $B$ devo fare
$1=a3x^3+a2x^2+a1x+a0$ da cui si deduce che $a1=a2=a3=0$ e $a0=1$ per poi applicare $f(1)$?
$f(1)=x^2+x+2$ e quindi i primi ...
Il testo dell'esercizio è il seguente: In $P^3(R)$ siano $P= [1, 1,0, 0]$ e H il piano di equazione $2X_0-X_1+X_3=0$. Determinare la proiezione da P in H di $ Q= [1, -1, -1, 1]$.
Penso che per risolverlo si debba trovare l'equazione di una retta passante per P e Q e poi metterla a sistema con l'equazione del piano. È giusto questo ragionamento? Come posso trovare l'equazione cartesiana di una retta per due punti in $P^3$? Saprei farlo solo in $P^2$... qui non ...
Sto studiando i teoremi. Ma molti non li capisco. Cioè non capisco
il modo in cui ci si richiede di ragionare.
Non pochi sono del tipo che, inizialmente, si stabilisce che due
grandezze stanno nel rapporto di $<=$. Nel seguito si fa vedere
che le stesse grandezze - e nello stesso ordine, ovviamente -
stanno anche nel rapporto di $>=$ e se ne conclude che, perciò,
esse coincidono c.v.d.. Non so come si definisca questo tipo di
dimostrazione, ma l'importante non è ...
Propongo il seguente esercizio:
Teorema Falso:
Sia \( (X , \tau) \) uno spazio topologico compatto. Sia \( \{x_n\}_{n\ge 0} \subset X \). Allora esistono una sottosuccessione \( \{x_{n_k}\}_{k \ge 0 } \subset \{x_n\}_{n\ge 0} \) e $x \in X$ tali che
\[ x_{n_k} \overset{k \to + \infty }{\to} x. \]
Dimostrazione Falsa:
Sia \( \{x_n\}_{n\ge 0} \subset X \) e supponiamo per assurdo che non ammetta sottosuccessioni convergenti. Allora per ogni $x \in X$ esiste un intorno aperto di ...
Molte volte trovo definizioni che non mi aiutano
nella comprensione della materia. Pensavo di
aver capito la definizione di copertura lineare
e riesco a svolgere gli esercizi. Ma la definizione
di "più piccolo sottospazio" non riesce a fornirmi
valore aggiunto. Il mio prof. spiega: "Sia ora $S$
un sottinsieme di $V$. Diremo "sottospazio
generato da $S$" il sottospazio intersezione di
tutti i sottospazi di $V$ che contengono ...
Forse non è proprio la sezione più azzeccata, ma da qualche parte dovevo pur metterla.
Se ho $RR^n$ con la norma euclidea e considero due sottospazi affini $V$ e $W$, posso sempre dire che la distanza tra tali sottospazi sia realizzata (ovvero esistono $x\inV$, $y\inW$ tali che $d(V,W)=d(x,y)$)?
Quello che è ovvio è che se sono paralleli oppure si intersecano la risposta è affermativa, quindi ci interessano solo casi in cui sono ...
Buon giorno a tutti,
vorrei proporvi un dubbio (probabilmente banale) a cui però non riesco a dare una spiegazione.
In classe abbiamo trattato la copertura lineare di un sistema o di un sottoinsieme di uno spazio vettoriale e abbiamo verificato che è un sottospazio.
Dato S un sistema o sottoinsieme di uno spazio vettoriale V la copertura lineare è, per definizione, l'insieme di tutte le combinazioni lineari di S.
Volevo però chiedervi, come mai questa definizione è equivalente a dire che la ...
Buongiorno,
Qualcuno potrebbe aiutarmi a risolvere il seguente esercizio?
Il punto A = (-4;5) è il vertice di un quadrato la cui diagonale appartiene all retta 7x - y + 8 = 0. Scrivere le equazioni dei lati e dell’altra diagonale del quadrato.
Grazie!
Salve a tutti
Visto che piano piano ci stiamo avvicinando al periodo di esami, ho iniziato a provare i temi d'esame degli scorsi anni dei quali la mia prof sfortunatamente non da soluzione
Quindi spero in una vostra correzione del mio svolgimento
Sia $V=RR_4[x]$ e sia $L_h$ un suo sottospazio tale che
$L_h = {<br />
f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4:$
$<br />
{ (a_0+a_1-a_2+a_4=0 ),(2a_0-a_1+a_2+2a_4=0 ),( -a_0-4a_1+4a_2+(h+3)a_4=0 ):}<br />
$
$}$
determinare:
[*:27zcvx6r]La dimensione del sottospazio al variare di ...
Salve,
sto rileggendo le proprietà delle basi, in particolare:
Considerato un sistema di vettori $B$ di un sottoinsieme $X$ di vettori di uno spazio vettoriale $V(K)$, si ha che
$a)$ $B$ sistema linearmente indipendente massimale in $X$
$b)$ $B$ sistema linearmente indipendente di generatori di $X$
sul testo viene proposta la dimostrazione del caso $a) to b)$, ...
Volevo sapere se questa formula sulla chiusura della differenza di due insiemi è corrette e se lo è qualcuno me lo sa dimostrare?
cl(A-B)=cl(A)-int(B)
Grazie mille
Buongiorno,
devo dimostrare la seguente proposizione:
La retta che unisce i due punti medi di due lati di un triangolo è parallela al terzo lato.
Il problema è che devo dimostrarla in geometria affine, quindi senza l'utilizzo degli assiomi di congruenza.
Considerando i vertici $A,B,C$ di un triangolo generico, ho $M$ punto medio del segmento $AB$ e $N$ punto medio del segmento $AC$. Per definizione di ...
Buonasera, ho un problema con l'equazione della retta in forma vettoriale.
$x = x_0 + tu$ con $ t $ \( \epsilon \Re \)
So che viene utilizzata per trovare la retta passante per un punto e parallela al vettore $u$ ma non riesco a capire come si arrivi a questa forma e quale sia il proprio significato geometrico.
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