Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
Ordina per
In evidenza
Salve a tutti, ho una piccola perplessità riguardante questo teorema:
W[size=50]1[/size] ∩ W[size=50]2[/size] ogni vettore dello spazio somma si può decomporre univocamente nella somma di un elemento in W[size=50]1[/size] + un elemento in W[size=50]2[/size].
Non mi è chiara la dimostrazione
\( \newcommand{\Mat}{\operatorname{M}} \)\( \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \)Ciao. Devo capire una cosa sulla definizione del prodotto di matrici, riprendendo una cosa che il prof. ha fatto in classe e che non mi è stata molto chiara.
Voglio definire il prodotto di matrici \( \Mat_{m\times n}(K)\times\Mat_{n\times 1}(K)\to\Mat_{m\times 1}(K) \). Dati due \( K \)-spazi vettoriali \( N \) ed \( M \), di dimensione \( n \), \( m \) e basi \( \left\{e_k\right\}_{1\leqq k\leqq n} \), \( ...
\( \newcommand{\pt}[5]{\left(\begin{smallmatrix}#1\\ #2\\ #3\\ #4\\ #5\end{smallmatrix}\right)} \)Ciao. Sia \( M\leqq L \) un sottospazio vettoriale \( m \)-dimensionale di un \( K \)-spazio vettoriale \( L \) di dimensione \( n \). Devo provare che \( M \) è l'intersezione dei nuclei di \( n - m \) funzionali lineari \( f_1,\dots,f_{n - m}\colon L\to K \).
Mi interessa capire se l'idea che mi son fatto sull'uso dei nuclei di funzionali lineari per descrivere sottospazi è buona. Sia \( E = ...
Ciao. Sia V spazio vettoriale reale n-dimensionale, con $\phi$ forma bilineare simmetrica non degenere su V, e segnatura (s,r), $s=n-r>=r$.
Bisogna provare che se U è sottospazio di V per cui la forma ristretta ad U è definita positiva, negativa o è nulla allora rispettivamente vale $dimU<=s,r,r$.
I primi due casi sono facili, penso si possa risolvere così, per esempio se $\phi_{|U}$ definita positiva con $dimU=t>s$, esiste una base di U (per Lagrange) tale ...
Ciao. Definisco una bandiera come una filtrazione (al più) numerabile di uno spazio vettoriale. Mi chiedevo, pensando solo a spazi finito-dimensionali:
1) Ogni spazio vettoriale ammette una bandiera massimale?
Mi sembra ovvia la cosa, ma non riesco a darne una dimostrazione. Se \( \left\{e_i\right\}_{i\in\{1,\dots,n\}} \) è una base di uno spazio \( L \) con \( \dim L = n \), allora posso costruire la bandiera \( 0\subset\langle e_1\rangle\subset\dots\subset\langle e_1,\dots,e_n\rangle \). Mi ...
Ciao a tutti, ho dei problemi con il seguente esercizio di topologia:
Siano in \(\displaystyle A,B,C\in\mathbb{R}^3 \) gli insiemi definiti da:
\(\displaystyle A=\{(x,y,z)|x^2+y^2=1\}, B=A\cap\{z=0\}, C=\{(x,y,z)|x^2+y^2=z^2\} \).
Mostrare che A/B è omeomorfo a C. (poichè non mi dà il simbolo \sim, indico con - la relazione di equivalenza)
So che A/B è lo spazio quoziente A/$- $ dove $-$ è una relazione di equivalenza tale che:
$\forall a,a'\in A, a- a'\Leftrightarrow a=a'\mbox{oppure } a,a'\in B$.
Per costruire un ...
Buongiorno, è possibile strutturare su un insieme $V$ tale che sia costituito da un solo elemento $a ne 0$ una struttura di spazio vettoriale ?
Ad esempio, su $V={0}$ lo posso strutturare ad uno spazio vettoriale, ossia :
1) $0+0=0$
2) $x*0=0 \ forall x in K$
Con la seguente definizione, $V$ risulta uno spazio vettoriale, cioè l'operazioni binarie interne $+,*$ soddisfano le proprietà che definiscono uno spazio vettoriale.
Quindi ...
Salve, ho il seguente sistema lineare
\(\displaystyle S=\begin{cases} x+y+z=a \\ x-ay+z=1 \\ 2x+y+az=a+1 \end{cases} \)
con $a in RR$.
Ho applicato algorimto di Gauss, essendo un sistema di tre equazioni in tre incognite e mi ritrovo qualcosa del tipo, ovviamente non corretta
\(\displaystyle S=\begin{cases} x+y+z=a \\ (a+1)y+2z=1-a \\ ay+az=0 \end{cases} \)
Il risultato è:
caso $a=0$ esistono infinite soluzioni ${x=1+t,\ y=-1-2t,\ z=t \ "con" \ t in RR}$
caso $a=1$ esistono ...
L'esercizio mi chiede di determinare autovalori, autovettori, ed autospazio della matrice A= $((0, 1, 1), (2, -1, 0), (-2, 2, 1))$
Ho calcolato gli autovalori ($\lambda=0$ e $\lambda=$$+-1$) e gli autovettori. Per l'autospazio, so che è uguale al nucleo della matrice $((-lambda, 1, 1), (2, -1-lambda, 0), (-2, 2, 1-lambda))$. Quindi devo risolvere il sistema omogeneo $\{(-lambdax + y + z = 0), (2x + (-1-lambda)y = 0), (-2x + 2y + (1-lambda)z =0):}$ o sto sbagliando ? Grazie in anticipo
Ciao. Sia \( L \) uno spazio vettoriale di dimensione \( n \). Devo provare 1) che il nucleo di un qualsiasi funzionale lineare non-nullo su \( L \) ha dimensione \( n - 1 \); 2) che ogni sottospazio \( (n - 1) \)-dimensionale in \( L \) è il nucleo di un funzionale lineare.
Un funzionale lineare è una funzione lineare \( L\to V \) dello spazio sul suo campo di definizione.
Non conosco la formula delle dimensioni (!) (e nemmeno cosa sia una funzione lineare in realtà, so solo cos'è un ...
Buongiorno, sto studiando la geometria iperbolica.
So che nel piano iperbolica la somma degli angoli interni di un triangolo è minore di un angolo piatto, ma cosa succede se un vertice del triangolo si trova al di fuori del piano iperbolico? Si può dire che la somma degli angoli interni è maggiore o uguale a un angolo piatto?
Grazie in anticipo!
Ciao. Sia \( L \) uno spazio vettoriale. Chiamo bandiera in uno spazio vettoriale \( L \) una sua filtrazione. Dico una bandiera \( \left\{L_i\right\}_{i\in I} \) massimale se 1) \( \bigwedge_{i\in I}L_i \) è il sottospazio banale ed è effettivamente il minimo della bandiera; 2) l'unione \( \bigcup_{i\in I}L_i \) è l'intero spazio; 3) ogni \( L_i \) è massimale in \( \mathcal S\setminus\left\{L_j\right\}_{j>i} \), dove \( \mathcal S \) denota il poset dei sottospazi di \( L \)[nota]In ...
Ciao,
stavo provando a verificare manualmente* che se A è una matrice simmetrica (A=A-t) allora value che A= QYQ-t, dove Q è la matrice che per colonne ha gli autovettori di A, Q-t è la trasposta di Q, e Y è una matrice diagonale che ha sulla diagonale gli autovalori di A.
Stranamente i conti non mi tornano e non riesco a capire in cosa sbaglio:
Matrice di partenza:
1 2
2 3
Matrice Q degli autovettori:
0.618033989 -1.618033989
1 1
Matrice Y degli ...
Ragazzi avrei bisogno del vostro aiuto e del vostro cervello....Sto impazzendo da due giorni e pur mettendo in opera il mio cervello ricordando gli studi di 20 anni fa, non ci riesco....
Ho due curve e vorrei ricavare le equazioni che le descivono. La prima è facile(per chi lo sa fare, è una parabola, l'altra è una curva un pò strana...C'è qualcuno che potrebbe aiutarmi? Grazie mille in anticipo per chi vorrà aiutarmi. Vi allego le foto delle due curve. Anche un'equazione ...
Ciao!
Sto racattando gli esercizi che i miei compagni hanno fatto nei tutorati e me li sto facendo, sperando di capire facendo visto che l'Algebra Lineare è una brutta bestia. Vorrei un confronto su questo esercizio: vorrei vedere se è giusto e se si può fare in un altro modo più semplice (a me questo metodo è venuto in mente).
Sia
\[B := \left\{
\begin{pmatrix}
a \\ -1 \\ -1
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ a
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
1 \\ b \\ b
\end{pmatrix}
\right\}.\] Per ...
Salve a tutti, sono nuovo qui
Non riesco a risolvere un esercizio che chiede di determinare il sottospazio di R3 generato dai vettori (1, 2, 0), (1, 1, 1), (0, -1, 1) e di determinare la dimensione di tale sottospazio.
Io ho provato a calcolare il rango della matrice formata dai 3 vettori ed ho che, per il teorema degli orlati, il rango è 2 perché esiste un minore non nullo di ordine 2 estratto dalla matrice e il suo orlato è 0. Adesso però non so come continuare... qualcuno può aiutarmi? ...
Salve ragazzi, dovrei dimostrare che la sfera S^n/{(-1,0..,0),(1,0..0)} é omeomorfo a R^n /{0}.
Avevo pensato potesse aiutarmi la proiezione steriografica, ma non so se va bene, sapete come aiutarmi?
Ciao a tutti! Sono nuovo in questo forum. A causa di motivi familiari ho deovuto assentrmi per un certo periodo dagli studi universitari, carriera universitaria tra l'altro iniziata a ottobre (Matematica a Pavia). Sto facendo di tutto per rimettermi al pari dei miei colleghi, ma le matrici non mi vanno proprio a genio.
Ho la seguente affermazione della quale devo dire se è vera o falsa. Siano \(A\) e \(B\) due matrici quadrate \(n \times n\) su \(k\). Se \(AB\) è invertibile, allora lo è pure ...
Ho un grave dubbio riguardante i cambiamenti di base di trasformazioni lineari.
Quando applico T(v1) = w1 partendo da un vettore colonna , mi ritorna un vettore colonna.
Ma quando esprimo la base in forma matriciale , li inizio a confondermi perchè non capisco più cosa sono le righe e cosa le colonne. Perchè se esprimo la base B come vettori riga , applicando la trasformazione lin. ottengo la nuova base A , però la ottengo trasposta! non capisco , mi confondo con le posizioni dei vettori. ...
Riguardando un vecchio esercizio mi è venuto un dubbio sulla parola: "simultaneamente"
Considera \( (\mathbb{N}, \tau_C) \) dove \( \tau_C \) è la topologia cofinita di \( \mathbb{N} \). Trova una successione \( x_n \) che converge simultaneamente ad ogni \( n \in \mathbb{N} \).
Io avevo trovato mi pare, \( (x_k)_{k \in \mathbb{N}} \) dove \( x_k=k \) per tutti i \(k \in \mathbb{N} \).
Chiaramente \( \forall n \in \mathbb{N} \) e per ogni \( U_n \in \tau_C \) tale che \( n \in U_n \), ...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo