Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Dimostrare che non esiste una funzione $f:RR->RR$ tale che l'insieme dei punti di continuità di $f$ sia $QQ$.
Suggerimento: non provare con argomenti di densità perché di funzioni che hanno $RR\setminusQQ$ come insieme di punti di continuità ne esistono. Se volete poi posso darvi un altro suggerimento ben più sostanzioso che vi indica la strada.
Buonasera ragazzi! Mi sono appena iscritto perché ho un dubbio con la risoluzione di questo esercizio. Magari potete correggere i miei errori in modo che possa comprendere al meglio la materia.
L'esercizio mi chiede di stabilire per quali valori del parametro h il sistema ammette soluzioni.
$\{(2x + (k+1)z=1),(y+(k-2)x=0),(2x-y+(k-1)=1):}$
Per prima cosa ho calcolato il rango della matrice dei coefficienti (incompleta) verificando valore 3, con k diverso da -2. Poi ho verificato il rango della matrice completa utilizzando ...
Il sottospazio U= (f- λI)(V), contenuto in V, con λ autovalore di f, come può essere descritto (ovvero: da quali elementi è formato?)? Mi spiego meglio, inzialmente pensavo si trattasse di un sottospazio formato dal solo 0, in quanto λ è autovalore e quindi -pensavo- ogni v dovrebbe annullarsi. Sul libro c'è però scritto che si tratta di un sottospazio f-invariante (perché?) che ha sottospazi f-invarianti e non nulli. Incollo il testo per maggiore chiarezza:
TEOREMA: Siano V uno spazio ...
Dimostrare che $S^1$ non si immerge in $RR$.
Bonus: dimostrare che in realtà per ogni funzione continua $f:S^1->RR$ esiste $x\inS^1$ tale che $f(x)=f(-x)$.
Se ci si vuole spingere molto più in là, dimostrare il bonus per funzioni continue $f:S^2->RR^2$ (è difficile).
Suggerimento: Usare la teoria basilare dei rivestimenti considerando $S^2$ come rivestimento di $\mathbb{RP}^2$.
[ot]Il bonus vale in realtà per ogni ...
Ecco un esercizietto carino sulle funzioni continue, un po' non standard ma non difficile.
Sia $f:X->X$ dove $X=[-3,3]$ data da $f(x)=(x^3-3x)/6$.
Dimostrare che $f$ non ammette una inversa destra continua.
Ricordo che una inversa destra in questo caso è una funzione $g:X->X$ tale che $f\circ g=\text{id}_X$.
Ciao a tutti, ho provato a leggere un pò dappertutto, sarà la mia ignoranza sicuramente il problema ... di fatto non ho capito una cosa (una sola ... ?!?!?).
L'obiettivo è quello di trovare un vettore che sia la proiezione di un vettore di partenza F su un versore n.
Cerco di scrivere quello che penso (ditemi poi se è giusto per favore):
- il prodotto scalare tra 2 vettori è uno scalare che rappresenta in modulo del primo per il modulo del secondo per il coseno dell'angolo tra i 2 vettori ...
Ciao a tutti e buon 2020. Il titolo non è molto dirimente, me ne rendo conto, provo a illustrare il dubbio.
Sono alle prese con lo studio di meccanica Hamiltoniana e mi sono incastrato su un concetto. Mi pareva di aver capito il concetto di funzionale lineare (inteso con iconcetti di spazio duale) associata a una forma bilineare (per intenderci: https://it.wikipedia.org/wiki/Forma_bil ... azio_duale )
Tuttavia nei miei appunti ho scritto:
qualunque forma bilineare, ossia qualunque campo tensoriale di tipo (0, 2), ...
Ciao e buon anno !
Un dubbio di algebra lineare. Per diagonalizzare la matrice quadrata $A$ abbiamo bisogno di calcolare gli autovalori e gli autovettori. Supponiamo di aver trovato una base di autovettori: detta $P$ la matrice le cui colonne sono gli autovettori di $A$ abbiamo:
$A = P^(-1)DP$
con D la matrice diagonale degli autovalori ognuno con la sua molteplicità.
Ora se considero la matrice $G = PK$ con $K$ matrice ...
Dimostra che lo spazio delle successioni limitate con la distanza sup è completo.
Io ho pensato di farlo così, vi sembra corretto?
Possiamo vedere questo spazio come un sottospazio di \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}} \) prendiamo una successione \(d_{\infty}\)-Cauchy \( (x_n^{k})_{n,k \in \mathbb{N}}\).
Dobbiamo dimostrare che tutte le successioni (di successioni) di Cauchy convergono a qualche successione \((x_n)_{n\in \mathbb{N}}\).
Fissato \(k \in \mathbb{N} \) allora \( x_1^k, x_2^k, \ldots \) è ...
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Studente Anonimo
30 dic 2019, 18:38
Dimostra che dato un sottoinsieme connesso \( A \) di uno spazio topologico allora \( \operatorname{cl}(A) \) è connessa.
Va bene così, dati due aperti in \( W_1,W_2 \in \tau_{X,\operatorname{cl}(A)} \) tale che \( W_1 \cap W_2 = \emptyset \) e \( \operatorname{cl}(A)= W_1 \cup W_2 \) abbiamo allora che \( W_1 = \operatorname{cl}(A) \cap U_1 \) e \( W_2 = \operatorname{cl}(A) \cap U_2 \) per degli aperti \( U_1,U_2 \) in \( X \).
Ma allora abbiamo che \( A= V_1 \cup V_2 \) con \( V_1 \cap V_2 ...
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Studente Anonimo
29 dic 2019, 20:53
Considera \( \mathbb{R} \) con la topologia co-numerabile e dimostra che nessuna successione a valori in \((0,1) \) può convergere a \(2\).
Deduci che non possiamo descrivere la chiusura di un insieme con la convergenza di una successione.
Allora siccome \( \operatorname{cl}((0,1)) = \mathbb{R} \), poiché i chiusi in \( \mathbb{R} \) con la topologia co-numerabile sono numerabili e dunque l'unico chiuso che contiene \( (0,1) \) è \( \mathbb{R} \) stesso, allora se nessuna succession può ...
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Studente Anonimo
30 dic 2019, 17:41
Buongiorno a tutti, sono un nuovo iscritto di questo forum!
E' da un'ora che provo a svolgere un esercizio di algebra lineare assegnatomi dal mio Prof, ma non riesco a venirne fuori. Il testo dell'esercizio è il seguente:
Sia \( f: R^4\longrightarrow R^3 \) l'applicazione lineare la cui matrice associata, rispetto alla base canonica, è la matrice
\( A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & -1 \\ 1 & -6 & -1 & 2 \end{pmatrix} \).
Determinare \( Kerf \) e \( Imf \).
Questo ...
Trova una collezione numerabile di spazi compatti \( (X_i,\tau_{X_i} ) \) tale che il loro prodotto con la box topology non è compatto.
Ora il teorema di Tychonoff afferma che il prodotto di una qualunque collezione di spazi compatti è compatto con la topologia prodotto.
Quindi rileggendomi le definizioni delle due topologie mi sono reso conto che non capisco una cosa della definizione
Box topology:
Sia \( I \) un insieme di indici di cardinalità infinita e \(( (X_i, \tau_{X_i} ))_{i \in I} ...
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Studente Anonimo
28 dic 2019, 14:36
Sia \( (X,\tau_X) \) compatto. E sia \( ( \mathcal{C}(X,Y),d_{\infty} ) \) lo spazio metrico delle funzioni continue da \( X \) a \( Y \). Dimostra che \( ( \mathcal{C}(X,Y),d_{\infty} ) \) è completo se e solo se \( ( \mathcal{C}(X,Y),\overline{d}_{\infty} ) \)
Dove \( \overline{d}_{\infty}(f,g)= \min \{d_{\infty}(f,g),1\} \)
Dubbio 1) Da per scontato che \( Y \) è uno spazio metrico ma non lo dice. O si può dedurre?
Detto ciò, le soluzioni dicono una cosa che non mi convince.
\( ( ...
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Studente Anonimo
29 dic 2019, 16:28
Considera lo spazio metrico \( (X,d_X) \) dimostra che la funzione \( d(x,y) : ( X\times X, d_{X \times X} \to ( \mathbb{R} , \tau_E ) \) è continua
Secondo me ci sono due typo oppure non so dove sbaglio...
In primo luogo io ho interpetato \( d(x,y) \) come \( d_X \) (primo typo)
Inoltre non capisco una cosa delle soluzioni, secondo me ha fatto un typo.
Dice che è sufficiente dimostrare che \( \forall (x,y) \in X \times X \) e \( \forall \epsilon >0 \) esiste un \( \delta \) tale che
\[ ...
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Studente Anonimo
29 dic 2019, 03:08
Sia \( (X,d) \) uno spazio metrico tale che \( (C_n)_{n \in \mathbb{N}} \) sono compatti per successioni tale che \( \bigcup_{n \in \mathbb{N}} C_n = X \), allora \( (X,d) \) è completo. Se vero dimostra se falso controesempio.
Io penso sia falso. Ma non so se il controesempio vada bene
Considero \( (0,1) \) con la topologia euclidea. Allora abbiamo che \( C_n = [ 1/n, 1- 1/n ] \) è compatto e dunque compatto per successioni (siccome è uno spazio metrico, le due compatezze sono ...
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Studente Anonimo
29 dic 2019, 03:24
Facendo riferimento all'altro thread, siano V spazio vettoriale reale di dimensione n, una forma $\phi$ su V non degenere bilineare simmetrica con segnatura $(s,r)$ e $s=n-r>=r$.
Bisogna dimostrare che esiste una biiezione tra l'insieme $\beta_{0}$ dei sottospazi di V totalmente isotropi di dimensione massimale (=r) e lo spazio dei laterali destri di $[O(s)]/[O(s-r)]$ con $O(s-r)$ immerso in $O(s)$ associando a ogni matrice C la matrice con ...
Dimostra che il la compattificazione a un punto di \( ((0,1),\tau_{E} ) \) è omeomorfo a \( S^1 \).
Posso dimostrarlo così?
\( ((0,1),\tau_{E} ) \) è omeomorfo a \( S^1 \setminus \{ (1,0) \} \) infatti abbiamo che
\( f: (0,1) \to S^1 \setminus \{ (1,0) \} \) definita da \( x \mapsto ( \cos(2\pi x), \sin(2 \pi x) ) \) è un omeomorfismo.
Difatti \( f \) biiettiva, \( f \) e \( f^{-1} \) sono continue.
Abbiamo inoltre che dati due spazi \( ( X, \tau_X) \) e \( (Y,\tau_Y) \) omeomorfi allora le ...
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Studente Anonimo
28 dic 2019, 20:04
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