Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Dimostrare che $S^1$ non si immerge in $RR$.
Bonus: dimostrare che in realtà per ogni funzione continua $f:S^1->RR$ esiste $x\inS^1$ tale che $f(x)=f(-x)$.
Se ci si vuole spingere molto più in là, dimostrare il bonus per funzioni continue $f:S^2->RR^2$ (è difficile).
Suggerimento: Usare la teoria basilare dei rivestimenti considerando $S^2$ come rivestimento di $\mathbb{RP}^2$.
[ot]Il bonus vale in realtà per ogni ...
Ecco un esercizietto carino sulle funzioni continue, un po' non standard ma non difficile.
Sia $f:X->X$ dove $X=[-3,3]$ data da $f(x)=(x^3-3x)/6$.
Dimostrare che $f$ non ammette una inversa destra continua.
Ricordo che una inversa destra in questo caso è una funzione $g:X->X$ tale che $f\circ g=\text{id}_X$.
Ciao a tutti, ho provato a leggere un pò dappertutto, sarà la mia ignoranza sicuramente il problema ... di fatto non ho capito una cosa (una sola ... ?!?!?).
L'obiettivo è quello di trovare un vettore che sia la proiezione di un vettore di partenza F su un versore n.
Cerco di scrivere quello che penso (ditemi poi se è giusto per favore):
- il prodotto scalare tra 2 vettori è uno scalare che rappresenta in modulo del primo per il modulo del secondo per il coseno dell'angolo tra i 2 vettori ...
Ciao a tutti e buon 2020. Il titolo non è molto dirimente, me ne rendo conto, provo a illustrare il dubbio.
Sono alle prese con lo studio di meccanica Hamiltoniana e mi sono incastrato su un concetto. Mi pareva di aver capito il concetto di funzionale lineare (inteso con iconcetti di spazio duale) associata a una forma bilineare (per intenderci: https://it.wikipedia.org/wiki/Forma_bil ... azio_duale )
Tuttavia nei miei appunti ho scritto:
qualunque forma bilineare, ossia qualunque campo tensoriale di tipo (0, 2), ...
Ciao e buon anno !
Un dubbio di algebra lineare. Per diagonalizzare la matrice quadrata $A$ abbiamo bisogno di calcolare gli autovalori e gli autovettori. Supponiamo di aver trovato una base di autovettori: detta $P$ la matrice le cui colonne sono gli autovettori di $A$ abbiamo:
$A = P^(-1)DP$
con D la matrice diagonale degli autovalori ognuno con la sua molteplicità.
Ora se considero la matrice $G = PK$ con $K$ matrice ...
Dimostra che lo spazio delle successioni limitate con la distanza sup è completo.
Io ho pensato di farlo così, vi sembra corretto?
Possiamo vedere questo spazio come un sottospazio di \(\mathbb{R}^{\mathbb{N}} \) prendiamo una successione \(d_{\infty}\)-Cauchy \( (x_n^{k})_{n,k \in \mathbb{N}}\).
Dobbiamo dimostrare che tutte le successioni (di successioni) di Cauchy convergono a qualche successione \((x_n)_{n\in \mathbb{N}}\).
Fissato \(k \in \mathbb{N} \) allora \( x_1^k, x_2^k, \ldots \) è ...
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Studente Anonimo
30 dic 2019, 18:38
Dimostra che dato un sottoinsieme connesso \( A \) di uno spazio topologico allora \( \operatorname{cl}(A) \) è connessa.
Va bene così, dati due aperti in \( W_1,W_2 \in \tau_{X,\operatorname{cl}(A)} \) tale che \( W_1 \cap W_2 = \emptyset \) e \( \operatorname{cl}(A)= W_1 \cup W_2 \) abbiamo allora che \( W_1 = \operatorname{cl}(A) \cap U_1 \) e \( W_2 = \operatorname{cl}(A) \cap U_2 \) per degli aperti \( U_1,U_2 \) in \( X \).
Ma allora abbiamo che \( A= V_1 \cup V_2 \) con \( V_1 \cap V_2 ...
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Studente Anonimo
29 dic 2019, 20:53
Considera \( \mathbb{R} \) con la topologia co-numerabile e dimostra che nessuna successione a valori in \((0,1) \) può convergere a \(2\).
Deduci che non possiamo descrivere la chiusura di un insieme con la convergenza di una successione.
Allora siccome \( \operatorname{cl}((0,1)) = \mathbb{R} \), poiché i chiusi in \( \mathbb{R} \) con la topologia co-numerabile sono numerabili e dunque l'unico chiuso che contiene \( (0,1) \) è \( \mathbb{R} \) stesso, allora se nessuna succession può ...
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Studente Anonimo
30 dic 2019, 17:41
Buongiorno a tutti, sono un nuovo iscritto di questo forum!
E' da un'ora che provo a svolgere un esercizio di algebra lineare assegnatomi dal mio Prof, ma non riesco a venirne fuori. Il testo dell'esercizio è il seguente:
Sia \( f: R^4\longrightarrow R^3 \) l'applicazione lineare la cui matrice associata, rispetto alla base canonica, è la matrice
\( A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & -1 \\ 1 & -6 & -1 & 2 \end{pmatrix} \).
Determinare \( Kerf \) e \( Imf \).
Questo ...
Trova una collezione numerabile di spazi compatti \( (X_i,\tau_{X_i} ) \) tale che il loro prodotto con la box topology non è compatto.
Ora il teorema di Tychonoff afferma che il prodotto di una qualunque collezione di spazi compatti è compatto con la topologia prodotto.
Quindi rileggendomi le definizioni delle due topologie mi sono reso conto che non capisco una cosa della definizione
Box topology:
Sia \( I \) un insieme di indici di cardinalità infinita e \(( (X_i, \tau_{X_i} ))_{i \in I} ...
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Studente Anonimo
28 dic 2019, 14:36
Sia \( (X,\tau_X) \) compatto. E sia \( ( \mathcal{C}(X,Y),d_{\infty} ) \) lo spazio metrico delle funzioni continue da \( X \) a \( Y \). Dimostra che \( ( \mathcal{C}(X,Y),d_{\infty} ) \) è completo se e solo se \( ( \mathcal{C}(X,Y),\overline{d}_{\infty} ) \)
Dove \( \overline{d}_{\infty}(f,g)= \min \{d_{\infty}(f,g),1\} \)
Dubbio 1) Da per scontato che \( Y \) è uno spazio metrico ma non lo dice. O si può dedurre?
Detto ciò, le soluzioni dicono una cosa che non mi convince.
\( ( ...
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Studente Anonimo
29 dic 2019, 16:28
Considera lo spazio metrico \( (X,d_X) \) dimostra che la funzione \( d(x,y) : ( X\times X, d_{X \times X} \to ( \mathbb{R} , \tau_E ) \) è continua
Secondo me ci sono due typo oppure non so dove sbaglio...
In primo luogo io ho interpetato \( d(x,y) \) come \( d_X \) (primo typo)
Inoltre non capisco una cosa delle soluzioni, secondo me ha fatto un typo.
Dice che è sufficiente dimostrare che \( \forall (x,y) \in X \times X \) e \( \forall \epsilon >0 \) esiste un \( \delta \) tale che
\[ ...
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Studente Anonimo
29 dic 2019, 03:08
Sia \( (X,d) \) uno spazio metrico tale che \( (C_n)_{n \in \mathbb{N}} \) sono compatti per successioni tale che \( \bigcup_{n \in \mathbb{N}} C_n = X \), allora \( (X,d) \) è completo. Se vero dimostra se falso controesempio.
Io penso sia falso. Ma non so se il controesempio vada bene
Considero \( (0,1) \) con la topologia euclidea. Allora abbiamo che \( C_n = [ 1/n, 1- 1/n ] \) è compatto e dunque compatto per successioni (siccome è uno spazio metrico, le due compatezze sono ...
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Studente Anonimo
29 dic 2019, 03:24
Facendo riferimento all'altro thread, siano V spazio vettoriale reale di dimensione n, una forma $\phi$ su V non degenere bilineare simmetrica con segnatura $(s,r)$ e $s=n-r>=r$.
Bisogna dimostrare che esiste una biiezione tra l'insieme $\beta_{0}$ dei sottospazi di V totalmente isotropi di dimensione massimale (=r) e lo spazio dei laterali destri di $[O(s)]/[O(s-r)]$ con $O(s-r)$ immerso in $O(s)$ associando a ogni matrice C la matrice con ...
Dimostra che il la compattificazione a un punto di \( ((0,1),\tau_{E} ) \) è omeomorfo a \( S^1 \).
Posso dimostrarlo così?
\( ((0,1),\tau_{E} ) \) è omeomorfo a \( S^1 \setminus \{ (1,0) \} \) infatti abbiamo che
\( f: (0,1) \to S^1 \setminus \{ (1,0) \} \) definita da \( x \mapsto ( \cos(2\pi x), \sin(2 \pi x) ) \) è un omeomorfismo.
Difatti \( f \) biiettiva, \( f \) e \( f^{-1} \) sono continue.
Abbiamo inoltre che dati due spazi \( ( X, \tau_X) \) e \( (Y,\tau_Y) \) omeomorfi allora le ...
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Studente Anonimo
28 dic 2019, 20:04
Sia \( (X,\tau_X) \) uno spazio topologico, e \( \tau_X^B \) una base di \( \tau_X \). Sia \( A \) un qualche sottoinsieme. Supponiamo che per ogni copertura di \( A \) con insiemi della base \( \tau_X^B \) esiste una sottocopertura finita, allora \( A \) è compatto.
Sia \( (U_i)_{i \in I } \) una copertura di \( A \) con \( U_i \in \tau_{A,X} \) dove \( \tau_{A,X} \) è topologia indotta. Abbiamo che per ogni \( i \in I \), \( U_i = A \cap V_i \) per qualche \( V_i \in \tau_X \).
Abbiamo ...
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Studente Anonimo
27 dic 2019, 19:49
Salve per l'esame di Algebra lineare a Gennaio cercherei degli esercizi svolti sulla DIAGONALIZZAZIONE degli endomorfismi, IL PRODOTTO SCALARE EUCLIDEO, ISOMETRIE LINEARI,NORME, PRODOTTO HERMITIANO E TEOREMA SPETTRALE REALE E COMPLESSO in modo da riuscire a capirli e avere un'idea più generale e non solo teorica.
Qualcuno ha qualche link o qualche pdf?
Grazie
Considera \( \mathbb{R}^2 \) con la topologia standard. Dimostra che il sottoinsieme \( X=\mathbb{R}^2 \setminus S \), dove \( S \) è un insieme numerabile, è connesso per archi.
Se \( S \) è un infinito non numerabile?
Va bene secondo voi?
Senza ledere a generalità possiamo supporre che \( S = \mathbb{N} \times \{0\} \).
Consideriamo i seguenti insiemi
\( X_1 := \{ x=(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 : x_2 < 0 \} \),
\( X_2 := \{ x=(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 : x_1 \leq 0 \} \),
\( X_3 := \{ ...
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Studente Anonimo
27 dic 2019, 16:35
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