Geometria e Algebra Lineare

Salve avrei bisogno di una mano per questo esercizio. Si consideri il prodotto scalare $ phi :R^3xx R^3->R $ dato da: $ phi (X,Y)=X^tAY. A=( ( 2 , 1 , 0 ),( 1 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $ 1) Verificare che $phi$ è definito positivo. 2) Stabilire se esiste una matrice $N$ tale che $N^t N=A$. Il punto 1) l'ho svolto tranquillamente: ho trovato gli autovalori di A che risultano essere 1 e 3, entrambi positivi. Mi servirebbe sapere come svolgere il punto due e il suo significato teorico. Granzie in anticipo.

Sia \( X = \begin{cases} \end{cases}\begin{pmatrix} a & a \\ a & a \end{pmatrix} / a\in R \) Definire (se possibile) una applicazione lineare di X in R2[x] tale che l’immagine abbia dimensione almeno 1 (un punto in più se si trova con dimensione 2). Io devo definire \( f: X \rightarrow R2[x] \) La dimensione di X è 1, giusto? Quindi sapendo che la \( dim(Imf)+dim(kerf)= dimX = 1 \) , sicuramente l'immagine non può avere dimensione 2. Considero quindi \( f: X \rightarrow R2[x] \) \( ...

Ciao a tutti non riesco a svolgere questo esercizio. Stabilire per quali coppie di valori (h,k) ∈R^2 il sistema lineare hx−2ky + (k−1)z = 0 (h−1)x−6y + z = 1 ammette soluzioni ed eventualmente determinarle. prendo la seconda sotto-matrice quadrata che ha solo 1 parametro e lo determino ottenendo k=3/2. fatto questo trovo k e ottengo che h=-1. quindi per k=3/2 e h=-1 scopro ...

Scusate, c'è una cosa che mi sta mandando ai matti... supponiamo che ci sia un punto p=(-1,-2,7) e una retta r con equazione parametrica: {x=2+5t; y=t; z=-2+t Teoricamente, essendo p un punto esterno ad r, dovrebbe esserci una sola retta passante per p e ortogonale ad r. Come mai io invece ne riesco a trovare più di una? Ad esempio: r':{x=(-1/7)*t; y=(-2/7)* t; z=t r'':{x=-1+t; y=-2-5t; z=7 Sono due rette distinte fra loro, ma entrambe sono perpendicolari ad r. Infatti la direzione di r' è ...

Salve, volevo chiedere un aiuto su quest'esercizio: Dopo aver verificato che $C$ è un sottospazio vettoriale di $RR[x]$, trova la sua dimensione e una sua base \(\displaystyle C=\{p(x) \in \mathbb{R}[x]| p(-1)=0, p(1)=0 \} \). Ho già verificato che è un sottospazio di $RR[x]$ tuttavia non riesco a capire come trovare dimensione e base. Avevo pensato di ricollegami in qualche modo ad una base canonica ma ho la sensazione che sia errato così. Grazie a ci mi ...

Salve a tutti. Mi sto scervellando su un esercizio di esame che chiede di verificare se una matrice 3x3 di rango 1 sia diagonalizzabile. La matrice in questione e': $ A=((2,2,2),(2,2,2),(2,2,2)) $ Ho dei problemi con le molteplicita' algebriche e geometriche degli autovalori. Vi ringrazio in anticipo per il vostro aiuto

Buongiorno , non riesco a capire come si passa dal seguente sistema lineare che è formato dalle due polari dei punti all'infinito alle coordinate del centro di una conica non degenere. Il sistema è il seguente : $ { ( a_11x^1+a_12x^2+a_13x^3 =0),( a_12x^1 + a_22x^2 + a_23 x^3 =0 ):} $ Per la legge di reciprocità, a quanto ho capito, l'intersezione tra queste due rette ci permette di trovare il centro della conica. Dunque se $C=(c^1,c^2,c^3)$ sono le coordinate del centro, esse devono essere soluzione del sistema visto precedentemente. A questo ...

Buonasera, come dimostrare la corrispondenza biunivoca tra le rette del piano affine e le classi di proporzionalità di equazioni lineari in due incognite? Non ho la più pallida idea di dove partire, mancandomi la definizione di classe di proporzionalità.

Sia \( f : R2[x] \rightarrow R2[x] \) l’applicazione definita dalla posizione \( ax^2+bx+c \rightarrow 2ax+\lambda \) con a, b, c ∈ R e λ parametro reale. Determinare per quali valori del parametro λ l’applicazione f è lineare ed ammette 3 come autovettore. Se f è lineare deve essere che presi \( p(x) = ax^2+bx+c \) e \( p' (x)= a'x^2+b'x+c' \) : \( f(p(x)+p'(x))= f(p(x))+f(p'(x)) \) \( 2(a+a')x+\lambda = 2a'x+\lambda +2ax+\lambda \) da cui avrò che \( \lambda = 0 \) . Adesso se ...

Salve a tutti ho un dubbio. Discutere la dimensione del sottospazio U di R3 generato dai vettori (a,a+b,a),(2a,a−b,3),(a,b,a−b) al variare di a,b∈R. ho analizzato la prima sotto-matrice quadrata (2aaa−bb), ho fatto il det e mi torna 2ab−a2−ab. raccolgo a e trovo che a=0 e b=a3 sostituisco e trovo che per a=0 e b=a3 la dimensione del sotto-spazio è 1 perchè il rango della matrice è 1. per a≠0 e b≠a3 invece avrò che il sotto spazio ha dimensione 3 perchè il rango è max? è giusto come ragionamento ...

Ciao. C'è un passaggio che non riesco a comprendere. Date due basi \( \{e_i\}_{i = 1,\dots,n} \) e \( \{e_k^\prime\}_{k = 1,\dots,n} \) di un \( K \)-spazio \( L \), possiamo esprimere i vettori \( e_k^\prime \) come combinazione lineare \( e_k^\prime = \sum_i a_{ik}e_i \) dei vettori delle prima base; in modo che, detti rispettivamente \( x \) e \( x^\prime \) i vettori delle coordinate di un \( l\in L \) rispetto a \( \{e_i\} \) e a \( \{e_k^\prime\} \), risulti \( x = (a_{ik})x^\prime ...

Sia r la retta nello spazio passante per il punto di coordinate (1, 2, 3) e avente come numeri direttori (0, 1, 2). Rappresentare parametricamente ed in forma ordinaria la retta r (con procedimento). Trovare infine l’equazione di un piano passante per la retta r ed il punto B(1, 10, 19). Allora mi ricavo la retta r che ha equazione parametrica : \( \begin{cases} x = 1 \\ y = 2+t \\ z = 3+2t \end{cases} \). Da cui ricavo la retta r : \( \begin{cases} x = 1 \\ 2y-z-1 = 0 \end{cases} \) Adesso ...

Salve, sto preparando l'esame di algebra lineare tuttavia spesso non è facile conciliare la teoria con gli esercizi. Di conseguenza mi trovo a dover sperare in una risposta su questo forum . Vengo al dunque si definiscano in $R^3$ i seguenti vettori $u1=(sqrt(2)),-sqrt(2)),0) u2=(1,0,-1) u3= (0,-1,1)$ Determinare una base di $U=<u1,u2,u3>$ allora ho scritto i vettori per riga in una matrice e calcolandone il rango che è due determino che la $dim(U)=2$ e quindi per definizione prendo i primi due vettori ...

Salve a tutti mi serve un aiutino per trovare una retta nello spazio passante per un punto, parallela ad un piano ed ortogonale ad una retta. L'esercizio è il seguente: Fissato un sistema di riferimento cartesiano RC(O,A1,A2,A3) in E^3, trova equazioni parametriche e cartesiane della retta r passante per il punto P=(2,3,-1), parallela al piano $\alpha$ di equazione $4X+Y+Z=27$ e ortogonale alla retta s di equazionioni $X-6Z=8, X-4Y+2Z=-1$. Allora io ho ragionato in questo ...

Aiuto con i calcoli! $ A_k = ( ( 3k^2+k-7 , 3k^2-10 , -4k^2-k+10 ),( -2 , k+1 , 2-k ),( 2k^2+k-6 , 2k^2+k-6 , -3k^2-2k+9 ) ) $ , con $ k in R $ variabile. L'esercizio mi chiede: dopo aver provato che il $ det(A_k) = -k^5 - 4k^4 +3k^3 +21k^2-27 $ ( cosa che ho fatto con la matrice A' = $ ( ( k+3 , 3k^2-10 , -k^2-k ),( 0 , k^2-3 , 0 ),( 0 , 2k^2+k-6 , -k^2-k+3 ) ) $ , ottenuta dalla prima (matrice simile?) per ridurre i calcoli) , sapendo che $ A_k $ ha sempre l'autovalore $ lambda _1 = 3-k-k^2 $ , determinare gli altri. Ho provato con 3 diversi possibili modi di procedere dove però in tutti e tre non ne esco fuori con i calcoli: so che il polinomio ...

Salve, ho un problema nel capire una dimostrazione: Non capisco con quale criterio il rango di AB sia compreso fra il rango di A*B*B^(-1) = rango di A, e il rango di A stesso. Secondo quali criteri ci aspettiamo che sia più piccolo del rango di A? Secondo quali criteri ci aspettiamo che invece sia più grande del rango di A*B*B^(-1)? Grazie in anticipo.

Sicuramente è falso che se ho un insieme \( A \) connesso, allora \( int(A)\) è connesso, prendiamo ad esempio la topologia euclidea su \( \mathbb{R}^2 \) e due palle chiuse di raggio \( 1 \) una centrata in \( (-1,0) \) e l'altra centrata in \((1,0) \), sono path-connesse, sono tangenti in \((0,0) \) quindi posso passare da una palla all'altra con un cammino continuo che passa dall'origine. Quindi sono connesse. Consideriamo però il caso in cui \( A \subset \mathbb{R} \), sempre con la ...

$ { ( x+2y+3z=7 ),( x+2y+4z=6 ),( x+2y+5z=a ):} $ Salve ragazzi potreste aiutarmi a risolvere questo sistema lineare con parametro a appartenete ai reali, se i miei calcoli sono giusti la matrice incompleta ha rango 2 così come la matrice completa ha rango 2 se a=5, invece se a≠5 la matrice completa ha rango 3 quindi sistema impossibile. Per rouche capelli il sistema ha infinite soluzioni dipendenti da un parametro quando le 2 matrici hanno rango 2, e secondo i miei calcoli ponendo x=lambda le soluzioni sono (lambda, 5,-1). ...

date le forme quadratiche da $RR^4->RR$ stabilire se esse sono congruenti: $f:2x^2+4xy+z^2+2zw+2w^2$ $g:2x^2+4xy+y^2+2zw+2w^2$ la matrice associata a $f$ è $F=((2,2,0,0),(2,0,0,0),(0,0,1,1),(0,0,1,2))$ corretta? e per calcolare gli autovalori trovo $F'=((2-t,2,0,0),(2,0-t,0,0),(0,0,1-t,1),(0,0,1,2-t))$ sviluppando il determinate di $F'$ con la regola di Laplace rispetto alla prima riga trovo $(2-t)[-t(1-t)(2-t)+t]-2[2(1-t)(2-t)-2]$ potrebbe essere corretto? perchè svolgendo i conti(facile che ci siano errori) trovo poi un'equazione molto difficile, ...

Buonasera, il mio docente di algebra lineare richiede la conoscenza della dimostrazione del seguente risultato: Un sistema di vettori B di uno spazio vettoriale è una base se e solo se ogni vettore di V si scrive in modo unico come combinazione lineare dei vettori di B. Onestamente, non capisco a cosa possa riferirsi. Una delle tre condizioni del teorema di caratterizzazione? In ogni caso, come andrebbe dimostrato correttamente?