Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Stavo cercando un po' per passatempo due spazi topologici \( (X,\tau_1 ) \) e \( (Y,\tau_2 ) \) e una funzione \( f: X \to Y \) tale che per ogni \( \forall x \in X \) e per ogni successione \( (x_n) \in X \) tale che \( x_n \to x \) abbiamo allora \( f(x_n) \to f(x) \) ma al contempo \( f \) è discontinua. Chiaramente almeno uno dei due spazi non dev'essere metrico, pensavo di usare la topologia indiscreta e rispettivamente quella discreta su \( \mathbb{R} =X=Y\) e l'identità. Abbiamo che ...
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Studente Anonimo
12 feb 2020, 02:28
Salve non so come procedere in questo esercizio:
Dato un insieme di V4R
$A ={(1, n^-1, n^-2, n^-3)}$ Per n che va da 1 a infinito, calcolare la dimensione di $Af(A)$ e indicarne una rappresentazione cartesiana, poi calcolare la dimensione di $L(A)$ e trovarne una base.
Ciao a tutti,
sto leggendo questo libro trovato su internet:
http://www.dmmm.uniroma1.it/accascinamo ... metria.pdf
Vorrei capire come arrivare alla soluzione del punto f. dell'esercizio E.2.8 a pagina 35.
Grazie;)
Trovare forma implicita che rappresenta un piano parallelo alla retta con forma parametrica
x=1-3λ
y=-4λ
z=-3+2λ
e passante per il punto (4,0,-1) nello spazio?
Sono nel panico più totale, non riesco a svolgere l'esercizio. Imporre il passaggio per il punto è semplice. Ma non so andare oltre. AIUTO!!
Sia \(\displaystyle f : R^2 \rightarrow R^3 \) l’omomorfismo associato definito da
\(\displaystyle f((x1, x2)) = (x1 + x2, 2x1 + x2, 3x1 − x2) \)
rispetto alle basi canoniche sia nel dominio che nel codominio.
Si determini la matrice associata a f rispetto alle basi
\(\displaystyle B = {(1, 1), (1, 2)} \) nel dominio
e
\(\displaystyle C = {(1, 1, 1), (2, 1, 0), (1, 0, 0)} \) nel codominio.
Inoltre si determini, nel caso esista, la retroimmagine del vettore \(\displaystyle (3,1,1) \) /in ...
Buongiorno, sto cercando di approfondire alcuni concetti relativi alle superfici in forma parametrica.
La dispensa cui faccio riferimento è questa: https://we.tl/t-UfdYNxp33K
Non ho chiara l'equazione 2.8 nel senso che il "valore" del differenziale della parametrizzazione $X$ data dalla 2.1 dovrebbe essere:
$dx(h)$=$|((delxi_1)/(delu_1),(delxi_1)/(delu_2)),((delxi_2)/(delu_1),(delxi_2)/(delu_2)),((delxi_3)/(delu_1),(delxi_3)/(delu_2))|$*$h$ con $h$ vettore di $R^2$
grazie a tutti
Determinare la retta del piano $\lambda : x+5z+2=0$ ortogonale e incidente la retta $r$ che passa per i punti $A(1,-1,-3)$, $B(0,0,-2)$
Ho ricavato $v(-1,1,1)$ vettore direzione di $r$
Il problema mi dice sostanzialmente che la retta che voglio trovare deve trovarsi nello stesso piano della retta $r$ e devono essere ortogonali fra loro
[size=70](fate finta che siano rette e non segmenti)[/size]
La mia idea è questa: ...
Salve a tutti, qualcuno potrebbe aiutarmi con questo esercizio?
"Sia $ f:R^3->R^3 $ l’endomorfismo di $ R^3 $ definito nel modo seguente
$ f(x,y,z)= (1/2x +sqrt(3)/2z,y,-sqrt(3)/2x+1/2z) $
1. Provare che $ f $ è un isomorfismo e trovare $ f^-1 $ .
2. Trovare $ f(W) $ dove $ W = {(x, y, z) ∈ R^3: x − y + z = 0}. $ "
Il punto 1 credo di averlo fatto bene. Ho trovato la matrice associata all'endomorfismo, ho trovato il nucleo e poiché $ Kerf={0} $ l'endomorfismo è iniettivo e quindi, essendo ...
Ciao a tutti, non riesco a capire questo esercizio, potreste aiutarmi?
"Al variare di m si consideri il sottosapzio V di R^3 soluzione del sistema omogeneo associato
$x-my+2z=0<br />
x-y+z=0<br />
2x-2y+(m+3)z=0$
Per ogni valore di m si trovi un sottospazio $L+V=R^3$"(inteso come in somma diretta).
Ho messo a matrice il sistema, ridotto e ho trovato che l'unico valore per cui esistono infinite soluzione è $m=-1$ il quale, però, genera un solo autospazio: $<(-5,1,-2)>$.
Come devo proseguire?
Trovare le equazioni dei piani che distano $2/sqrt(6)$ dal punto $P(1,1,1)$ e contenenti la retta $r$ di equazione ${x-y-1=0;y+z-1=0}$
ho ragionato in questo modo:
fascio di piani per r:
$a*(x-y-1)+b*(y+z-1)=0$
$ax+y(b-a)+bz-a-b=0$
sostituendo nella formula della distanza tra punto $P$ e il piano ottenuto sopra trovo:
$(2/sqrt(6))=|b-a|/(sqrt(a^2+(b-a)^2+b^2))$
e risolvendo il sistema
${|b-a|=2; 3=a^2+b^2-ab}$
trovo un solo piano, cioè
$pi: -x+2y+z=0$
tuttavia non capisco davvero dove ...
Salve, vorrei sapere se possibile dove l'esercizio che ho svolto presenta errori.
La traccia chiede di determinare una retta affine q incidente a due rette date e passante per il punto $P(0, -1, 0, 1)$
le due rette sono $r$: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{lcr} x=1-a &\\ y=-1-a &\\ z=a &\\ t=a & \end{array}\right.\) e $s$: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{lcr} x=-1-a &\\ y=3+a &\\ z=3+a &\\ t=a & \end{array}\right.\)
Io ho pensato di risolverlo in ...
Salve a tutti, devo risolvere la seguente equazione $ w^3=(sqrt3i+1)*e^\frac(ipi)(3)*w $
Ho ridotto tutto a forma esponenziale, moltiplicato i moduli e sommato gli argomenti. Riportando a forma algebrica ottengo $ w^3=-1+sqrt3i*w $. Da qui in poi vado un po' in crisi, quello che mi blocca è che c'è w al secondo membro, altrimenti procedevo facendo radice cubica del modulo e dividendo per 3 gli argomenti, o almeno credo sia giusto così, confermate? In che modo devo risolvere l'equazione? Potreste spiegarmi i ...
Ciao . Ho un esercizio che si sviluppa in due vero/falso:
Siano \(A\) e \(B\) matrici reali di ordine \(3\) tali che \(A + BA = I\). Giudicare se sono veri o falsi i seguenti enunciati.
[*:xjuk5346] Se \(A\) è diagonalizzabile, pure \(B\) lo è.[/*:m:xjuk5346]
[*:xjuk5346] Se \(A\) è ortogonale, allora \(B\) è normale.[/*:m:xjuk5346][/list:u:xjuk5346]
Un'osservazione preliminare: per il teorema di Binet si ha \(\det(A + BA) = \det(B+I)\det A = 1\) e quindi \(\det A ...
Stabilire se le rette $r$ di equazioni $x+y+2z=0$, $x+y+z-1=0$ e $s$ che contiene i punti $A(1,1,-1)$, $B(-1,0,0)$ sono complanari e in caso affermativo determinare il piano che le contiene
Mi risulta che le rette sono complanari.
Per determinare il piano che le contiene, però, dovrei prima capire se sono incidenti o parallele distinte e comportarmi di conseguenza... come suggerisce questo articolo
Ma, consultando gli appunti di uno ...
Buonasera a tutti avrei bisogno di aiuto per il seguente esercizio:
"In $ M_(2x2) $ si determinino, se esistono, un sistema $ S $ di generatori costituito da 5 vettori, e un
sistema libero $ S^{\prime} $ costituito da 5 vettori. In caso non sia possibile si giustifichi la risposta."
Io credo che non siano possibili entrambe poiché il sistema di generatori di uno spazio vettoriale, così come il sistema libero (costituito da vettori linearmente indipendenti(?))non può ...
Sia data l'applicazione lineare f: $ R^3\RightarrowR^3 $ definita da f: $ ( ( x ),( y ),( z ) ) $ = $ ( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ),( 0 , -1 , 0 ) )*( ( x ),( y ),( z ) ) $
Calcolare gli autovalori di f e, per ciascuno di essi, determinare molteplicità algebrica e geometrica. Dire se f è diagonalizzabile ed, in caso affermativo, esibire una base di $ R^3 $ diagonalizzante per f. Calcolareuna base del nucleo e dell'immagine di f. Dire infine se il vettore $ ( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) $ appartiene al nucleo ed all'immagine di f.
Buongiorno, vorrei sapere tutti i ...
Ciao, devo risolvere questo esercizio:
Si considerino le seguenti matrici:
A=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & a & 1 \\ \end{pmatrix}
B=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ \end{pmatrix}
C=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}
a) Calcolare gli autovalori e autospazi di B e C. Dire se rappresentano lo stesso endomorfismo rispetto a basi diverse.
b) Al variare di a in R si determinino autovalori e autospazi di A. Per quali valori di a ...
Ciao, ho un piccolo dubbio riguardo l'utilizzo di Gram-Schmidt.
Se devo trovare la base di una matrice ortogonalmente diagonalizzabile (dopo aver verificato che la matrice lo sia) come devo procedere?
Il mio dubbio sta appunto nell'utilizzo del procedimento di Gram-Schmidt perché devo innanzitutto verificare che i vettori siano a due a due ortogonali e poi?
Grazie in anticipo a chi risponderà
Buongiorno a tutti,
avrei bisogno di un piccolo aiuto per risolvere il seguente esercizio:
"Sia la $tau = { A sube RR : 0 inA} uu {O/}$ la topologia su $RR$.
Si dica se $(RR,\tau)$ è compatto."
Dalla definizione di compattezza deduco che se esiste un ricoprimento di $X$ dal quale non si può estrarre un sotto ricoprimento finito, allora $X$ non è compatto. Ad esempio $RR=uuu_{n in NN}(-n,n)$, ma non posso estrarre un sotto ricoprimento finito. Quindi ...
Data le rette
$r={x=1+t;y=2+t;z=1-t}$
$s={x=2+2k;y=-2+2k;z=-2k}$
Calcolare la distanza tra la retta $r$ e $s$
Ho provato a risolverlo cosi ma non sono sicuro della correttezza del procedimento.
$v_r=(1,1,-1)$ e $v_s=(2,2,-2)$ dunque sono parallele e posto $k=t$ nella $x$ delle rette si trova $t=-1$ e nella $y$ si trova $t=4$. Dunque $r$ e $s$ sono parallele e non ...
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