Trovare la dimensione e una base del sottospazio vettoriale
Salve, volevo chiedere un aiuto su quest'esercizio:
Dopo aver verificato che $C$ è un sottospazio vettoriale di $RR[x]$, trova la sua dimensione e una sua base
\(\displaystyle C=\{p(x) \in \mathbb{R}[x]| p(-1)=0, p(1)=0 \} \).
Ho già verificato che è un sottospazio di $RR[x]$ tuttavia non riesco a capire come trovare dimensione e base. Avevo pensato di ricollegami in qualche modo ad una base canonica ma ho la sensazione che sia errato così. Grazie a ci mi risponderà
Dopo aver verificato che $C$ è un sottospazio vettoriale di $RR[x]$, trova la sua dimensione e una sua base
\(\displaystyle C=\{p(x) \in \mathbb{R}[x]| p(-1)=0, p(1)=0 \} \).
Ho già verificato che è un sottospazio di $RR[x]$ tuttavia non riesco a capire come trovare dimensione e base. Avevo pensato di ricollegami in qualche modo ad una base canonica ma ho la sensazione che sia errato così. Grazie a ci mi risponderà
Risposte
Rifletti: quanti polinomi che si annullano in $+-1$ puoi scrivere? E di che grado?
Dovrebbero essere tutti del tipo n(x^2-1) e tutti di grado 2n ossia pari, o sbaglio?
Il polinomio che hai scritto ha grado $2$… Ma non è quello di grado massimo, poiché ad esempio $x^4 - 1$, $x^6 - 1$, $x^8 - 1$ soddisfano le condizioni nulle in $+-1$.
Riesci a trovarne altri? Cosa deduci sulla dimensione di $C$?
Riesci a trovarne altri? Cosa deduci sulla dimensione di $C$?
Ne deduco che esistono infiniti polinomi che soddisfano le condizioni nulle in $ +-1 $ siccome basta che in $ x^n- 1 $, $n$ sia un numero pari, quindi la dimensione dovrebbe essere infinita?
Mentre una base potrebbe essere \(\displaystyle B={1, x^2, x^4,....,x^{2n}} \)
Mentre una base potrebbe essere \(\displaystyle B={1, x^2, x^4,....,x^{2n}} \)
Indubbiamente \(\displaystyle x^2-1\in C\), ma anche \(\displaystyle x^3-x\in C\), quindi non basta considerare i soli polinomi di grado pari.
...però \(\displaystyle n(x^2-1)\) potrebbe essere corretto [size=150]se[/size] si specificasse cosa sia questo oggetto \(\displaystyle n\).
...però \(\displaystyle n(x^2-1)\) potrebbe essere corretto [size=150]se[/size] si specificasse cosa sia questo oggetto \(\displaystyle n\).
"j18eos":
Indubbiamente \(\displaystyle x^2-1\in C\), ma anche \(\displaystyle x^3-x\in C\), quindi non basta considerare i soli polinomi di grado pari.
...però \(\displaystyle n(x^2-1)\) potrebbe essere corretto [size=150]se[/size] si specificasse cosa sia questo oggetto \(\displaystyle n\).
$n$ è uno scalare appartenente ad $R$
ora che mi ci fa riflettere, anche \(\displaystyle x^3+x^2-x-1\in C \), quindi verificano le condizioni sia binomi di grado $2$ che quadrinomi del tipo \(\displaystyle x^3+x^2-x-1\), questo vuol dire che $C$ non ha una dimensione finita?
Più che altro ciò indica che non si riescono ad elencare tutti gli elementi che generano \(\displaystyle C\), quindi si potrebbe supporre che questi sia uno spazio vettoriale infinito-dimensionale... ma a questo punto è solo una supposizione lecita.
Restando sulla domanda, come chiesi a lezione: se lei legge che un polinomio si annulla per un certo valore, quale regola le viene in mente? E dato che nell'esercizio ho dato due valori, questa regola quante volte si dovrebbe applicare?
Restando sulla domanda, come chiesi a lezione: se lei legge che un polinomio si annulla per un certo valore, quale regola le viene in mente? E dato che nell'esercizio ho dato due valori, questa regola quante volte si dovrebbe applicare?
"j18eos":
Più che altro ciò indica che non si riescono ad elencare tutti gli elementi che generano \(\displaystyle C\), quindi si potrebbe supporre che questi sia uno spazio vettoriale infinito-dimensionale... ma a questo punto è solo una supposizione lecita.
Restando sulla domanda, come chiesi a lezione: se lei legge che un polinomio si annulla per un certo valore, quale regola le viene in mente? E dato che nell'esercizio ho dato due valori, questa regola quante volte si dovrebbe applicare?
Mi viene in mente la regola di Ruffini e che si dovrebbe applicare due volte. Quindi,
\(\displaystyle p(1)=0 \Longleftrightarrow p=(x-1)*p0\)
\(\displaystyle p(-1)=0 \Longleftrightarrow p=(x-1)*p0\)
perciò il polinomio apparterrà a C se sono verificate in contemporanea le due condizioni
\(\displaystyle p(1)=0, p(-1)=0 \Longleftrightarrow p=(x-1)(x+1)*p0\)
o meglio scritto \(\displaystyle p(1)=0, p(-1)=0 \Longleftrightarrow p=(x^2-1)*p0\)
dove $p0$ indica un qualsiasi altro polinomio qualsiasi
Mi dica se ho sbagliato qualcosa e dove, inoltre la ringrazio per l'aiuto e per la disponibilità.
Esatto; quell'insieme è così ri-scrivibile:
\[
C=\{(x^2-1)p_0\in\mathbb{R}[x]\mid p_0\in\mathbb{R}[x]\}.
\]
Sicché diventa facile dimostrare che è un sottospazio vettoriale di \(\displaystyle\mathbb{R}[x]\) (se non l'ha dimostrato in altra maniera).
Per quanto riguarda il calcolo di una base di \(\displaystyle C\), è utile utilizzare usare la base canonica[nota]Altrimenti a che servirebbe, oltre ad essere un esempio?[/nota] di \(\displaystyle\mathbb{R}[x]\) e la nuova caratterizzazione di \(\displaystyle C\).
Una volta trovata una base, si trova sùbito la dimensione di \(\displaystyle C\).
\[
C=\{(x^2-1)p_0\in\mathbb{R}[x]\mid p_0\in\mathbb{R}[x]\}.
\]
Sicché diventa facile dimostrare che è un sottospazio vettoriale di \(\displaystyle\mathbb{R}[x]\) (se non l'ha dimostrato in altra maniera).
Per quanto riguarda il calcolo di una base di \(\displaystyle C\), è utile utilizzare usare la base canonica[nota]Altrimenti a che servirebbe, oltre ad essere un esempio?[/nota] di \(\displaystyle\mathbb{R}[x]\) e la nuova caratterizzazione di \(\displaystyle C\).
Una volta trovata una base, si trova sùbito la dimensione di \(\displaystyle C\).
"john_titor20":Dopo oltre 6500 messaggi su questo forum, le assicuro che continuo a rispondere (anche) per piacere personale.
[...] inoltre la ringrazio per l'aiuto e per la disponibilità.
Quindi posso affermare che una base dell'insieme $C$ è \(\displaystyle B={{ 1, x, x^2, ..., x^n }} \) e che la dimensione del sottospazio vettoriale risulta essere $n+1$.
Se ciò che ho detto è corretto, mi sorge un dubbio: visto che sto utilizzando una base canonica, la dimostrazione che essa è proprio una base di $C$ diventa sotto-intesa ?
Se ciò che ho detto è corretto, mi sorge un dubbio: visto che sto utilizzando una base canonica, la dimostrazione che essa è proprio una base di $C$ diventa sotto-intesa ?
Eh no! Ad esempio \(\displaystyle1\notin C\)...
Però è vero che \(\displaystyle\{1,x,\dots,x^n,\dots\}\) è la base canonica di \(\displaystyle\mathbb{R}[x]\): come usarla per calcolare una base di \(\displaystyle C\)?
Però è vero che \(\displaystyle\{1,x,\dots,x^n,\dots\}\) è la base canonica di \(\displaystyle\mathbb{R}[x]\): come usarla per calcolare una base di \(\displaystyle C\)?
"j18eos":
Eh no! Ad esempio \(\displaystyle1\notin C\)...
Però è vero che \(\displaystyle\{1,x,\dots,x^n,\dots\}\) è la base canonica di \(\displaystyle\mathbb{R}[x]\): come usarla per calcolare una base di \(\displaystyle C\)?
\[ C=\{(x^2-1)p_0\in\mathbb{R}[x]\mid p_0\in\mathbb{R}[x]\}. \]
il polinomio può essere scritto anche come \(\displaystyle -p_0+p_0(x^2) \) e perciò le componenti del polinomio rispetto alla base risultano essere \(\displaystyle (-p_0, 0, p_0) \) e dunque base potrebbe essere \( \displaystyle\ {-1, x^2} \) ?
Se ciò che ho scritto non ha senso o contiene errori potrebbe, sempre cortesemente e ringraziandola, farmi vedere lei il metodo da applicare?
Non è una questione di metodo 
(o di suppliche 
), è una questione di ragionamento: essendo \(\displaystyle p_0\in\mathbb{R}[x]\) allora questi si scrive come \(\displaystyle p_0=a_0\cdot1+a_1\cdot x+\dots+a_n\cdot x^n\) con \(\displaystyle n\in\mathbb{N}_{\geq0}\) (questa è una combinazione di polinomi); applicato ciò alla precedente caratterizzazione di \(\displaystyle C\), si ha che questi è generato dai monomi \(\displaystyle(x^2-1),x(x^2-1),\dots,x^n(x^2-1),\dots\)
[size=150]Perché?[/size]
Ovviamente, avendo trovato un sistema generatore, resta da capire se questi sia minimale; e se non lo è, eliminare gli elementi "in eccesso".
In questo caso, è evidente la risposta...
[ot]Comunque mi fa piacere leggere il suo impegno!
[/ot]
P.S.: dato che prevenire è meglio che curare, \(\displaystyle\mathbb{Q}\) è un insieme generatore di \(\displaystyle\mathbb{R}\) come spazio vettoriale, ma mica è minimale?
(o di suppliche ), è una questione di ragionamento: essendo \(\displaystyle p_0\in\mathbb{R}[x]\) allora questi si scrive come \(\displaystyle p_0=a_0\cdot1+a_1\cdot x+\dots+a_n\cdot x^n\) con \(\displaystyle n\in\mathbb{N}_{\geq0}\) (questa è una combinazione di polinomi); applicato ciò alla precedente caratterizzazione di \(\displaystyle C\), si ha che questi è generato dai monomi \(\displaystyle(x^2-1),x(x^2-1),\dots,x^n(x^2-1),\dots\)[size=150]Perché?[/size]
Ovviamente, avendo trovato un sistema generatore, resta da capire se questi sia minimale; e se non lo è, eliminare gli elementi "in eccesso".
In questo caso, è evidente la risposta...
[ot]Comunque mi fa piacere leggere il suo impegno!
[/ot]P.S.: dato che prevenire è meglio che curare, \(\displaystyle\mathbb{Q}\) è un insieme generatore di \(\displaystyle\mathbb{R}\) come spazio vettoriale, ma mica è minimale?
Ok, quindi se ho capito bene, siccome si nota che quel sistema di generatori è anche minimale, ossia è il più piccolo insieme composto da vettori che generano tutto lo spazio vettoriale, ciò vuol dire che i monomi \( \displaystyle(x^2-1),x(x^2-1),\dots,x^n(x^2-1),\dots \) formano una base di $C$
Rispondendo a ciò, io oserei affermerei di no perché per definizione di minimale, \( \displaystyle\mathbb{Q} \) non è il più piccolo insieme che genera tutto \( \displaystyle\mathbb{R} \) come spazio vettoriale
"j18eos":
[..] P.S.: dato che prevenire è meglio che curare, \( \displaystyle\mathbb{Q} \) è un insieme generatore di \( \displaystyle\mathbb{R} \) come spazio vettoriale, ma mica è minimale?
Rispondendo a ciò, io oserei affermerei di no perché per definizione di minimale, \( \displaystyle\mathbb{Q} \) non è il più piccolo insieme che genera tutto \( \displaystyle\mathbb{R} \) come spazio vettoriale
Tutto bene, però resta da capire [size=150]perché[/size] quell'insieme genera \(\displaystyle C\);
che sia minimale è facile: se si toglie un \(\displaystyle x^k(x^2-1)\), questi non lo si può ottenere come combinazione lineare degli altri polinomi.
che sia minimale è facile: se si toglie un \(\displaystyle x^k(x^2-1)\), questi non lo si può ottenere come combinazione lineare degli altri polinomi.
Più che altro, io avevo in mente una cosa più semplice.
Dato che ogni polinomio $p_n(x):= x^(2n) - 1$ (con $n >=1$) soddisfa $p_n(+-1)=0$, è chiaro che $p_n in C$; e, visto che i polinomi $p_n$ sono indipendenti per il Principio di Identità, è chiaro che $C$ non può essere finitamente generato (se lo fosse, i polinomi che vi appartengono -e dunque anche i $p_n$- avrebbero tutti grado $<=$ di un certo grado massimo $N$, cosa che non è) e dunque $C$ ha dimensione infinita.
Chiaramente, questo ragionamento non fornisce “gratis” una base di $C$… E questa è l’unica pecca (mi pare).
Dato che ogni polinomio $p_n(x):= x^(2n) - 1$ (con $n >=1$) soddisfa $p_n(+-1)=0$, è chiaro che $p_n in C$; e, visto che i polinomi $p_n$ sono indipendenti per il Principio di Identità, è chiaro che $C$ non può essere finitamente generato (se lo fosse, i polinomi che vi appartengono -e dunque anche i $p_n$- avrebbero tutti grado $<=$ di un certo grado massimo $N$, cosa che non è) e dunque $C$ ha dimensione infinita.
Chiaramente, questo ragionamento non fornisce “gratis” una base di $C$… E questa è l’unica pecca (mi pare).
Perfetto, dunque ricapitolando siccome quell'insieme è un sistema di generatori di $C$ e poiché è anche minimale arriviamo alla conclusione che sia una base di $C$.
e quell'insieme genera $C$ poiché è un suo sistema di generatori, ossia è possibile scrivere $C$ mediante sue combinazioni lineari.
Ringrazio profondamente entrambi, soprattutto lei j18eos
e quell'insieme genera $C$ poiché è un suo sistema di generatori, ossia è possibile scrivere $C$ mediante sue combinazioni lineari.
Ringrazio profondamente entrambi, soprattutto lei j18eos
"john_titor20":
[…] siccome quell'insieme è un sistema di generatori di $C$ […]
“Quell’insieme” quale?
Se è quello di j18eos, mi pare che il perché quello sia un sistema di generatori sia una cosa ancora da chiarire.
"gugo82":
[quote="john_titor20"][…] siccome quell'insieme è un sistema di generatori di $C$ […]
“Quell’insieme” quale?
Se è quello di j18eos, mi pare che il perché quello sia un sistema di generatori sia una cosa ancora da chiarire.
[/quote]Mea culpa, chiedo venia. Ho ragionato senza esprimere ciò a cui avevo pensato per verificare dove ci fossero errori.
Ho fatto questa considerazione, basandomi su ciò che ho letto letto su **** https://www.****.it/lezioni/algebra-lineare/matrici-e-vettori/678-sistema-di-generatori-di-uno-spazio-vettoriale.html nell'ultimo paragrafo
Avendo visto che comunque $C$ è uno spazio vettoriale infinito-dimensionale e che la sua base è formata da "infiniti" vettori, dimostrando che ${(x^2-1),x(x^2-1),..., x^n(x^2-1),... }$ contiene vettori linearmente indipendenti, posso affermare che quest'insieme rappresenta un sistema di generatori.
"john_titor20":Esatto, è questo il punto.
[...] dimostrando che $ {(x^2-1),x(x^2-1),..., x^n(x^2-1),... } $ contiene vettori linearmente indipendenti, posso affermare che quest'insieme rappresenta un sistema di generatori.
Mi pare di capire che l'ha capìto.
[ot]Ci vediamo all'esame? 
[/ot]@gugo82 Esatto: lì non si ha "gratis" una base, dato che si dovrebbe poi completare quel sistema libero a un medesimo massimale.
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