Centro di una conica
Buongiorno , non riesco a capire come si passa dal seguente sistema lineare che è formato dalle due polari dei punti all'infinito alle coordinate del centro di una conica non degenere. Il sistema è il seguente :
$ { ( a_11x^1+a_12x^2+a_13x^3 =0),( a_12x^1 + a_22x^2 + a_23 x^3 =0 ):} $
Per la legge di reciprocità, a quanto ho capito, l'intersezione tra queste due rette ci permette di trovare il centro della conica. Dunque se $C=(c^1,c^2,c^3)$ sono le coordinate del centro, esse devono essere soluzione del sistema visto precedentemente.
A questo punto , leggo che $c^1=A_13= $ $| ( a_12 , a_13 ),( a_22 , a_23 ) | $
Che relazione c'è tra la coordinata del centro e il complemento algebrico $A_13$ (perché c'è questa relazione?, come ci si arriva a ciò?) con quale passaggio algebrico si passa al determinante di quella matrice ?qualcuno sa aiutarmi? grazie
$ { ( a_11x^1+a_12x^2+a_13x^3 =0),( a_12x^1 + a_22x^2 + a_23 x^3 =0 ):} $
Per la legge di reciprocità, a quanto ho capito, l'intersezione tra queste due rette ci permette di trovare il centro della conica. Dunque se $C=(c^1,c^2,c^3)$ sono le coordinate del centro, esse devono essere soluzione del sistema visto precedentemente.
A questo punto , leggo che $c^1=A_13= $ $| ( a_12 , a_13 ),( a_22 , a_23 ) | $
Che relazione c'è tra la coordinata del centro e il complemento algebrico $A_13$ (perché c'è questa relazione?, come ci si arriva a ciò?) con quale passaggio algebrico si passa al determinante di quella matrice ?qualcuno sa aiutarmi? grazie
Risposte
La matrice associata alla conica rappresenta una funzione lineare da $V_3$, lo spazio vettoriale proiettizzato, al suo duale $V^3$.
La puoi considerare come trasformare la terna di coordinate covarianti $(x^1,x^2,x^3)$, cioè un punto (il polo),
in quella di coordinate controvarianti $(\xi_1,\xi_2,\xi_3)$, cioè i parametri direttori di una retta (la polare).
Dati due punti impropri qualsiasi dunque, hai due polari che si intersecano nel polo della retta impropria ,cioè appunto il centro della conica.
Per esempio come punti impropri prendo per semplicità $(1,0,0)$ e $(0,1,0)$.
Le loro polari hanno equazioni
$a_{11}x^1+a_{21}x^2+a_{31}x^3=0$
e
$a_{12}x^1+a_{22}x^2+a_{33}x^3=0$.
Sono identiche numericamente a quelle che hai scritto poichè la matrice è simmetrica, ma hanno un senso diverso!
Il sistema che hai indicato infatti sta piuttosto dicendo $(\xi_1=0, \xi_2=0)$, cioè impone che la polare del punto
di coordinate incognite $(x^1,x^2,x^3)$ che stai considerando, sia la retta impropria, dunque il punto è il centro della conica.
Beh
... il risultato sempre quello è. Questa è una interessante verifica della reciprocità comunque...
Riguardo alla questione finale, di quel determinante, per me non ha senso. Ci sarà forse un qualche errore di scrittura o fraintendimento.
Prova a esprimere la soluzione del sistema con Cramer...
La puoi considerare come trasformare la terna di coordinate covarianti $(x^1,x^2,x^3)$, cioè un punto (il polo),
in quella di coordinate controvarianti $(\xi_1,\xi_2,\xi_3)$, cioè i parametri direttori di una retta (la polare).
Dati due punti impropri qualsiasi dunque, hai due polari che si intersecano nel polo della retta impropria ,cioè appunto il centro della conica.
Per esempio come punti impropri prendo per semplicità $(1,0,0)$ e $(0,1,0)$.
Le loro polari hanno equazioni
$a_{11}x^1+a_{21}x^2+a_{31}x^3=0$
e
$a_{12}x^1+a_{22}x^2+a_{33}x^3=0$.
Sono identiche numericamente a quelle che hai scritto poichè la matrice è simmetrica, ma hanno un senso diverso!
Il sistema che hai indicato infatti sta piuttosto dicendo $(\xi_1=0, \xi_2=0)$, cioè impone che la polare del punto
di coordinate incognite $(x^1,x^2,x^3)$ che stai considerando, sia la retta impropria, dunque il punto è il centro della conica.
Beh
... il risultato sempre quello è. Questa è una interessante verifica della reciprocità comunque...Riguardo alla questione finale, di quel determinante, per me non ha senso. Ci sarà forse un qualche errore di scrittura o fraintendimento.
Prova a esprimere la soluzione del sistema con Cramer...
Risolvendo con $x^3$ come parametro, ottieni:
\[
\begin{split}
x^1 &= - \frac{\begin{vmatrix} a_{13} & a_{12} \\ a_{23} & a_{22}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}}\ x_3 = \frac{A_{1,3}}{A_{3,3}}\ x^3 \\
x^2 &= - \frac{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}}\ x_3 = - \frac{A_{2,3}}{A_{3,3}}\ x^3
\end{split}
\]
quindi…
\[
\begin{split}
x^1 &= - \frac{\begin{vmatrix} a_{13} & a_{12} \\ a_{23} & a_{22}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}}\ x_3 = \frac{A_{1,3}}{A_{3,3}}\ x^3 \\
x^2 &= - \frac{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}}\ x_3 = - \frac{A_{2,3}}{A_{3,3}}\ x^3
\end{split}
\]
quindi…
"gugo82":
Risolvendo con $x^3$ come parametro, ottieni:
\[
\begin{split}
x^1 &= - \frac{\begin{vmatrix} a_{13} & a_{12} \\ a_{23} & a_{22}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}}\ x_3 = \frac{A_{1,3}}{A_{3,3}}\ x^3 \\
x^2 &= - \frac{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}}\ x_3 = - \frac{A_{2,3}}{A_{3,3}}\ x^3
\end{split}
\]
quindi…
Il rapporto tra i due complementi algebrici cosa mi da?
C'è qualcosa che mi sfugge, non riesco a trarre le conclusioni
L'unica cosa che mi viene in mente è quella di dividere ogni membro della terna per $x^3$ e moltiplicare per $A_3,3$
In questo modo in effetti trovo che $C=(A_(1,3) , A_(2,3), A_(3,3))$
"gugo82":
Risolvendo con $x^3$ come parametro, ottieni:
\[
\begin{split}
x^1 &= - \frac{\begin{vmatrix} a_{13} & a_{12} \\ a_{23} & a_{22}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}}\ x_3 = \frac{A_{1,3}}{A_{3,3}}\ x^3 \\
x^2 &= - \frac{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}}\ x_3 = - \frac{A_{2,3}}{A_{3,3}}\ x^3
\end{split}
\]
quindi…
ecco, così tutto insieme ha senso ...
"Salvy":
[quote="gugo82"]Risolvendo con $x^3$ come parametro, ottieni:
\[
\begin{split}
x^1 &= - \frac{\begin{vmatrix} a_{13} & a_{12} \\ a_{23} & a_{22}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}}\ x_3 = \frac{A_{1,3}}{A_{3,3}}\ x^3 \\
x^2 &= - \frac{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}}\ x_3 = - \frac{A_{2,3}}{A_{3,3}}\ x^3
\end{split}
\]
quindi…
Il rapporto tra i due complementi algebrici cosa mi da?
C'è qualcosa che mi sfugge, non riesco a trarre le conclusioni
L'unica cosa che mi viene in mente è quella di dividere ogni membro della terna per $x^3$ e moltiplicare per $A_3,3$
In questo modo in effetti trovo che $C=(A_(1,3) , A_(2,3), A_(3,3))$[/quote]
È sbagliato questo passaggio?
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